竞赛中的不等式

维普资讯 http://www.cqvip.com 一　思想方法　曩　均　幂　不　筝　式　一景｝彝峥韵　等斌　◎ｉ难稚０　酒　４－漏车轴ｌ山　一０６４００　ｆ２ａ＋≥３．　、基础知识　链　没　０　三、答案　１　％　（谢和　１．Ｂ．由Ａ＝（Ａ　ｎＢ）知Ａ　ＧＢ，所以｛３ａ一５≤２２，解得６≤　【３ａ５≥２ａＩ１　ａ≤９．　平均）≤Ｖ　（几何平均）≤　±堕　．－±　（算术平均）≤　％　Ｅ　几　２．Ｄ由（１一　）、／１＋　≤１，得（１＋　）（１一　）　≤１，于是　、／　ｚ＋　盟（平方平均）≤ｌ／　Ｒ　二监（　次方平　一２ｋｘ＋１＋　一２ｋｘ　＋　≤１．　　．均，　≥２），等号成立的条件是ａ】则　一。一嘶　＝啦：…：ａｎ．　柯西不等式设　，啦，…，＋　　与ｂ１，ｂ　一，ｂ　ＥＲ，则　（ａｌｂ１＋Ⅱ２６　２＋…＋％６　）　≤（ａｌ　＋　＋…＋％　）（ｂ１　＋ｂ２　＋・・・＋　ｂ　）．等号成立的条件是旱Ｌ：　一一　．　ｏ１　Ｄ　２　ｏ　排序不等式设有两个有序实数组：ａ　≤啦≤…≤％；ｂ　≤　ｂ　≤…≤６　，Ｚ　，Ｚ　，…，Ｚ　是１，２，…，ｎ的任一排列，则有　ａｌｂ１＋。２６　２＋…＋　（同序和）≥ａ，ｂ　ｌ＋ｒ工２６　，＋・・・＋％６　（乱序和）≥ａｌｂ　＋　一１＋…＋　６　（反序和）．　当且仅当ａ】＝啦＝…：％；ｂ】＝ｂ　：…＝６　时，等号成立．　二、练习题　１．若非空集合Ａ＝｛ｘｌ２ａ＋１≤　≤３ａ一５Ｉ｝，Ｂ＝　≤　≤　３３｝，则能使Ａ　（Ａ　ｎ　）成立的所有ａ的集合是（　）．　Ａ．｛０１１≤ａ≤９｝　Ｂ．｛ａ１６≤ａ≤９｝　Ｃ．｛ａｌａ≤９｝Ｄ．　２．若对任何　Ｅ（０，１］，不等式１一ｋｘ≤—＝　≤１一ｌｘ　、／１＋　恒成立，则一定有（　）．　Ａ．　≥０，ｌ≥　Ｂ．　≥０，ｌ≤——　２＋、／２　≥｝＇ｆ＜｝　叭≥争　３．函数ｆ（　）：Ｉ　一ａ　在区间［一１，１］上的最大值　Ｍ（ａ）＝．　４．已知ｆ（ｘ）是定义存（０，＋ｏｚ）上的单调递增函数，且满　足／（６）＝１，／（　）一／（ｙ）＝／（—争）（　＞０，ｙ＞０），则不等　式／（　＋３）＜　）＋２的觯集是　５．设　，Ｙ，ｚ，ｔ满足１≤　≤ｖ≤　≤￡≤１００。则　＋生的最小值　Ｙ　ｔ　为．　——一６．已知Ａ：｛ｘｌｘ　一４ｘ＋３＜０，　Ｅ　Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ１２　一　＋　≤０，　一２（　＋７）　＋５≤０，　Ｅ　Ｒ１．若Ａ　Ｃ＿Ｂ，则实数ａ的取值范围　是　．　７、使不等式ｓｉｎ　＋ｔ／ｃｏｓ　＋ａ　≥１＋ｃｏｓ　对一切　Ｅ　Ｒ恒　成立的负数ａ的取值范围是　．　８．是否存在实数ａ，使函数ｆ（ｘ）：　ｚ一２ａｘ＋ａ的定义域为　［一１，１］，值域为［一２，２］．若存在，求ａ的值　若不存在，说明理由．　９．设二次函数　）＝一　＋ｂｘ＋ｃ（　，ｂ，ｃＥＲ，。≠０）满足条件：　（１）当　Ｅ　Ｒ时Ｊ（ｘ一４）＝＿厂（２一　），且＿厂（　）≥　；　（２）当　Ｅ（０，２）时　八　）≤（半）　；　（３）　）在Ｒ上的最小值为０．　求最大的ｍ（ｍ＞１），使得存存ｔＥＲ，只要　Ｅ『１．ｍ］，就有　＋ｔ）≤　．　１０．求方程　＋１１＋　：　的正整数解　Ｖ　ｚ　３　又　Ｅ［０，１］，有　＋（　一２ｋ）　＋１—２ｋ≤０，得　≥—　．　由—　、／１＋　≤１一ｌｘ，得　｛～≤１—２ｌ＋　ｌｘ＋１２ｘ３，有ｚ　＋（ｚ　一２１）ｘ＋１—２ｌ≥０，　Ｅ［０，１］　ｚ≤———　２＋、／２　１一。，当。≤—　，　３　数形结合，分类讨论　。，当。＞　．　４．　１　０＜　＜－３＋３Ｖ￣Ｕ｝．　由　＋３）　）＜　６）及单调性，知　＋３）　６））＜　６），　得ｆ　＜６，　【　＞０．　５・｝・１≤　≤ｙ≤　≤￡≤１００，—争＋ｚ￡要最小，则　：１，　ｔ：１００，Ｙ尽量大，　尽量小，　于是ｙ：　，得　Ｙ＋ｊ　≥２、／　：｝，这时　＝１，　：　Ｙ：１０．ｔ＝１００．　６．一４≤ａ≤一１．可得Ａ＝｛ｘｌ　１＜　≤３｝．设＿厂（　）＝２￣－ｘ，＋ａ，　ｇ（　）：　一２（０—７）　＋６，要使Ａ　ＧＢ，只需／（　），ｇ（　）在（１，３）上　的图像均在　轴的下方，则＿厂（１）≤０，ｆ（３）≤０，ｇ（１）≤　０，ｇ（３）≤０，由此可解得结果．　７．。≤一２．原不等式可化为（ＣＯＳＸ＠）　≤ｎ３＋　，　由一１≤ｃ。ｓ　≤１，ｎ＜０，　亏　＜０知，当ｃ。ｓ　＝１时，函数ｙ一　（ｃ。ｓ　一　）　有最大值（１一旦亏Ｌ）　，于是（１一　）　≤　＋　，解得。≤一２或。≤１（舍去）．　８．ｆ（ｘ）：（　一０）　＋ａ—ａ　，对称轴是　＝ａ、　（１）当ｎ＞１时　（　）在［一１，１］上是减函数，有Ｉｆ　（－１）＝－２【１）２，　：一得ａ　Ｅ击：　（２）当０≤ｎ≤　有　：　ｎ　（３）当一１≤。＜０时，ｐ　Ｃ（ａ）＝－２’得ｎ＝一１；　…）＝２，（４）当ａ＜一１时　）存［一１，１］上是增函数，有　于是存在ａ：一１，使＿厂（　）的定义域为［一１，１］，值域为　『一２．２］．　一．粼４一…．　））