北京市西城区2022年初三5月一模试卷(数学)word版

版

数 学 2020. 5

考生须知

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．6的相反数是

A．6

B．6

C．1

6 D．1

1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时刻120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试终止，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 62．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为 A．2.58×103 B．25.8×104 C．2.58×105 D．258×103 3．正五边形各内角的度数为

A．72° B．108° C．120° D．144° 4．抛掷两枚质地平均的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是

A．1

B．1 C．1

D．1

23455．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的 延长线于点D. 若∠D=40°，则∠A的度数为 A．20°

B．25°

C．30° D．40°

6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 体育锤炼时刻(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误的是 ．．

A．众数是9 B．中位数是9 C．平均数是9

D．锤炼时刻不低于9小时的有14人

7．由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n的最大值是

A．16 B．18

C．19 D．20

8．关于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，1}=1.若关于x的函数y = min{2x2，a(xt)2}的图象关于直线x3对称，则a、t的值可能是 A．3，6 B．2，6 C．2，6 D．2，6

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数

yx2中，自变量x的取值范畴是 ．

10．分解因式：3a212ab12b2= ．

11．如图，正方形ABCD的面积为3，点E是DC边上一点，DE=1，

将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上，落点记为F， 则FC的长为 .

12．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．

折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别 为D、E. (1) DE的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．运算：213tan30(12)012．

3(x1)5x1 ，14．解不等式组   1 并求它的所有的非负整数解.  x≥2x-4，

 215．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，D为AB延长线 上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC. (1) 求证：△ABE≌△CBD； (2) 若∠CAE=30º，求∠BCD的度数. 16．已知2ab0，其中a不为0，求a2abb2a2ab的值. a2b217. 平面直角坐标系xOy中，反比例函数 y  k ( 0 ) 的图象通过点A(2,m)，过点A作 k x AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.

(1) 求m和k的值；

(2) 若过点A的直线与y轴交于点C，且∠ACO=45°，直截了当写出点C的坐标.

18. 列方程（组）解应用题：

为了提高产品的附加值，某公司打算将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解

情形，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.

依照以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐

. 已款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）知A、B两组捐款户数的比为1 : 5. 捐款户数分组统计表

组别 A B C D E 捐款额（x）元 1≤x<100 100≤x<200 200≤x<300 300≤x<400 x≥400 户数 a 10 捐款户数分组统计图1

捐款户数分组统计图2

请结合以上信息解答下列问题.

(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；

(3) 若该社区有500户住户，请依照以上信息估量，全社区捐款许多于300元的户数是

多少？

20．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，A90，BC=2，

ABD15，C60．

(1) 求∠BDC的度数； (2) 求AB的长．

21．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC

两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E． (1) 求点O到BD的距离及∠OBD的度数； (2) 若DE=2BE，求cosOED的值和CD的长．

22. 阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的

度数．

小明同学的方法是：已知条件比较分散，能够通过旋转变换将分散的已知条件集中

在一起，因此他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC的度数为 ；

(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=213，PB=4，PC=2，则∠BPC

的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ． 图1 图2 图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x的一元二次方程x2pxq10的一个实数根为 2． (1) 用含p的代数式表示q；

(2) 求证：抛物线yx2pxq与x轴有两个交点；

(3) 设抛物线yx2pxq的顶点为M，与 y轴的交点为E，抛物线yx2pxq1

12 顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称

点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F． (1) 求证：BF∥AC；

(2) 若AC边的中点为M，求证：DF2EM；

(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与

BE相等的线段，并证明你的结论．

图1 图2

25．平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B，与y轴的

正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；

(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若QAQB2，

求点Q的坐标和现在△QAA的面积．

北京市西城区2020年初三一模试卷

数学答案及评分标准 2020. 5

一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 答案

9 x≥-2 1 A

2 C 10 3a2b2 3 B

4 C

11 5 B

6 D

7 B

12 8 C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

4，4（各2分） 31 或31（各2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式=1 …………………………………………………………4分 3312323 =3．…………………………………………………………………… 5分 3214．解：  3(x1)5x1 ，① x1≥2x-4，  ② 2

由①得x2．……………………………………………………………………1分

由②得x≤7． ……………………………………………………………………3分

3 ∴ 原不等式组的解集是-2< x≤7．………………………………………………4分

3 ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.

∵ ∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，

∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE和△CBD中,

ABCB,ABECBD,BEBD, ∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB，∠ABC=90º，

∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，

图1 ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分

∵ △ABE≌△CBD，

∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分

16. 解：原式=

aababab2baab =

ab2. ..….….….….….……………………3分

b2 ∵ 2a+b=0，

∴ b2a. ……………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=(a)2a2. (2a)24a2 ∵ a不为0，

∴ 原式=1. ..….….….….……………………………………………………… 5分

k4y(k0)x17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象通过点A(2,m)， ∴ 2mk，且m＞0.

∵ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，

∴ 122m1.

解得 m1. ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A的坐标为(2,1). ………………………………………………… 2分 ∴ k2m2. …………………………………………………………… 3分 （2）点C的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品. 依题意得 12001200. ……………………………………………………2分

10x1.5x 解得x40. …………………………………………………………………… 3分

经检验，x40是原方程的解，同时符合题意． …………………………… 4分

∴ 1.5x60.

答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20，C组的户数为20. … 3分

补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180，

捐款户数分组统计图1

图2 ∴ 依照以上信息估量，全社区捐款许多 于300元的户数是180． ……………………………… 5分

20．解：（1）∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，A90，C60，

∴ ABC90，ADC180C120．

在Rt△ABD中，∵A90，ABD15， ∴ ADB75．

∴ BDCADCADB45．…… 2分 （2）作BECD于点E，DFBC于点F．（如图3）

在Rt△BCE中，∵ BC=2，C60，

∴ BEBCsinC3，CEBCcosC1．

∵ BDC45，

BEADFC∴ DEBE3． 图3 ∴ CDDECE31． …………………………………………… 3分 ∵ BCDFCDBE， ∴

CDBE(31)333． …………………………… 4分 DFBC22 ∵ AD∥BC，A90，DFBC，

∴

33． …………………………………………………… 5分

ABDF2D21．解：（1）作OFBD于点F，连结OD．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，

∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB=OD，

∴ OBD30．……………………… 2分

∵ AC为⊙O的直径，AC=4，

∴ OB= OD= 2．

在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°， OB=2，OBF30，

FAOEB图4

C∴ OFOBsinOBF2sin301，

即点O到BD的距离等于1. ………………………………………… 3分

（2）∵ OB= OD ，OFBD于点F，

∴ BF=DF．

由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x． ∵ BFOBcos303，

∴

3， EF=3． x33在Rt△OEF中，OFE90， ∵

， OFtanOED3EF∴ OED60，

1． …………………………………… 4分

cosOED2∴ BOEOEDOBD30． ∴ DOCDOBBOE90．

∴ C45．

∴ CD2OC22． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分

（2）120°；………………………………………………………………………… 3分

27 ． ……………………………………………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）∵ 关于x的一元二次方程x2 pxq10的一个实数根为 2，

∴ 22 2pq10．…………………………………………………… 1分

整理，得 q2p5． …………………………………………………… 2分 （2）∵ p24qp24(2p5)p28p20(p4)24， 不管p取任何实数，都有(p4)2≥0，

∴ 不管p取任何实数，都有 (p4)240．

∴ 0． ………………………………………………………………… 3分

∴ 抛物线yx2pxq与x轴有两个交点．………………………… 4分

（3）∵ 抛物线yx2pxq与抛物线yx2pxq1

12y2y1的对称轴相同，都为直线

p，且开口大小相同， Fx2抛物线yx2pxq1可由抛物线yx2pxq E12沿y轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x轴、y轴） ∴ EF∥MN，EF=MN=1．

∴ 四边形FEMN是平行四边形． ………………5分 由题意得

NM图5 S四边形FEMN． pEF22解得p4．………………………………………7分

24．证明：（1）如图6．

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，

CH⊥AB于点H，

直线DE交直线CH于点F，

图6 ∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1， ∴ ∠A＝∠2．

∴ BF∥AC．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD的中点N，连结HM、HN. ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，

∴ HN∥BF． 由（1）得BF∥AC， ∴ HN∥AC，即HN∥EM． ∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°， AC边的中点为M， ∴

． 1HMACAM2∴ ∠A＝∠3． ∴ ∠EDA=∠3． ∴ NE∥HM．

图7 ∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM．

∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N， ∴

，即DF2HN． 1HNDF2∴ DF2EM． ………………………………………………………… 4分

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE

相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD．（如图8）

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴ BC=CD，∠ABC＝∠5． ∵ AB＝BC，

∴ ABC1802A，

AB＝CD．① ∵ ∠EDA=∠A，

∴ 61802A，AE=DE．② ∴ ∠ABC＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE是△ADE的外角， ∴ BDEA6． ∵ BDE45， ∴ ∠A＝∠4．③

由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分

图8 ∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC． 由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF． ∴ ∠CFE=∠ECF． ∴ EF=CE．

∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE=EF=CE．

（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）

25．解：（1）∵ yax24ax4aca(x2)2c，

∴ 抛物线的对称轴为直线x2．

∵ 抛物线yax24ax4ac与x轴交于 点A、点B，点A的坐标为(1,0)， ∴ 点B的坐标为(3,0)，OB＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为ya(x1)(x3)． ∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C， ∴ OC=3，点C的坐标为(0,3)．

将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分

yC1OADBx图9 ∴ 此抛物线的解析式为yx24x3．（如图9）…………………… 3分 （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物

线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点P，点P关于x轴的对称点为点

11P，点P、点P均为所求点.（如图10）

212 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x2上．

∵ APB、ACB差不多上弧AB所对的圆周角，

1∴ APBACB，且射线FE上的其它点P都不满足APBACB．

1由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线yx上．

∴ 点E的坐标为E(2,2)．………………………………………………… 4分

∴ 由勾股定理得 EA5． ∴ EPEA5．

1∴符合题意的点P的坐标为P(2,25)、P(2,25).

12（3）∵ 点B、D的坐标分别为B(3,0)、D(2,1)，

∴ 点P的坐标为P(2,25)．…………………………………………… 5分

11由对称性得点P的坐标为P(2,25)． ……………………………… 6分

22可得直线BD的解析式为yx3，直线BD与x轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，（如图11） 若设AA与∠AQB的平分线的交点为M，

则有 QAQA，AMAM，AAQM，Q，B，A三点在一条直线上． ∵ QAQB2，

∴ BA'QA'QBQAQB作AN⊥x轴于点N．

∵ 点Q在线段BD上， Q，B，A三点在一条直线上， ∴ ANBAsin451，BNBAcos451． ∴ 点A的坐标为A(4,1)． ∵ 点Q在线段BD上，

∴ 设点Q的坐标为Q(x,x3)，其中2x3．

∵ QAQA，

∴ 由勾股定理得 (x1)2(x3)2(x4)2(x31)2． 解得

2.

11． x411在2x3的范畴内． x4111． …………………………………………… 7分 Q(,)441115．… 8分 AB(yAyQ)2(1)2244经检验，

∴ 点Q的坐标为

现在

y

CSQAASAABSQABP1yEA'M1FOADBxOADQBNx图10 P2图11