【金榜方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型：第7章 第2节 空间几何体的表面积和体积

考点一

[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

空间几何体的表面积

A．28＋65 B．30＋65 C．56＋125 D．60＋125

(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，

据侧视图知，BC＝4.综上所述，可知BC⊥平面PAB， PB＝PD2＋BD2＝5，PC＝BC2＋PB2＝16＋25＝41， AC＝AB2＋BC2＝41，PA＝PD2＋AD2＝25.

1

∵PC＝AC＝41，∴△PAC的边PA上的高为h＝

PA2

PC2－2＝6.

1111

∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝PA·h＝65.

2222故三棱锥的表面积为S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋65. (2)该几何体的直观图如图所示：

该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱． ∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38

【方法规律】

空间几何体的表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )

A．372 B．360 C．292 D．280

解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，

又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.

高频考点

2

考点二 空间几何体的体积

1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填空题． 2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．

[例2] (1)(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )

A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4 C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4

(2)(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.

(3)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm3.

[自主解答] (1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高

3

17

为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆

33半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方128

形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小33可知答案选C.

1

(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，则几何体的体积V＝211

×3×4×5－××4×3×3＝24 cm3.

32

(3)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定1

理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为32×2＝62，从而VA-BB1D1D＝×OA×S

3长方形BB1D1D＝6.

[答案] (1)C (2)24 (3)6

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解． (2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )

4

1416

A．4 B. C. D．6

33

解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高1114

h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝.

333

2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π

解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别6

为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为＝3，母线长为2，

21

故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π.

2

考点三

[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )

31713A. B．210 C. D．310

22

[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.

与球有关的组合体

5

151

又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，

222所以球O的半径R＝OA＝ [答案] C 【互动探究】

侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？ 解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为

12

322－2×6＝3，

52＋62＝13.

22

因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.

【方法规律】

与球有关的组合体的类型及解法

(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．

(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．

(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )

500π866π1 372π2 048πA. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3

3333

解析：选A 设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为

6

4

4 cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝

34500ππ×53＝ cm3. 33

—————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想

计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．

2种方法——割补法与等积法

(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点 (1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．

(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．

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