2017年广州一模(文)

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）复数

2的虚部是 1i （A）2 （B） 1 （C）1 （D）2 （2）已知集合xxax00,1，则实数a的值为

2 （A） 1 （B）0 （C）1 （D）2 （3）已知tan2，且0,

(Ａ)



，则cos2 2

开始 输入n 4334 (Ｂ) (Ｃ)  (Ｄ)  5555（4）阅读如图的程序框图. 若输入n5, 则输出k的值为

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 k02x1,x0,（5）已知函数fx 则ff3

1logx,x0,2(Ａ)

k＝k＋1 n3n1 424 (Ｂ) (Ｃ)  (Ｄ) 3 否 333n150?是 输出k ,n x2y21的一条渐近线方程为2x3y0,F1,F2分别 （6）已知双曲线C:2a4 是双曲线C的左, 右焦点, 点P在双曲线C上, 且PF12, 则PF2等于 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 结束

（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A）1719 （B） （C） （D） 416216（8）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 1

且该几何体的体积为

8, 则该几何体的俯视图可以是 3

（A） （B） （C） （D） （9）设函数fxx3ax2，若曲线yfx在点Px0,fx0处的切线方程为 xy0，则点P的坐标为

(Ａ) 0,0 (Ｂ) 1,1 (Ｃ) 1,1 (Ｄ) 1,1或1,1 （10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑, PA⊥平面ABC,

2，AC4,三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上, 则球O的表面 PAAB 积为

（A）8 （B）12 （C）20 （D）24 （11）已知函数fxsinxcosx0,0是奇函数，直线

y2与函数fx的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

，则 2（A）fx在0,3上单调递减 （B）在fx,上单调递减 4883上单调递增 （D）在fx,上单调递增 488kf的值为 2017（C）fx在0,2016x1cosx（12）已知函数fx, 则2x12k1（A）2016 （B）1008 （C）504 （D）0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第

22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）已知向量a1,2，bx,1，若a∥(ab)，则ab .

2

2（14）若一个圆的圆心是抛物线x4y的焦点，且该圆与直线yx3相切，则该圆的

标准方程是 . （15）满足不等式组xy1xy30,的点x,y组成的图形的面积是5,则实数

0xa a的值为 .

（16）在△ABC中, ACB60,BC1,ACAB1, 当△ABC的周长最短时, BC 2的长是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2an2（nN*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； (Ⅱ) 求数列{Sn}的前n项和Tn．

（18）（本小题满分12分）

某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取．．

50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．

质量指标值 频数 (190,195] 9

(195,200] 10

(200,205] 17

(205,210] 8

(210,215] 6

表1：甲流水线样本的频数分布表 图1：乙流水线样本频率分布直方图

（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件？

（Ⅲ）根据已知条件完成下面22列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？

合格品 不合格品

甲生产线 3

乙生产线 合计

合计 2 nadbc2 附：K（其中nabcd为样本容量）

abcdacbdPK2k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 k （19）（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC, 点E是BC边的 中点, 将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE,AC,DE, 得到如 图2所示的几何体.

（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；

(Ⅱ) 若AD1,AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面 ADE的距离.

DA

D

BCEBE

图1 图2 （20）（本小题满分12分）

ACx2y23已知椭圆C:221ab0的离心率为, 且过点A2,1.

ab2(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 若P,Q是椭圆C上的两个动点,且使PAQ的角平分线总垂直于x轴, 试判断直线

PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

（21）（本小题满分12分） 已知函数fxlnxaa0. x(Ⅰ) 若函数fx有零点, 求实数a的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当a2时, fxex. e请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x3t,(t为参数). 在以坐标原点为极点,

y1tx轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C:22cos.4 4

(Ⅰ) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.

（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数fxxa1x2a.

(Ⅰ) 若f13，求实数a的取值范围; (Ⅱ) 若a1,xR , 求证：fx2.

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

文科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

5

的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．

一、选择题

（1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C

（7）B （8）C （9）D （10）C （11）D （12）B 二、填空题 （13）三、解答题 (17) 解:

（Ⅰ）当n1时，S12a12，即a12a12， ………………………………………1分 解得a12． ………………………………………………………2分

当n2时，anSnSn1(2an2)(2an12)2an2an1， ………………3分 即an2an1， ………………………………………………………4分 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．……………………………………5分 所以an22n12n（nN*）． ………………………………………………6分 (Ⅱ) 因为Sn2an22n15222xy1231（14）（15） （16） 

222， ………………………………………………8分

所以TnS1S2Sn ………………………………………………9分

22232n12n ………………………………………………10分

412n122n ………………………………………………11分

2n242n． ………………………………………………12分

(18) 解：

（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为

0.480.0120.0320.05250.50.012，0.007360.00.528 60.25 ………………………………………1分

6

则0.0120.0320.05250.076x2050.5, ……………………………3分 解得x3900． ………………………………………4分 19（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，

153,………………………5分5010

10.0120.0285 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P， ………6分 乙5 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为P甲 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产

的不合格品件数分别为：

5000 （Ⅲ）22列联表:

合格品 不合格品 合计 31=1500,5000=1000． …………………………8分 105甲生产线 35 15 50 2乙生产线 40 10 50 合计 75 25 100 …………………………10分

100350600421.3， ……………………………………………11分 则K505075253 因为1.32.072,

所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线

的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：

(Ⅰ) 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCDBD，

又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD. …………………………………1分 因为AB平面ABD，所以DC⊥AB …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩ADD, …………………………………3分

所以AB⊥平面ADC. …………………………………4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC⊥平面ABD，所以AC在平面ABD内的正投影为AD，

即∠CAD为AC与其在平面ABD内的正投影所成角. ……………………………5分

CD6， AD 因为AD1, 所以CD6. …………………………6分

依题意tanCAD 设ABxx0，则BDADx21,

ABDCBE， ………………………………7分 ADBDC 因为△ABD～△BDC，所以

即

x16x12，

解得x2，故AB2,BD3,BC3. ………………………………8分

由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC, E为BC的中点,

7

由平面几何知识得AE同理DE所以SDADEBC3, 22BC3,22 1=创12骣3鼢骣1珑-鼢珑珑桫2鼢桫222=2. …………………………9分 213. ………………………10分 CDSABD33因为DC⊥平面ABD，所以VABCD设点B到平面ADE的距离为d, 则dSADEVBADEVABDE 所以d (20) 解:

(Ⅰ) 因为椭圆C的离心率为1313, …………………………11分 VABCD2666即点B到平面ADE的距离为. …………………………12分 ，

223, 且过点A2,1, 2 所以

41c3, . ………………………………………………2分 1a2b2a2 因为a2b2c2,

解得a28, b22, ………………………………………………3分

x2y2 所以椭圆C的方程为1. ……………………………………………4分

82(Ⅱ)法1：因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线x2对

称. 设直线PA的斜率为k, 则直线AQ的斜率为k. ………………………………5分 所以直线PA的方程为y1kx2,直线AQ的方程为y1kx2. 设点PxP,yP, QxQ,yQ,

y1kx2,由x2y2消去y,得14k2x216k28kx16k216k40. ①

1,2816k216k4因为点A2,1在椭圆C上, 所以x2是方程①的一个根, 则2xP,

14k2 ……………………………………………6分

8k28k2所以xP. ……………………………………………7分 214k8

8k28k2同理xQ. ……………………………………………8分

14k216k. ……………………………………………9分

14k28k又yPyQkxPxQ4. ……………………………………………10分

14k2所以xPxQ所以直线PQ的斜率为kPQyPyQxPxQ1. …………………………………………11分 2所以直线PQ的斜率为定值，该值为法2：设点Px1,y1,Qx2,y2， 则直线PA的斜率kPA1. ……………………………………………12分 2y11y1, 直线QA的斜率kQA2. x12x22 因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线x2对称. 所以kPAkQA, 即

y11y210, ① ………………………………………5分 x12x22 因为点Px1,y1,Qx2,y2在椭圆C上,

x12y121，② 所以8222x2y21. ③ 8222 由②得x144y110, 得

y11x2, ④ ………………………6分 1x124y11 同理由③得

y21x2, ⑤ ………………………………………………7分 2x224y21x12x220,

4y114y21 由①④⑤得

化简得x1y2x2y1x1x22y1y240, ⑥ ……………………………8分 由①得x1y2x2y1x1x22y1y240, ⑦ ……………………………9分 ⑥⑦得x1x22y1y2. …………………………………………10分

9

22x12x2y12y2yyxx10,得1212. …………………11分 ②③得

82x1x24y1y22所以直线PQ的斜率为kPQy1y21为定值. …………………………………12分

x1x22法3：设直线PQ的方程为ykxb，点Px1,y1,Qx2,y2， 则y1kx1b,y2kx2b, 直线PA的斜率kPAy11y1, 直线QA的斜率kQA2. ………………………5分 x12x22 因为PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线x2对称. 所以kPAkQA, 即

y11y1, ……………………………………………6分 2x12x22 化简得x1y2x2y1x1x22y1y240. 把y1kx1b,y2kx2b代入上式, 并化简得 2kx12k1x2b1. 0 (*) …………………………………7分 x2x4b4ykxb,222 由x2y2消去y得4k1x8kbx4b80, (**)

1,288kb4b28,x1x22 则x1x22, ……………………………………………8分

4k14k12k4b288kbb12k代入(*)得4b40, ……………………………9分 224k14k1整理得2k1b2k10,

1或b12k. ……………………………………………10分 2若b12k, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. ………………………………11分

1若k时, 合题意.

21所以直线PQ的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分

2所以k (21) 解:

10

(Ⅰ)法1: 函数fxlnxa的定义域为0,. xa1axa由fxlnx, 得fx22. ……………………………………1分

xxxx 因为a0,则x0,a时,fx0;xa,时,fx0.

所以函数fx在0,a上单调递减, 在a,上单调递增. ………………………2分 当xa时,fxminlna1. …………………………………………………3分

当lna10, 即0a1时, 又f1ln1aa0, 则函数fx有零点. …4分 e所以实数a的取值范围为0,法2：函数fxlnx由fxlnx1. ……………………………………………………5分 ea的定义域为0,. xa…………………………………………………1分 0, 得axlnx.

x令gxxlnx，则gxlnx1.

当x0,时, gx0; 当x,时, gx0.

1e1e所以函数gx在0,上单调递增, 在,上单调递减. ……………………2分

1e1e故x11111时, 函数gx取得最大值gln. …………………………3分 eeeee1a有零点, 则0a. ………………………………………4分

ex1. …………………………………………………5分

e因而函数fxlnx所以实数a的取值范围为0, (Ⅱ) 要证明当a2时, fxex, e2a 即证明当x0,a时, lnxex, 即xlnxaxex.………………………6分

ex 令hxxlnxa, 则hxlnx1. 当0x11时,fx0;当x时,fx0. e e

11

所以函数hx在0,上单调递减, 在,上单调递增.

1e1e11时, hxa. ……………………………………………………7分 minee211 于是,当a时, hxa.① ……………………………………8分

eee

当x 令xxex, 则xexxexex1x. 当0x1时,fx0;当x1时,fx0.

所以函数x在0,1上单调递增, 在1,上单调递减.

1. ……………………………………………………9分 e1 于是, 当x0时, x.② ……………………………………………………10分

e

当x1时, xmax 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当a（22）解： (Ⅰ) 由2时, fxex. ……………………………………………………12分 ex3t,消去t得xy40, ………………………………………1分

y1t,

所以直线l的普通方程为xy40. ………………………………………2分 由22cos22coscossinsin2cos2sin, ……3分444

得22cos2sin. ………………………………………4分 将2x2y2,cosx,siny代入上式,

得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y, 即x1y12. ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为P12cos,12sin, ………………………………6分

22则点P到直线l的距离为d12cos12sin422sincos22 …………………………7分

12

2sin24.………………………………………8分

2

当sin

1时, dmax22, ………………………………………9分 4 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.………………………………10分 法2: 设与直线l平行的直线为l:xyb0, ………………………………………6分

当直线l与圆C相切时, 得 解得b0或b4(舍去),

11b22, ………………………………………7分

所以直线l的方程为xy0. ………………………………………8分 所以直线l与直线l的距离为d04222. …………………………………9分

所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22. ………………………………10分 （23）解：

(Ⅰ) 因为f13，所以a12a3. ………………………………………1分

22，所以a0; ……………2分 3311 ② 当0a时，得a12a3，解得a2，所以0a; ……………3分

221414③ 当a时，得a12a3，解得a，所以a; ……………4分

2323 ① 当a0时，得a12a3，解得a综上所述，实数a的取值范围是,. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为a1,xR ,

所以fxxa1x2axa1x2a……………………………7分

24333a1 ……………………………………………………………………8分

3a1 ……………………………………………………………………9分

2. ……………………………………………………………………10分

13