满分100分,限时60分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2015重庆中考B卷)下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是( )
2.(2016福建福安环城区期中)观察下面图案,在A、B、C、D四幅图案中,能通过如图3-5-1所示图案的平移得到的是( )
图3-5-1
3.(2015广西来宾中考)如图3-5-2,在平面直角坐标系中,将点M(2,1)向下平移2个单位长度得到点N,则点N的坐标为( )
图3-5-2
A.(2,-1) B.(2,3) C.(0,1) D.(4,1)
4.如图3-5-3,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针旋转60°后得到△AB'C',则∠BAC'等于( )
图3-5-3
A.60° B.105° C.120° D.135° 5.(2016广东深圳龙岭学校期中)下列说法正确的是( )
A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小 B.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分 C.在平面直角坐标系中,一点向右平移2个单位,纵坐标加2 D.在平移和旋转图形中,对应角相等,对应线段相等且平行
6.(2016江西永新期末)如图3-5-4,将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若AC=√3,∠B=60°,则CD的长为( )
图3-5-4
A.0.5 B.1.5 C.√2 D.1
7.如图3-5-5,在6×4的方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则其旋转中心是( )
图3-5-5
A.点M B.格点N C.格点P D.格点Q
8.(2015山东德州中考)如图3-5-6,在△ABC中,∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置,使CC'∥AB,则旋转角的度数为( )
图3-5-6
A.35° B.40° C.50° D.65°
9.如图3-5-7,在△ABO中,AB⊥OB,OB=√3,AB=1,将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O,则点A1的坐标为( )
图3-5-7
A.(-1,√3) B.(-1,√3)或(1,-√3) C.(-1,-√3) D.(-1,-√3)或(-√3,-1)
10.如图3-5-8,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∠EPF为直角,且顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F.给出以下五个结论:①AE=CF;②∠APE=∠CPF;③△EPF是等腰直角三角形;④EF=AP;⑤S四边形AEPF=2S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合),上述结论中始终成立的是( )
1
图3-5-8
A.①②④ B.④⑤ C.①②⑤ D.①②③⑤
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位,得到线段O1A1,则点O1的坐标是 ,A1的坐标是 .
12.如图3-5-9,将△ABC 沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,若∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为 .
图3-5-9
13.(2016甘肃永州期中)一个图形无论经过平移变换还是旋转变换,下列结论一定正确的是 .(把所有你认为正确的序号都写上) ①对应线段平行;②对应线段相等; ③对应角相等;④图形的形状和大小都不变.
14.(2015湖南常德中考)已知A点的坐标为(-1,3),将A点绕坐标原点O顺时针旋转90°,则点A的对应点的坐标为 .
15.小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称.如果小明家距学校2千米,那么他们两家相距 千米.
16.如图3-5-10所示,(1)经过 变换成(2),(2)经过 变换成(3).
图3-5-10
17.(2012广东广州中考)如图3-5-11,在等边△ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为 .
图3-5-11
18.(2015吉林中考)如图3-5-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,BC=12 cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△EBD,连接DC交AB于点F,则△ACF和△BDF的周长之和为 cm.
图3-5-12
三、解答题(共46分)
19.(10分)如图3-5-13,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2√2,√10.△ADP绕点A旋转至△ABP',连接PP',延长AP与BC相交于点Q. (1)求证:△APP'是等腰直角三角形; (2)求∠BPQ的大小.
图3-5-13
20.(12分)(2016安徽灵璧中学月考)如图3-5-14所示,把△ABC置于平面直角坐标系中,请你按下列要求分别画图.
(1)画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1; (2)画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2; (3)画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3.
图3-5-14
21.(10分)如图3-5-15,把正方形ABCD绕着点A按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC交于点H.试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想,再说明你的理由.
图3-5-15
22.(14分)给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图3-5-16,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
图3-5-16
参考答案:
1.答案 B 根据中心对称图形的定义,只有B选项符合. 2.答案 C 根据平移性质,对应点的连线互相平行,可知选C.
3.答案 A 点M(2,1)向下平移2个单位长度后,纵坐标变为-1,故选A. 4.答案 B 由题意知∠BAB'=60°,所以∠BAC'=∠BAB'+∠B'AC'=60°+45°=105°.
5.答案 B 平移和旋转都不改变图形的形状和大小,故A选项不正确;向右平移2个单位,横坐标加2,故C不正确;旋转图形中,对应线段相等,但不一定平行,故D不正确,只有B正确. 6.答案 D ∵∠BAC=90°,∠B=60°,∴∠C=30°, ∴BC=2AB,由AC2+AB2=BC2,AC=√3得AB=1,BC=2. 由旋转的性质得AB=AD,又∵∠B=60°,
∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=1.∴CD=BC-BD=1.
7.答案 B 点M、N、P、Q中只有点N与甲、乙两三角形对应顶点的距离相等,且旋转角都是90°,故选B.
8.答案 C 易知∠C'AC为旋转角. ∵CC'∥AB,∴∠BAC=∠ACC'=65°, 又∵AC'=AC,∴∠CC'A=∠ACC'=65°, ∴∠C'AC=180°-2×65°=50°.
9.答案 B 当绕点O顺时针旋转90°时,点A1在第四象限,坐标为(1,-√3). 当绕点O逆时针旋转90°时,点A1在第二象限,坐标为(-1,√3).故选B.
10.答案 D 由题意可证明△AEP≌△CFP,从而能得到①②③⑤,④不一定成立.故选D. 11.答案 (3,0);(4,3)
解析 因为点O,A的对应点分别为O1,A1,所以将线段OA向右平移3个单位,得到点O1的坐标是(3,0),A1的坐标是(4,3). 12.答案 30°
解析 ∵△BDE是△ABC 沿直线AB向右平移得到的, ∴∠EBD=∠CAB=50°,
∴∠CBE=180°-∠EBD-∠ABC =180°-50°-100°=30°. 13.答案 ②③④
解析 由平移和旋转的性质可得. 14.答案 (3,1)
解析 设A的对应点为A',如图,∵AM⊥y轴,A'M'⊥x轴,∴∠1=∠2=90°, 又∵∠3+∠4=90°,∠4+∠5=90°, ∴∠3=∠5. 又∵OA=OA', ∴△OAM≌△OA'M', ∴OM'=OM=3, A'M'=AM=1,∴A'(3,1).
15.答案 4
解析 ∵小明、小辉两家所在的位置关于学校成中心对称, ∴小明、小辉两家到学校的距离相等, ∵小明家距学校2千米, ∴他们两家相距4千米. 16.答案 平移;旋转
解析 平移是沿直线移动一定的距离得到新图形,旋转是绕某个点旋转一定的角度得到新图形,观察时要紧扣图形变换的特点,认真判断. 17.答案 2
解析 由旋转及△ABC为等边三角形得CE=BD=BC=AB=2. 18答案 42
解析 先由勾股定理求出AB=13 cm.由题意可知∠DBC=60°,BD=BC=12 cm,AB=BE=13 cm.易知△BCD是等边三角形,所以CD=BC=BD=12 cm.
△ACF和△BDF的周长之和=(AC+AF+CF)+(BF+DF+BD)=AC+AB+CD+BD=42 cm.
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19解析 (1)证明:由题意可得AP=AP',∠BAP'=∠DAP,
∴∠PAP'=∠PAB+∠BAP'=∠PAB+∠DAP=∠BAD=90°, ∴△APP'是等腰直角三角形.
(2)在Rt△APP'中,AP=AP'=1,∴PP'=√2, 又∵BP'=DP=√10,BP=2√2,
∴P'P2+BP2=P'B2, ∴△BPP'是直角三角形, 且∠P'PB=90°,又∠APP'=45°, ∴∠BPQ=180°-∠P'PB-∠APP'=45°. 20解析 (1)△A1B1C1如下图.
(2)△A2B2C2如下图. (3)△A3B3C3如下图.
21解析 相等.理由:如图,连接AH.由题意知AG=AB,∠AGH=∠ABH=90°,又AH=AH,所以Rt△AGH≌Rt△ABH.所以HG=HB.
22解析 (1)正方形、直角梯形.(答案不唯一) (2)①证明:由题意知△ABC≌△DBE, ∴BC=BE. 又∠CBE=60°, ∴△BCE是等边三角形.
②证明:由①知△BCE为等边三角形, ∴BC=CE,∠BCE=60°,
∵∠DCB=30°, ∴∠DCE=90°.
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2. 根据旋转的性质易知DE=AC.
∴DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
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