陕西省汉中市汉台中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

2015-2016年第二学期高二文科数学期中试题

一．选择题：（共12题，每题5分） 1．设i为虚数单位，则复数A．1 2．“sinx=

的虚部是（ ）

D．﹣i

B．I C．﹣1 ”是“x=

”的（ ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 3．“若x，y∈R且x2y20，则x，y全为0”的否命题是（ ） A．若x，y∈R且x2y20，则x，y全不为0 B．若x，y∈R且x2y20，则x，y不全为0 C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2y20 D．若x，y∈R且xy≠0，则x2y20

4．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A．20 B．40 C．60

2 D．80

5. 不等式x2x30的解集为（ ）

A. {x|x3或x1} B. {x|1x3} C. {x|3x1} D. {x|x3或x1} 6．函数f（x）=ax﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a≤0 B．a＜1 7．已知x、y取值如下表： x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3

C．a＜2

D．a＜

3

从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且线性回归方程为y=0.95x+a，则a=（ ）

1

A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80

8．当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，2） B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3）

9．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

10．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（ ） A．A与B互斥且为对立事件

B．B与C为对立事件

C．A与C存在着包含关系 D．A与C不是互斥事件 11．已知命题p：∃x∈R，使x2x54；命题q：当

2时，f（x）=sinx+

的最小值为4．下列命题是真命题的是（ ）

A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D． p∧（￢q）

12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则 不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ） A．（﹣3，0）∪（3，+∞）

B．（﹣3，0）∪（0，3）

C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

2

二．填空题：（共4题，每题5分）

13．命题“∀x∈R，x≥0”的否定是 ．

14．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2， 则f（1）+f′（1）= ．

15．直线y＝a与函数f(x)＝x－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________． 16．下列命题正确的序号是 ①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；

②命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件； ④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±． 三．解答题：（共6道题，合计70分）

17．（10分）给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

2

3

218．（12分）已知奇函数f（x）=（1）求c的值；

（c∈R）．

（2）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．

19．（12分）某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图：： （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；

（3）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？

3

20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值． （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；

（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围． 21.（12分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； （2）若不等式f（x）≥

对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）． （1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]， 使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

4

高二数学期中考试文科答案

一． 选择题：

CCBBD ABDAA DD 二． 填空题：

2

13． ∃x∈R，x＜0 ． 14． 4 15． (-2,2) 16． ①②③ 三．解答题：

17．解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立

⇔0≤a＜4；

关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根如果P正确，且Q不正确，有如果Q正确，且P不正确，有所以实数a的取值范围为

；„„„„„„(4分)

；

．„„„„„„(8分)

．„„„„„„.(10分)

18．解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴

=﹣

=

，

比较系数得：c=﹣c，∴c=0， ∴f（x）=

=x+；„„„„„„„„„„„„„„„..(6分)

，

（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣当x∈[2，+∞）时，1﹣

＞0，

∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，

∴f（x）min=f（2）=．„„„„„„„„„„„„„„„.(12分)

19．解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．„.(3分)

（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，

5

[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：

55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5„„„„„„„„„（6分） （3）由直方图，得： 第3组人数为0.3×100=30。 第4组人数为0.2×100=20人， 第5组人数为0.1×100=10人．

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为： 第3组：第4组：第5组：

人， 人， =1人．

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．„

设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：

（A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）， 其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5种．„

所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为分）

20．解：（1）f（x）=x+ax+bx+c，f'（x）=3x+2ax+b 由

解得，

3

2

2

„„„„„„„„„„（12

f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：

6

x 1 （﹣∞，﹣） ﹣ （﹣，1） 0 ﹣ 0 （1，+∞） + f′（x） + f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），

递减区间是（﹣，1）．„„„„„„„„„„„„„„„„„.(6分) （2）

当x=﹣时，f（x）=

2

，

+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．

2

要使f（x）＜c对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c＞f（2）=2+c．

解得c＜﹣1或c＞2．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„..(12分) 21．解：（1）由f（x）≤x+2得：

或

即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅， 解得0≤x≤2，

或

，

所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]； „„„„„„„„„„„„„„„„„„(6分) （2）

=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，

当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号． 由不等式f（x）≥

对任意实数a≠0恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，

解得x≤﹣或x≥，

故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．„„„„„„„„„„„„„„„„„.(12分)

7

22．解：（1）由已知，则f'（1）=2+1=3．

故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3； „„„„„„„„„„„„„„„..(2分) （2）

．

①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0 所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． ②当a＜0时，由f'（x）=0，得在区间

．

上f'（x）＜0，

，

；„„„„„„„„„„„„(6分)

上，f'（x）＞0，在区间

所以，函数f（x）的单调递增区间为

单调递减区间为

（3）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max， 因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]， 所以g（x）max=2

由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意． 当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减， 故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a）， 所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣

．„„„„„„„„„„„„„„„„„.(12分)

8