1990年试题 （理工农医类）
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.
[Key]
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A
【 】
[Key] (2)B
(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于
【 】
[Key] (3)D
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(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】
[Key] (4)C (5)
【 】
[Key] (5)C
(A){-2,4} (B){-2,0,4}
(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【 】
[Key] (6)B
(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么
(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】
[Key] (7)A
(A)圆 (B)椭圆
第 2 页 共 15 页
(C)双曲线的一支 (D)抛物线 【 】
[Key] (8)D
(B){(2,3)}
(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】
[Key] (9)B
【 】
[Key] (10)D
(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 【 】
[Key] (11)C
(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│ (D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】 第 3 页 共 15 页 [Key] (12)B (13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有 (A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】 [Key] (13)B (14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 (A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个 【 】 [Key] (14)C (15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】 [Key] (15)D 二、填空题:把答案填在题中横线上. (17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 . (18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那 (19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 . (20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ . [Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算. 第 4 页 共 15 页 三、解答题.7 (21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数. [Key] 三、解答题. (21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一: ① 由②式得 d=12-2a. ③ 整理得 a2-13a+36=0 解得 a1=4,a2=9. 代入③式得 d1=4,d2=-6. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ① 由①式得 x=3y-12. ③ 将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9. 代入③式得 x1=0,x2=15. 从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. [Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 第 5 页 共 15 页 解法一:由已知得 解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα, sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结 连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有 解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ). 将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β). 第 6 页 共 15 页 于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z). 若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0. 由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z). 所以 (23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数. [Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力. 解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD. 又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD. 而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC. ∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC. ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA＝a, 第 7 页 共 15 页 又因为AB⊥BC, ∴∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°. 解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD. 由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC, ∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一. (24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a. [Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力. 解法一:设z＝x+yi,代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③ (Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a. ④ . 第 8 页 共 15 页 由此可知:当a=0时,方程④无正根; (Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤ . 由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根 x=1-. (Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a. 由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0; . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦ (Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得 y=1± , 从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2; 当0 (Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根. 当a≤1时解方程⑨得 y=-1± , 从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 当0 )i,z=±(1-)i. 而当a>1时,原方程无纯虚数解. 解法二:设z=x+yi代入原方程得 于是原方程等价于方程组 第 9 页 共 15 页 由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论. 情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. 即 | x |2+2│x│=a. ③ 解方程③得 , 所以,原方程的实数解是 . 情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. 即 -│y│2 +2│y│=a. ④ 当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当0 即当0 而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解. 解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0). 情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1. 情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2. 解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a. 于是原方程等价于方程组 情形1.若r=0.①式变成 0=a. ③ 由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解. 当a>0时,方程③无解. 第 10 页 共 15 页 所以, 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解. 考查r>0的情形. (Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④ . 由此可知:当a=0时,方程④无正根; 当a>0时,方程④有正根 所以,当a>0时,原方程有解 . . (Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤ 由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根; . 从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2; 所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i; 当0 当a>1时,原方程无纯虚数解. [Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力. 解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 其中a>b>0待定,0≤θ<2π. 第 11 页 共 15 页 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 大值,由题设得 , 因此必有 , 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是 . 第 12 页 共 15 页 解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是 其中a>b>0待定. , 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则 其中 -byb. 由此得 , 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的直角坐标方程是 第 13 页 共 15 页 n≥2. (Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x) (Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是 1+2x+…(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2, 上都是增函数, 在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值 也就是a的取值范围为 (Ⅱ)证法一:2f(x) （A）先证明当n=2时②式成立. 假如0 第 14 页 共 15 页 因而当n=2时②式成立. （B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有 [1+2x+…+(k-1)x+kxa]2 +[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1)2xa2] =(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa2] ≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa], 这就是说,当n=k+1时②式也成立. 根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有 2f(x) 其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立. 利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有 [1+2x+…+(n-1)x+nx]2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容