北京市丰台区2018-2019学年度第一学期期末练习高三数学
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A.
B.
， C.
，那么 D.
（ ）
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合所以
，故选B.
，
，
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 2.若复数
A. 3 B. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数乘法的运算法则化简复数【详解】因为且复数所以，解得
，故选D.
的实部与虚部互为相反数，
，
，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.
,
的实部与虚部互为相反数，则实数 D.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
执行程序框图，可知该框图表示数列
的前4项和，利用裂项相消法可得结果.
的前4项和，
【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求并输出
，故选B
【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可. 4.已知等差数列
中，
，
，若
，则数列
的前5项和等于（ ）
A. 30 B. 45 C. 90 D. 186 【答案】C 【解析】 由所以
。
，
，
，
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为
A. 2 B. 【答案】D 【解析】 【分析】
C. D.
由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，根据三视图中数据，求出各棱的长，从而可得结果.
【详解】
由三视图可知，该三棱锥的底面是直角梯形，一条侧棱与底面垂直，直观图如图， 图中，
与底面垂直，且
，
，所以最长的棱为
，故选D.
由勾股定理可得
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6.设
是非零向量，则
是
的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为所以若若所以
，则，则是
是非零向量，
，即，可得
； 或
，
的充分不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利
用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆
通过处的铰链与固定好的短杆
连接，取一条定长的细绳，一
，拉紧绳子，移动
端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆笔尖（长杆
绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若
，
，细绳长为8，则所得
双曲线的离心率为
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设
，可得
，则
，由双曲线的定义可得
，从而可
得结果. 【详解】设所以可得
，因为
， ，
，
，
由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支， 且离心率
，，故选D.
，
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 8.如图，在棱长为2的正方体点，若直线
与平面
中，
分别是棱
的中点，是底面
内一动
，从而求出;②构造
的齐次式，求出;③采用离
不存在公共点，则三角形的面积的最小值为
A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 延展平面
平面结果.
，可得截面
,可知在
,其中
分别是所在棱的中点，可得
平面
,再证明平面
上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得
【详解】
延展平面直线所以
，可得截面,其中分别是所在棱的中点，
与平面平面
不存在公共点，
, ,
由中位线定理可得在平面在平面所以因为
平面与
在平面平面上时，直线
内， 外，
,
内相交， , 与平面
不存在公共点， 最小，
所以平面所以在因为
与
垂直，所以与重合时
的面积最小，
，故选C.
此时，三角形最小值为
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在极坐标系中，圆C：【答案】 【解析】 【分析】
的圆心到点
的距离为____．
将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果. 【详解】化为直角坐标为即为所以
与
化为
， ，
，圆心坐标为的距离为
，
的直角坐标仍然是，故答案为
.
,
【点睛】利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般
我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 10.【答案】【解析】 【分析】 先求出二项式【详解】二项式
的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数. 的展开式的通项公式为
，
令
，
，故答案为
.
展开式中的系数为____．
所以的系数为
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；
（3）二项展开式定理的应用. 11.能够说明“设【答案】【解析】 【分析】
利用不等式的性质，找出一组符合题意的【详解】要使“设
是任意非零实数．若
即可. ，则
”是假命题，
是任意非零实数．若
，则
”是假命题的一组整数．．的值依次为____．
只需满足可取故答案为
.
且，
即可，
【点睛】本题主要考查不等式的性质与应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
12.若【答案】1 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
满足
则
的最大值为____．
【详解】
画出表示的可行域，如图，
由将平移直线由图可知当直
可得变形为
，
，
，
经过点时，
直线在轴上的截距最小，有最大值， 最大值为
，故答案为.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解
坐标代入目标函数求出最值. 13.动点则当【答案】【解析】 【分析】
由12秒旋转一周，可得每秒旋转，由得
求出
时，点的坐标是
，可得当
时，
，由此可
在圆
上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间
时，点的坐标是
，
时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____．
的范围，结合正弦函数的单调性即可得结果. 12秒旋转一周，
【详解】因为动点所以每秒旋转，
设动点与正方向夹角为因为时间所以当所以
时，，
，
时，点的坐标是，
动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数为 当
时，
，
即动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数值域为故答案为
.
，
【点睛】本题主要考查三角函数的解析式，正弦函数的单调性与值域，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 14.已知函数(1) 若
，则函数
的零点有____个；
总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____．
且
(2) 若存在实数，使得函数【答案】 (1). 2 (2).
【解析】 【分析】 (1)直接由
或
求解即可的结果；（2）问题等价于使得
的图象
的图象有三个
交点，分类讨论，分别画出函数图象，利用数形结合可得结果. 【详解】(1)由所以函数（2）设由由函数若
,可得,可得在在
，画出函数
有极小值得
或
，因为
无解，
的零点有2个；
,则
在
,
递增， 上递减， ，在
有极大值，
的图象，如图，
由图可知存在,使得若
，画出函数
的图象与的图象有三个交点，此时有三个零点；
的图象，如图，
由图可知存在,使得若
，画出函数
的图象与的图象，如图，
的图象有三个交点，此时有三个零点；
由图可知若
，
的图象与在
的图象最多有两个交点，不合题意； 上递增，在
且.
递减，，
的图象
的图象最多有两个交点，不合题意，
综上可得，实数的取值范围是故答案为(1). 2 (2).
且
【点睛】本题主要考查函数的零点、分类讨论思想的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.在
中，角
的对边分别为
，
，
，
.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用余弦定理列方程求解即可；（Ⅱ）由同角三角函数的关系求得角形面积公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）在△由余弦定理可得所以
，或
， （舍）．
， 中，因为
，
，
，
，
，结合（Ⅰ）利用三
的面积. ； （Ⅱ）
.
（Ⅱ）因为
所以所以
的面积
.
.
【点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2）
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
底面
，为棱
的中点，
．
角形、三角函数有关的问题时，还需要记住16.如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求直线（Ⅲ）求二面角
； 与平面
所成角的正弦值； 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由线面垂直的性质可得面
，由正方形的性质可得
中
，侧棱
，由线面垂直的判定定理可得底面
，以
平
，从而可得结果；（Ⅱ）正方形为轴建立坐
标系，求出，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面
平面
，则
为平面
的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结的法向量，结合（Ⅱ），由空间向量夹角余
果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知弦公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为所以又因为因为
平面，正方形
底面中,
平面． ，侧棱
底面 ， ，
，
， 所以，所以中
（Ⅱ）正方形底面.
如图建立空间直角坐标系依题意，则设平面因为
的法向量，所以
，不妨设. ，所以
.
， ，
令，得 ，即，
所以所以直线
与平面
，
所成角的正弦值为 ； 平面
，所以， 且二面角
的余弦值为 ．
为平面
的法向量，
（Ⅲ）由（Ⅰ）知因为所以二面角
为锐角，
【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于中档
题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
17.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：
服装服饰智能及 展区类型 高端装备 子及家电 费品 消费电 汽车 及日用消产品 食品及农医疗器械服务 及医 贸易 药保健 展区的企400 业数(家) 60 70 650 1670 300 450 备受关注25％ 百分比 20％ 10％ 23％ 18％ 8％ 24％
备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．
（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；
（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.
（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；
（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量
的均值
和
的大小.（只需写出结论）
.
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i）见解析； （ii）【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得7个展区企业数共3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）（i）的可能取值为
家，利用古
，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随
机变量对应的概率，从而可得分布列；（ii）根据数学期望的实际意义（均值）求解即可. 【详解】（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共
家，
设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A,
所以.
家， 家，共36家.
（Ⅱ）（i）消费电子及家电备受关注的企业有医疗器械及医药保健备受关注的企业有的可能取值为0，1，2.
所以随机变量的分布列为： P
（ii）
。
0 1 2 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档.在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式
求得概率；求解一般的随机变量的分布列的基本方法是：先根据随机变量的意义，
确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解. 18.已知椭圆C:两点
，直线
的右焦点为
分别交轴于
两点.
，离心率为，直线
与椭圆C交于不同
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求证：【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据右焦点为
，离心率为，结合性质
，列出关于 、 、的方程组，求出 、即
.
； （Ⅱ）见解析.
可得结果；（Ⅱ）由 得 ，由斜率公式结合韦达定理可得
，直线
得结果.
的倾斜角与直线的倾斜角互补，即，从而可
【详解】（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设
.
.
由 得
依题意，即.
则 ,
因为
.
所以直线因为
的倾斜角与直线，所以
的倾斜角互补，即.
.
【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭
圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 19.设函数（Ⅰ）当
时，求证：
． ；
（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求得种情况：当得
，利用导数证明
在区间
上单调递增， 从而可得
，先证明，任意
在区间时，
；（Ⅱ）讨论三上单调递增，可
，不合题
时，由（Ⅰ）知符合题意；当
时，存在唯一
时，因为使得
符合题意；当
意，综合即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为当所以（Ⅱ）因为所以①当②当因此所以③当因为因此且
所以存在唯一所以任意所以
使得时，
时，令，所以在区间
.
时，由（Ⅰ）知，时，因为在区间
，所以
上单调递增， 对
恒成立； ，则恒成立，
上单调递增，
，
，即，所以
在
.
上单调递减.
，
对
.
恒成立；
时，
.
，
，所以恒成立，所以
在区间
.
上单调递增，
，不合题意.
综上可知，的最小值为1.
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
20.将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的
，当时，都有，那么称数阵具有性质.
，②数列
是公差为2的等差数
（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵列，③数列
，满足以下三个条件：①
是公比为的等比数列；
的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的
是否具有性质A，并说明理由.
（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵
阶数阵，记作数阵【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
.试判断数阵
（答案不唯一）； （Ⅱ）见解析.
（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义以及“性质”的定义写出即可；（Ⅱ）数阵证明，对于任意的则
都大于
，都有
，其中
具有性质A，只需
，
用反证明法证明，假设存在
，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾，
假设不成立，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）数阵
（答案不唯一）. 具有性质A.
，都有
，其中
.
只需证明，对于任意的下面用反证明法证明： 假设存在
，则
都大于
个数大于
，且
，
.
即在第列中，至少有
根据题意，对于每一个使得
，都至少存在一个
.
，
，即在第列中，至少有个数小于
所以，第列中至少有所以假设不成立. 所以数阵
具有性质A.
个数，这与第列中只有个数矛盾.
【点睛】本题主要考查矩阵的性质、新定义问题以及反证法的应用，属于中档题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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