高二新课程数学1.3.2函数的极值与导数教案新选修22

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景

观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大ta附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)；在ta，当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0；当ta时，函数h(t)单调递减，h(t)0；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，h(t)0）后减（ta，h(t)0）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0．

对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授

1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数

v(t)h'(t)9.8t6.5的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：

（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函

数．相应地，v(t)h'(t)0．

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函

数．相应地，v(t)h'(t)0．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3.3-3，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．在xx0处，

f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；在xx1处，f'(x0)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果

f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数yf(x)单调区间的步骤： （1）确定函数yf(x)的定义域； （2）求导数y'f'(x)；

（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析

例1．已知导函数f'(x)的下列信息： 当1x4时，f'(x)0； 当x4，或x1时，f'(x)0； 当x4，或x1时，f'(x)0 试画出函数yf(x)图像的大致形状．

解：当1x4时，f'(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增； 当x4，或x1时，f'(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

当x4，或x1时，f'(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数yf(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）f(x)x33x； （2）f(x)x22x3 （3）f(x)sinxxx(0,)； （4）f(x)2x33x224x1 解：（1）因为f(x)x33x，所以， f'(x)3x233(x21)0

因此，f(x)x33x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为f(x)x22x3，所以， f'(x)2x22x1 当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递增；

当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递减； 函数f(x)x22x3的图像如图3.3-5（2）所示．

（3） 因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f'(x)cosx10 因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4） 因为f(x)2x33x224x1，所以 ．

当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ； 当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ； 函数f(x)2x33x224x1的图像如图3.3-5（4）所示．

注：（3）、（4）生练

例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的

容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：1B,2A,3D,4C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，在b,或,a内的图像“平缓”． 例4

求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．

'2证明：因为y6x6x126xx26x1x2

2当x2,1即2x1时，y'0，所以函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．

说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤： （1）求导函数f'x；

（2）判断f'x在a,b内的符号；

（3）做出结论：f'x0为增函数，f'x0为减函数． 例5

已知函数 f(x)4xax2范围．

解：f'(x)42ax2x2，因为fx在区间1,1上是增函数，所以f'(x)0对x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1 所以实数a的取值范围为1,1．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f'(x)0；若函数单调递减，则f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=

23x(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的取值31+2x x3. f(x)=sinx , x[0,2] 4. y=xlnx 2．课本P101练习 五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数yf(x)单调区间

（3）证明可导函数fx在a,b内的单调性

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

六．布置作业