共轭解析函数积分公式的一个推广

●　■一～　・≮，＿－Ｉ４　’ｏ≥・　・　●　专题研究　鞠　蔟辘藤褫　羧　【摘要】柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是我　们研究解析函数各种局部性质的重要工具，是联系函数及　其积分的桥梁．本文主要研究被积函数在有界区域内有２个　及其以上奇点的情形，得到了相应的共轭解析函数的积分　公式．　２．主要结果　一食捶　５６１０００）　◎符祖峰　王海英　贺　杰　吴永武　（安顺学院数理学院，贵州　安顺定理－＝＝　１　若Ｆ为简单闭曲线，Ｆ（ｚ）　＝　，，（　）是，内的共轭解析函数，且　，　在　厂的内部，则　【关键词】共轭解析函数；奇点；积分公式　【中图分类号】Ｏ１７４．５　【文献标识码】Ａ　【基金项目１国家自然科学青年基金资助项目（Ｎｏ．　６１　３０４１４６），贵州省高校优秀科技创新人才支持计划资助项　』Ｊ　筹　（　一　．）　（　—ｚ，）　—ｄｚ一　【【　Ｐ可（　一　）１　！　１）＋　可　１）（　】．　目（黔教合ＫＹ字［２０１２］１０１号），贵州省科技厅、安顺市政　府、安顺学院三方联合基金（黔科合Ｊ字ＬＫＡ［２０１３］１９号）　１．引　言　柯西积分公式是复变函数中十分重要的一个公式，既　其　ｆ——　）Ｊ～＝　哿．　—ｄｚ：ｆ——　Ｌ——ｄｚ＋　证明　在厂内作以　，　：为圆心，ｒ，，ｒ　为半径的两个互　不相交的圆，分别为ｃ，，ｃ：．由［７，定理４］，得　有理论价值，又有实际应用，它的重要性在于一个解析函数　在区域内部的值可以用它的边界上的值通过积分来表示，　正由于这一点，柯西积分公式提供了计算复积分的重要方　ｆ　由于　（ｚ）＝　—　在ｃ　内共轭解析，所以由引理１　法，它把沿闭曲线的积分转化为求函数的函数值，从而简单　巧妙地解决了大量复积分的计算问题．同时也为一些实积　分的计算提供帮助，比如被积函数是非初等函数的实积分　问题，只能借助复积分的方法去解决．已有很多学者对解析　函数的柯西积分公式进行了研究．特别地，文［１］给出了函　数在区域内只有一个奇点时的柯西积分公式，文［２］讨论了　有界区域内不同奇点个数时的柯西积分公式的推广形式．　解析函数虽然能解决平面无源无旋场的问题，但对于　有源场和有旋场就无能为力了．１９８８年，王见定提出了共轭　解析函数，共轭解析函数可以用来解决解析函数所能解决　的几乎所有问题，并且比解析函数更直观，方便．王见定研　究了函数在有界区域只有一个奇点时的共轭解析函数的积　分公式：　得ｆ，　一　ｄ—ｚ：ｆｃＩ　）（２Ｉ）．　＝ｆ．　寺　（２）　同理，由于　（　）＝　【　在ｃ　内共轭解析，则　Ｚ．Ｊ‘一　　＾２　（ｚ一　１）　（名一名２）　ｆ——　生一ｄ～ｚ：ｆ　Ｊｃ２　（　—　２）　—ｄｚ：　Ｊ＝　寺ｄ—ｚ一手　１）（　．　把（２）、（３）代人（１），得　㈩　引理ｌ　若厂为区域Ｄ的边界周线，Ｆ（　）＝　一，八　）　Ｚ０　ＪＪ（．　ｚ一　）　（　—　２）　—ｄｚ一耵　Ｐ可Ｌ（　一　）！１　　】（ｚＩ）＋　在Ｄ内共轭解析，　∈Ｄ．Ｄ：Ｄ＋Ｆ，则　２ｒ：一ｚ０　ｆ丛　ｄ—ｚ：一２７ｒ　）．　引理２　若，为区域，Ｊ的边界周线，Ｆ（　）＝＿　兰　Ｌ　Ｚ—Ｚ０　可　，　）】．　）＝　（　一　，ｊ　（　一　，Ｊ　特别地，当　中ｐ＿ｌ，ｇ＿【】　ｆ（　）在Ｄ内共轭解析，：。Ｅ　Ｄ，Ｄ＝Ｄ＋Ｆ，则　时，即为引理１；当ｑ＝０时即为引理２．　推论１设＿厂（ｚ）在以　为圆心，Ｒ为半径的区域Ｃ内共轭　解析，在Ｃ内有互不相交的以　，ｚ　为圆心，ｒ。，ｒ　为半径的圆　Ｊｒ（芒　ｄ：一　）　—ｚ一　（ｎ—１）！　“（Ｚｏ　引理１、引理２中的　是被积函数在周线，所围区域内　唯一的奇点．如果给定的被积函数在周线ｆ所围区域内有２　个及以上奇点时就不可直接用它们，本文针对被积函数在　有界区域内有２个及以上奇点的情况，推广了共轭解析函数　的积分公式．　形区域ｃ，，ｃ　・设　Ｉｆ（　）Ｉ，则　ｆ　可　Ｉ）（　＋　１）（　（下转１４２页）　数学学习与研究２０１５．１１　●　专题研究　．　．　黪雅＊　・　，’●　●　［　［ａｒｃｓｉｎ号］　＝　ｉｎ÷－ｏ：詈．　例４。＋　＋－一＋志］．　ｇ（ｎ）≤，（　）≤ｈ（ｎ），且有　…ｌｉａｒ　ｇ（ｎ）＝　…∞　—ｉ＝１　∑　÷：　坚　２音：ｌｉｍ　ｈ（ｎ）．　∑　ｉ＝１　～　÷砉府＾√　＼ｎ／　　Ｊｃ　寿一　设　＝６一。，试求一２亡：１ｉ　ｎ　…　根据夹逼定理可知ｌｉａ，（ｎ）＝ｌｒｉｍ　…　ｎ　＋∞　…　２÷＝　１　ｒ。ｒ　２　１　１　ｌｉｍ＋　｝【，（ｎ＋ｉｈ）＋　Ｊ。　【　Ｊ　丽‘　五、小结与反思　）一・＋，（ａ川］．　解原式＝　—｝　。＋　ｎ　）　１＝　＝　ｌｉｍ　ｂ－ａ塞　。＋　ｂ－　）　ｆ，（　．　…从实际教学反馈来看，口诀能帮助学生迅速地掌握这　类题型的解题原理和方法，课后作业的正确率很高，学习效　果良好，既加深了他们对定积分概念的更深理解，又对“无　穷多个无穷小的和未必是无穷小”这一结论有了进一步认　识，与此同时，还为下一步能更好地学习定积分应用方面的　知识打下了良好基础．从教学角度思考，如果能借助简单易　记的口诀，帮助学生理解晦涩难懂的理论问题，掌握复杂题　目的计算方法，一有助于理解，二能方便学习，三又增强了　课堂的趣味性，这的确不失为改进教学方法，提高教学质量　的良方妙药．　例５求ｌ例求ｍｉ　ｆ　Ｉ　＋　＿＿『　。一・。　＋　一～Ｌ　“　２　“　—　Ｊ　１．　解…　＝【　毒一Ｉ＋　ｎ＋ｎ】＇　）＝【　＋　一－＋　］＝　∑　．　＾（ｎ）＝【Ｌ　ｎ＋　　＋…＋　】＝几Ｊ　ｒ　∑：正…　：　２÷，显然，　【参考文献】　［１］郭书春．九章算术译注．上海古籍出版社．ＩＳＢＮ：　［２］同济大学数学系．高等数学（第六版上册）．高等教　９７８７５３２５５４３３１．２００９．１２．０１．　育出版社．２００７年４月第六版．　［３］吴传生．经济数学——微积分．高等教育出版社．　２００９年４月第２版．　　．［４］李军英，刘碧玉，韩旭里．微积分（上册）（第二版）．　北京：科学出版社，２００８年７月第二版．　证明　由定理ｌ＇　得　ｌ　¨　Ｉ）　＋　—　可　ｚ）Ｉ＝Ｉ一　２盯Ｊ　Ｒ　ＩＦ　一：　ｌＺ　２　　ｉｑ　≤　　ｒＲ　ｌ　一　２１Ｔ　・１　ｒ２　一…“　ｌ　：Ｈ　（（　一：ｚ—ｚ　）　Ｌ　ｄ—ｚ＝　【了　Ｌ　ｄ—ｚ＝　。１７　（（　一　—ｚ　）ｎ　）　‘ｔ　』　ｍ　ａｘｎＩ，（ｚ）ｌ，则　＝一２　塞　＠（ｎｉ－１）ｃ　ｚ　．　旦．　ｒ１　ｐｒ２　ｇ　证完．　证完．　类似于推论１，由定理２，我们也可以得到下面的推论．　推论２设　＝）在以Ｚ为圆心、Ｒ为半径的圆Ｃ内共轭解　析，在Ｃ内有以　为圆心，ｒ。为半径的圆形区域ｃ　．设Ｍ＝　定理１给出了被积函数在周线，所围区域内有２个奇　点时的共轭解析函数的积分公式．下面我们将定理１的结果　推广到被积函数在周线，所围区域内有２个以上奇点时的　情形．　Ｉ）（　用上回１ｔ＂９疋埋，订畀　＂　域冈伺步，ｒ曰息Ｈ日阴　定理２　—　若，为简单的闭曲线，设Ｆ（　）＝　，Ｌ其中　在，的内部且，（　）共轭解析，则　轭积分是很方便的，下面试举一例．　１７（ｚ—　，）　１一２霄　ｒ　窆ｉ＝ｌ　ｆ　ｎ　一１）Ｉ　可￣０（ｎ－１）、　）．　例１计算积分＿ｒ　：：蒜解显然，（　）＝　＝—ｄｚ．　在ｌ　Ｉ＝２内有两个奇点ｚ＝　ｎ（ｚ－－。）　其中ｐ　（：）：　Ｉ一ｌ‘　，　∈Ｎ　．　兀（ｚ一　）　证明　在，内作以　为圆心，ｒｌ为半径的ｎ个互不相交　的圆，分别为。　，　：１，…，　．由于　（：）：—＝－　在　等，　＝　寺　则由定理　导＿　兀（　一　）　ｃ．内共轭解析，所以由弓Ｉ理２得　Ｊ＝』：Ｉ　　ｌ＝　ｆ２　　一　）１　—ｄｚ—＝一２耵　［Ｌ‘　－　一１—　—　）１　“！　。一　（０）＋　南妒［２一”（１）］＝一２竹　（一２＋２）：ｏ．　数学学习与研究２０１５．１１