基于模糊集值映射的粗糙近似算子

第２６卷第４期　２ＯｌＯ年８月　大　学　数　学　ＣｏＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２６，№．４　Ａｕｇ．２０１０　基于模糊集值映射的粗糙近似算子　杨　云　（湖北第二师范学院数学与数量经济学院，武汉４３００６０）　［摘要］给出基于模糊集值映射Ｆ的模糊集的下（上）近似等概念，研究Ｆ一下（上）近似算子　，（ａｐｒＦ）　的性质，探讨求它们的方法，得到若干结果．　［关键词］粗糙集；模糊集；模糊近似空间；模糊集值映射；Ｆ一下（上）近似算子　［中图分类号］０１５９　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１０）０４—００４３～０６　１　引　言　模糊集和粗糙集理论的融合一直是人们关注的课题，模糊粗糙集理论模型的建立和发展已成为粗　糙集理论推广的主要方向之一．和单纯地使用粗糙集相比，模糊粗糙集在应用的范围和效果上有更好的　表现．模糊粗糙集发展的一个特点是将二值逻辑推广到模糊逻辑上来．模糊集的近似算子的定义和模型　的推广是模糊粗糙集理论研究的重要方向之一．在文［１］提到的Ｒａｄｚｉｋｏｗｓｋａ模型中利用论域ｕ上的　模糊等价关系Ｒ和　一模Ｔ以及边缘蕴涵子ｆ定义了模糊集的基于模糊等价关系的粗糙近似．提出了　（Ｊ，丁）一模糊粗糙集的概念．本文将基于模糊等价关系的模糊粗糙集模型推广到基于模糊集值映射的模　糊粗糙集模型，利用模糊集值映射Ｆ定义模糊集Ａ的Ｆ一下（上）近似ａｐｒｒＡ（ａｐｒＦＡ）．由此产生了两　个粗糙近似算子ａｐｒ，和ａｐｒ，，通过Ｆ与这两个粗糙近似算子的关系来探讨它们的相关性质和求解方　法，得到若干结果．　２　预备知识　设（Ｌ，Ａ，Ｖ，０，１）是一个任意给定的至少有两个不同元素的完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格，Ｌ的最小元和　最大元分别记为０和１．　定义１　Ｅ。　设Ｔ是Ｌ上的二元运算，即Ｔ：Ｌ×Ｌ—Ｌ。若Ｔ满足：Ｖ口，ｂ，ｃ　Ｅ　Ｌ　（ｉ）结合律　Ｔ（Ｔ（ａ，６），ｆ）一Ｔ（ａ，Ｔ（ｂ，ｃ）；　（ｉｉ）交换律Ｔ（ａ，６）一Ｔ（ｂ，口）；　（ｉｉｉ）单调性　由ｂ≤Ｃ推出ａＴｂ≤ａＴｃ；　（ｉｖ）边界条件　丁（１，ａ）一ａ，　称Ｔ为Ｌ上的三角模．简称ｔ一模．　由定义易知Ｔ（ａ，ｏ）一０．事实上，ＶⅡＥ　Ｌ，０≤ａ≤１，０≤Ｔ（ａ，ｏ）≤１１（１，Ｏ）一０，于是得　Ｔ（ａ，０）一０．　定义２＿３　设（Ｌ，Ｖ，八，０，１）是一个完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格，Ｔ是Ｌ上的ｔ一模，定义Ｌ上的一个二元　算子ａ　为：Ｖ　ａ，ｂ∈Ｌ，ａ　（ａ，６）＝＝＝Ｖ｛３Ｃ　　ｊｚ∈Ｌ，Ｔ（ａ，ｚ）≤ｂ），称为Ｔ的广义逆算子．特别地，当Ｔ一＾　时，即为ａ（ａ，６），称为“ａ相对于ｂ的伪补”．　［收稿日期］２００７—１１—２０；　［收稿日期］２００８一Ｏ１　２２　４４　大　学　数　学　第２６卷　定义３［３］　设丁为Ｌ上的ｔ一模，若了、满足：Ｖ　ａ　，ａ，ｂ　，ｂ，Ｅ　Ｌ，ｉ　Ｅ，（，是指标集）　（ｉ）Ｔ（（Ｖ口　），６）一Ｖ　Ｔ（ｎ　，６），称Ｔ关于Ｖ是右无限分配的；　（ｉｉ）Ｔ（（＾口　），６）一＾Ｔ（口　，６），称丁关于＾是右无限分配的；　（ｉｉｉ）Ｔ（ａ，（Ｖ　ｂ　））一Ｖ　Ｔ（口，ｂ　），称Ｔ关于Ｖ是左无限分配的；　（ｉｖ）Ｔ（口，（＾ｂ　））一＾Ｔ（ａ，ｂ　），称Ｔ关于＾是左无限分配的．　当丁关于Ｖ既是左无限分配的又是右无限分配的，称丁关于Ｖ是无限分配的．　当Ｔ关于＾既是左无限分配的又是右无限分配的，称Ｔ关于＾是无限分配的．　设（Ｌ，Ｖ，＾，０，１）是一个完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格，用Ｆ（Ｌ）表示Ｌ的模糊子集全体．即Ｆ（Ｌ）　一｛Ａ　Ｊ　Ａ：Ｌ—Ｌ），Ｆ：Ｌ—Ｆ（Ｌ）是模糊集值映射，称二元组（Ｌ，Ｆ）为广义模糊近似空间．在Ｆ（Ｌ）中　定义４设（Ｌ，Ｆ）为广义模糊近似空间，Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），定义Ａ关于Ｆ的下近似ａｐｒｖＡ和上近似　定义Ａ　Ｂ等价于Ｖ　Ｅ　Ｌ，ＡＣｘ）≤Ｂ（ｚ）．　ａｐｒ　如下：Ｖ　Ｅ　Ｌ，　ａｐｒＦＡ（ｚ）一＾ａＴ（Ｆ（ｚ）（ｆ），Ａ（￡）），　ａｐｒＦＡ（ｚ）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｚ）（ｆ），Ａ（　））．　模糊集　ｒＦＡ与ａｐｒｖＡ分别称为Ａ在（Ｌ，Ｆ）中的Ｆ一下近似和Ｆ一上近似．当ａｐｒＦＡ—ａｐｒｖＡ时，称　Ａ是Ｆ可定义的，否则称Ａ是粗糙的．序对（ａｐｒｒＡ，ａｐｒ　Ａ）称为Ｆ一模糊粗糙集．算子ａｐｔ　（ａｐｒ　）：　Ｆ（Ｌ）一Ｆ（Ｌ）分别称为Ｆ一下（上）近似算子．　设Ｒ为Ｌ上的模糊关系，即Ｒ：Ｌ×Ｌ—Ｌ，利用Ｒ定义模糊集值映射Ｎ　：Ｌ—Ｆ（Ｌ），Ｎ　（ｚ）（　）　一Ｒ（　，　），Ｖ（　，　）Ｅ　Ｌ×Ｌ，令Ｆ—Ｎ　，则Ａ关于ＮＲ的下近似ａｐｒＮ　Ａ和上近似ａｐｒＮ　Ａ分别为：　—Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｌ　ａｐｒＮＲＡ（　）一八ａＴ（Ｒ（ｚ，　），Ａ（￡）），　ａｐｒＮＲＡ（ｚ）一Ｖ　Ｔ（Ｒ（ｚ，≠），Ａ（　））．　ａｐｒｕ　和ｎ户ｒ　正是文［６］中的下近似算子和上近似算子的推广．　下面先给出Ｆ（Ｌ）中几种特殊的模糊子集，我们将通过它们来讨论ａｐｒｖ与ｎｐｒ，的性质．　Ｖ　，　∈Ｌ，令Ｌ　ｃ　一｛　：　三　ｆ　．ｔ＝ｚ。　Ｖ　，ｔ∈Ｌ，令　（￡）一｛１　０，ｔ≠　；　Ｖ　ｚ，口Ｅ　Ｌ，令ａＬ（ｚ）一。．　以下引理与定理中均设Ｌ是一个完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格，Ｆ：Ｌ—Ｆ（Ｌ）是模糊集值映射．　引理１　ｃｓ　设日，６，ｃ，ｄ，ａ　∈Ｌ，ｉ∈Ｊ是指标集，Ｔ是Ｌ上的ｔ一模，则　（ｉ）Ｔ（口，ａＴ（ｎ，６）≤ｂ；　（ｉｉ）口Ｔ（口，Ｔ（口，６）≥ｂ；　（ｉｉｉ）Ｔ（ａ，６）≤Ｃ等价于ｂ≤口Ｔ（口，ｆ）；　（ｉｖ）由ａ≤ｂ推出口Ｔ（ａ，ｃ）≥ｄＴ（６，ｃ）和ＯｇＴ（ｃ，口）≤ａＴ（ｃ，６）；　（ｖ）Ｔ（ａＴ（口，６），口Ｔ（ｃ，　））≤ａＴ（Ｔ（ａ，ｃ），Ｔ（ｂ，　））；　，　（ｖｉ）ａＴ（（＾口　），６）≥Ｖ　Ｔ（口　，６）；　（ｖｉｉ）ａＴ（（Ｖ口　），６）一＾口Ｔ（ａ　，６）；　（ｖｉｉｉ）ａＴ（６，（Ａ　ａ　））一＾ａＴ（６，ａ　）；　（ｉｘ）ａＴ（６，（Ｖ　ａ　））≥Ｖ　ａ１、（６，ａ　）；　（ｘ）ａＴ（Ｔ（口，６），ｆ）：ＯＬ丁（ｎ，　Ｔ（６，ｃ））．　第４期　杨云：基于模糊集值映射的粗糙近似算子　４５　证明见文［３］　弓Ｉ理２　Ｖ　ｚ，　Ｅ　Ｌ，贝０　（ｉ）ａｐｔＦ　（　）一Ｆ（ｙ）（　）；　（ｉｉ）ａｐｒ￣ｚ＾（　）一Ｔ（Ｆ（ｙ）（　），　）．　证　（ｉ）ａｐｔＦＩ　（Ｙ）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（￡），Ｉ　（ｔ））一Ｔ（Ｆ（ｙ）（ｚ），Ｉ　（　））　ｆ∈Ｌ　—Ｔ（Ｆ（ｖ）（　），１）＝Ｆ（ｖ）（　）．　（ｉｉ）ａｐｔＦ　＾（　）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（　），，２７　（　））一Ｔ（Ｆ（　）（　），ｚ　（　））一Ｔ（Ｆ（　）（　），　）．　ｆ∈ｌ　由引理２（ｉ）可知Ｖ．７２，Ｙ　Ｅ　Ｌ，Ｆ（３ｃ）（　）＝＝＝Ｆ（　）（ｚ）等价于ａｐｔＦ　（　）＝＝＝ａｐｔＦ　（ｚ）．　引理３　如果Ｔ关于Ｖ是无限分配的，则以下三条等价：Ｖｚ，　Ｅ　Ｌ　（ｉ）ａｐＴ＂Ｆａ　Ｌ（－ｚ）一ａｐｔｖａ　Ｌ（　）；　（ｉｉ）ａｐｒＦａＬ（　）一ａｐｒ￣ａＬ（　）；　（ｉｉｉ）Ｖ　Ｆ（ｚ）（￡）一Ｖ　Ｆ（　）（　）．　ｔＥＬ　ｔ∈Ｌ　证　（ｉ）与（ｉｉｉ）等价．　ａｐＴ＇Ｆａ　Ｌ（　）一Ｖ丁（Ｆ（ｚ）（ｆ），ａＬ（ｆ））一Ｖ丁（Ｆ（　）（￡），ａ）一Ｔ（Ｖ　Ｆ（ｚ）（ｆ），日），　￡　Ｌ　ｔＥ　Ｌ　ｔ∈』，　同理　ａｐｔＦａＬ（　）一Ｔ（Ｖ　Ｆ（　）（￡），＆）．　ｆ∈Ｌ　故ａｐｔＦａ　（ｚ）一ａｐｔＦａ　Ｌ（　）与Ｖ　Ｆ（　）（ｆ）一Ｖ　Ｆ（　）（ｆ）等价．　ｔＧ』一　∈Ｌ　再证明（ｉｉ）与（ｉｉｉ）等价．由引理１（ｖｉｉ）知　ａｐｒＦａＬ（ｚ）一＾口丁（Ｆ（　）（　），ａＬ（ｆ））一＾ａＴ（Ｆ（１ｚ）（ｆ），以）一口＿ｒ（Ｖ　Ｆ（　）（　），以）．　——ｔＥ１一ｔ∈』　ｔＥＬ　同理　ａｐｒ￣ａ，　（　）一ａＴ（Ｖ　Ｆ（　）（　），ａ），　故ａｐｒＦａ　Ｌ（１ｚ）一ａｐｔＦａＬ（　）与Ｖ　Ｆ（　）（ｆ）一Ｖ　Ｆ（　）（ｆ）等价．　３　Ｆ一近似算子的性质　这里我们先给出ａｐｔ　Ａ与ａｐｔ，Ａ的求法．　定理１　令　一｛　Ｅ　Ｌ　Ｉ　Ｆ（“）（ｚ）一１｝，　一｛ｚ　Ｅ　Ｌ　Ｉ　Ｆ（“）（　）≠１），则Ｖ“Ｅ　Ｌ，Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），　（ｉ）ａｐｒｖＡ（　）≥Ｖ　Ａ（３ｃ），　ｘＥ　Ｊ“　如果存在某个　。Ｅ　Ｉ　，使得Ｖ　Ａ（　）≤Ａ（ｘ。），ａｐｔＦＡ（“）一Ｖ　Ａ（　）．　∈Ｊ　Ｈ　∈Ｉ　（ｉｉ）ａｐｔＦＡ（“）≤＾Ａ　Ｃｒ），　——　∈Ｊ“　如果存在某个　Ｅ　Ｉ　，使得＾Ａ（ｚ）≥Ａ（ｘ　）时，ａｐｔ，Ａ（“）一＾Ａ（ｚ）．　Ｅ　Ｊ“——　：ｒＥ　Ｊ　证　（ｉ）Ｖ“∈Ｌ，　ａｐｔ　Ａ（“）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（“）（ｚ），Ａ（ｚ））　∈Ｌ　≥Ｖ　Ｔ（Ｆ（“）（　），Ａ（　））一Ｖ　Ｔ（１，Ａ（３２））一Ｖ　Ａ（ｚ）．　∈Ｉｕ　ＥＩ　∈Ｉ“　另一方面，由条件，存在某个ＸＯ∈Ｉ“，使得　Ｖ∈Ｊ　Ａ（ｚ）≤Ａ（ｚ。）≤　Ｖ　Ａ（－ｚ）・利用Ｔ的单调性以及　Ｖ　Ｕ，　Ｅ　Ｌ，Ｆ（Ｕ）（ｚ）≤１，有　ａｐｔＦＡ（　）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（“）（ｚ），Ａ（ｚ））　∈Ｌ　一（Ｖ　ｒｆ（Ｆ（“）（ｚ），Ａ（ｚ））Ｖ（Ｖ丁（Ｆ（　）（ｚ），Ａ（ｚ））　４６　大　学　数　学　≤（Ｖ　ｒ，（１，ＡＣｅ））Ｖ（Ｖ　Ａ（　））一（Ｖ　Ａ（ｚ））Ｖ（Ｖ　Ａ（　））　Ｅ－Ｊ“　∈Ｉｕ　∈Ｊ　∈Ｊ　第２６卷　一Ｖ　Ａ（　），　ｚ∈，　从而ａｐｔｖＡ（　）＝Ｖ　Ａ（　）．　．ｒＥＩ　（ｉｉ）Ｖ　Ｕ　Ｅ　Ｌ，　ａｐｔＦＡ（　）一＾口　（Ｆ（“）（　），Ａ（ｚ））≤＾口ｒ（Ｆ（“）（　），Ａ（　））　——一　ｚ∈Ｌ　ｚ∈Ｉ“　＝＾ａＴ（１，Ａ（ｚ））一∈ｌ　＾Ａ（　）．　ｚ∈　同理，由条件，存在某个．ｚ，Ｅ　１　，使得＾Ａ（　ｚ）≥Ａ（ｘ　）≥＾Ａ（ｚ）．由引理１（ｉｖ），以及　∈ＪⅡ　∈』　Ｖ　Ｕ，ｚ∈Ｌ，Ｆ（“）（ｚ）≤１，有　ｄＴ（Ｆ（“）（　），Ａ（ｚ））≥ａＴ（１，Ａ（ｚ））＝Ａ（　）　从而　ａｐｒＦＡ（“）：＾口ｒ（Ｆ（“）（　），Ａ（ｚ））　一　∈Ｌ　一（＾口Ｔ（Ｆ（“）（ｚ），Ａ（　）））＾（＾ｄＴ（Ｆ（　）（　），Ａ（ｚ）））　∈Ｊ“　Ｔ∈Ｊ　≥（＾ａｒ（１，Ａ（　）））＾（＾Ａ（　））一（＾Ａ（　））＾（＾Ａ（ｚ））　∈Ｊ　．ｒＥｌ　ｉ∈ｊ　ｕ　ｚ∈ｌ　—Ａ　Ａ（　），　∈ｆ　于是得ａｐｔＦＡ（　）一＾Ａ（ｚ）．　——　∈Ｊ“　下面的定理给出了Ｆ一下（上）近似算子ａｐｔ，（ａｐｔｒ）的性质．　定理２　（ｉ）Ｖ　Ｕ　Ｅ　Ｌ，如果存在某个ｚ。∈Ｉ　，使得Ａ（“）≤Ａ（ｚ。），则Ｖ　Ａ∈Ｆ（Ｌ）有，　Ａ　ａｐｔＦＡ；　（ｉｉ）Ｖ“Ｅ　Ｌ，如果存在某个　Ｅ　Ｉ　，使得Ａ（　）≥Ａ（ｘ　），则Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），有ａｐｒＦＡ　Ａ；　（ｉｉｉ）如果Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｌ，Ｆ（ｃｃ）（ｚ）一１，则Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），有ａｐｔＦＡ　Ａ　ａｐｒＦＡ．　证　（ｉ）Ｖ秘Ｅ　Ｌ，由定理１（ｉ）及ａｐｔＦＡ（　）≥Ｖ　Ａ（ｚ）≥Ａ（Ｊｃｏ）≥Ａ（“）得Ａ　ａｐｒＦＡ．　∈』　（ｉｊ）Ｖ　∈Ｌ，由定理１（ｉｉ）及ａｐｒｒＡ（“）≤＾Ａ（　）≤Ａ（ｚ　）≤Ａ（“）得ａｐｔＦＡ　Ａ．　——。　∈Ｉ。一。　ｕ　（ｉｉｉ）由条件，Ｖ　Ｅ　Ｌ，有Ｆ（“）（“）一１，由此得Ｕ　Ｅ　Ｉ　．取ｚ。一Ｕ有Ａ（“）＝Ａ（ｘ。），由（ｉ）知　Ｖ　Ａ∈Ｆ（Ｌ），有Ａ　ａｐｔＦＡ．同理，取ｚ。：“，有Ａ（　）＝Ａ（ｃｒ　）．由（ｉｉ）知Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），有ａｐｒＦＡ　Ａ，故ａｐｒ￣Ａ　Ａ　ａｐｒＦＡ．　推论　Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｌ，Ｆ（ｚ）（ｚ）一１的充分与必要条件是ＶＡ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），有Ａ　ａｐｔ，Ａ．　必要性．由定理２（ｉｉｉ）知．　一　充分性．设Ｖ　Ａ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），有Ａ　ａｐｔＦＡ，由此得Ｖ　ｚ　Ｅ　Ｌ，有　１＝Ｉ　（ｚ）≤ａｐｒＦＩ　（　）一Ｆ（３ｃ）（　），从而有Ｆ（　）（ｚ）一１．　ａｐｔＦＩ　．由引理２（ｉ）知　定理３如果Ｆ满足条件　Ｖ　ｚ，　Ｅ　Ｌ，Ｆ（ｚ）（３，）：Ｆ（　）（　），　（＊）　则　ＶＡ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），ａｐｔＦ（ａｐｔＦＡ）　Ａ　ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）．　证首先证明Ａ　ａｐｔ，（ａｐｔＦＡ）．由引理１中（ｉｘ）与（ｉｉ）和条件（＊），有　Ｖ．７７，　Ｅ　Ｌ，（ａｐｒＦ（ａｐｒｖＡ））（ｚ）一＾　７’（Ｆ（ｚ）（　），ａｐｒ￣Ａ（　））　——一　∈１－　一＾口Ｔ（Ｆ（ｚ）（　）），Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（ｆ），Ａ（　）））　ｙＥＬ　￡∈Ｌ　≥＾（Ｖ（ａＴ（Ｆ（ｚ）（　），Ｔ（Ｆ（ｙ）（　），Ａ（　））））　ｙＥ』　ｔ∈Ｌ　≥＾（（ｄｒｒ（Ｆ（ｚ）（　），丁（Ｆ（　）（　），Ａ（ｚ））　第４期　杨云：基于模糊集值映射的粗糙近似算子　４７　一八（（ａ．ｒ（Ｆ（ｚ）（　），Ｔ（Ｆ（ｚ）（　），Ａ（ｚ））≥＾Ａ（ｚ）一Ａ（ｚ），　Ｙ∈』　Ｙ∈Ｌ　从而Ａ　ａｐｔＦ（ａｐｒＦＡ）．　再证明ａｐｒ　（ａｐｒｒＡ）≤Ａ．由引理１中（ｖｉｉｉ）与（ｉ）和条件（＊），Ｖ　３２，Ｙ　Ｅ　Ｌ，　ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）（ｚ）　一Ｖ丁（Ｆ（　）（Ｙ），ａｐｒＦＡ（　））一Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（　），八ａＴ（Ｆ（　）（￡），Ａ（ｔ）））　∈１　——　∈１　ｔ∈Ｌ　—Ｖ八Ｔ（Ｆ（　）（　），ａＴ（Ｆ（　）（　），Ａ（ｔ））≤Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｚ）（　），口Ｔ（Ｆ（　）（　），Ａ（ｚ））　Ｙ∈』　，∈１　Ｙ∈』一　一Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｘ）（　），ａ了、（Ｆ（ｘ）（　），Ａ（ｚ））≤Ｖ　Ａ（　）一Ａ（　），　ｙ∈』　ｙ∈１一　于是得ａｐｔＦ（ａｐｒＦＡ）　Ａ．　定理４设Ｔ关于Ｖ是无限分配的，如果Ｔ和Ｆ满足条件　Ｖ　３７，　，　∈Ｌ，Ｔ（Ｆ（　）（ｚ），Ｆ（ｚ）（　））≤Ｆ（ｘ）（　），　（＊＊）　则Ｖ　Ａ∈Ｆ（Ｌ），有　（ｉ）ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）　ａｐｔＦＡ；　（ｉｉ）ａｐｒＦＡ　ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）．　证　（ｉ）设Ｔ关于Ｖ是无限分配的，利用Ｔ的单调性和条件（＊＊）有　Ｖ　∈Ｌ，　ａｐｒＦ（ａｐｔＦＡ）（１ｆｔ）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｘ）（　），ａｐｒＦＡ（　））　∈１　一Ｖ丁（Ｆ（　）（　），Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（￡），Ａ（￡））一Ｖ　Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｚ）（　），丁（Ｆ（　）（　），Ａ（　））　∈Ｉ—　ｆ∈Ｌ　』　ｆ∈１　一Ｖ　Ｖ　Ｔ（Ｔ（Ｆ（ｚ）（　），Ｆ（ｙ）（　）），Ａ（ｔ））≤Ｖ　Ｖ丁（Ｆ（ｚ）（￡），Ａ（　））　Ｙ∈Ｌｆ∈１　∈ＬｔＥ１　一Ｖ　Ｔ（Ｆ（ｘ）（　），Ａ（　））一ａｐｒＦＡ（ｚ），　ｆ∈』　故ａｐｔＦＡ　ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）　（ｉｉ）利用引理２（ｖｉｉｉ），（ｘ）和条件（＊＊），有　（ｉｉｉ）Ｖ　Ｅ　Ｌ，　ａｐｔＦ（ａｐｔＦＡ）（ｚ）一人　Ｔ（Ｆ（ｚ）（　），ａｐｒＦＡ（　））　Ｙ∈１　——　一＾ｄＴ（Ｆ（ｘ）（Ｙ），＾口Ｔ（Ｆ（ｙ）（　），Ａ（　）））　∈１一　∈Ｌ　一＾＾ａＴ（Ｆ（　）（　），ａＴ（Ｆ（ｙ）（ｚ），Ａ（　）））　Ｙ∈Ｌ　∈』　一八八ａ　（Ｔ（Ｆ（　）（　），Ｆ（　）（ｚ）），Ａ（　）））≥＾＾ａＴ（Ｆ（ｘ）（　），Ａ（ｚ））　∈』　１　∈』一　∈』一　一△　丁（Ｆ（　）（　），Ａ（ｚ））一ａｐｒｒＡ（ｚ），故ａｐｔＦＡ　ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）．　推论在定理４的条件下，条件（＊＊）成立的充分与必要条件是　ＶＡ　Ｅ　Ｆ（Ｌ），ａｐｒＦ（ａｐｒＦＡ）　ａｐｔＦＡ．　证必要性由定理４知．　充分性．Ｖ　，　∈Ｌ，ａｐｒＦ（ａｐｔ　Ｉ　）（ｚ）≤（ａｐｒ　Ｉ　）（ｚ）一Ｆ（　）（　）．　另一方面，　ａｐｒｖ（ａｐｒｒＩ　）（　）一Ｖ　Ｔ（Ｆ（　）（ｆ），ａｐｒＦ　（ｔ））　ｆ∈』一　一Ｖ丁（Ｆ（　）（￡），Ｆ（ｔ）（　））≥Ｔ（Ｆ（ｘ）（ｚ），Ｆ（ｚ）（　））．　￡∈Ｌ　故　．Ｖｚ，Ｙ，　Ｅ　Ｌ，　丁（Ｆ（　）（ｚ），Ｆ（　）（　））≤Ｆ（ｚ）（　）．　［参　考　文　献］　［１］　黄正华，胡宝清．模糊粗糙集理论研究进展［Ｊ］．模糊系统与数学，２００５，１９（４）：１２５—１３４．　［２３　Ｒａｄｚｉｋｏｗｓｋａ　Ａ　Ｍ，Ｋｅｒｒｅ　Ｅ　Ｅ．Ａ　ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｆｕｚｚｙ　ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔｓ［－Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ　Ｓｅｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００１，１２６：　１３７—１５５．　［３］　熊清泉，张晓玲．完备Ｂｒｏｕｗｅｒｉａｎ格上￡一模及其广义逆算子的性质ｌ－Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００４，　２７（１）：３９—４２．　４８　大　学　数　学　第２６卷　［４］　唐丽，王燕，莫智文．广义模糊粗糙集的广义不确定性［Ｊ］．四川师范大学学报（自然科学版），２００７，３０（３）：　２８８—２９０．　Ｊ］．工程数学学报，２００３，２０（１）：９９～１０３．　［５］　徐优红．模糊环境下粗糙近似算子的表示Ｌ米据生．模糊粗糙近似算子公理集的独立性［Ｊ］．模糊系统与数学，２００６，２０（４）：９７—１Ｏ４．　［６］　齐晓东，尚馥娟，［７］　张家录．基于随机模糊集的粗糙模型［Ｊ］．工程数学学报，２００５，２２（２）：３２３—３２７．　Ｆｕｚｚｙ　Ｒｏｕｇｈ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｆｕｚｚｙ　Ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ　Ｍａｐｐｉｎｇｓ　１，Ａ～Ｇ　ｌ　，ｚ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｗｕｈａｎ　４３Ｏ０７０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ｌｏｗｅｒ（ｕｐｐｅｒ）ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔ　ａｒｅ　ｄｅｆｉｎｅｄ．Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　Ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｏｗｅｒ（ｕｐｐｅｒ）ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｐｒＦ　ａｎｄ　ａｐｒＦ　ａｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｔｓ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ａ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ａｒｅ　ａｃｈｉｅｖｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｏｕｇｈ　ｓｅｔ；Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔ；Ｆｕｚｚｙ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｓｐａｃｅ；Ｆｕｚｚｙ　ｓｅｔ—ｖａｌｕｅｄ　ｍａｐｐｉｎｇ；ｌｏｗｅｒ（ｕｐｐｅｒ）　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ