圆的面积公式探索

数学有形 思想无痕

——圆的面积公式的探索

董文华

一、 在折剪中悟“极限”

师：在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮？

（小组活动后交流）

小组1：（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。

小组2：我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。

小组3：（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。

师：其他小组有没有这种情况？

小组4：我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。

师：这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。

（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。）

师：想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展开后才会更圆？

学生1：受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。

学生2：剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接近圆。

师：认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？

学生1：我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。

学生2：圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成的。

二、在探究中巧“转化”

师：如何求圆的面积？能不能像推导三角形、平行四边形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式？

（小组活动后交流）

1

小组1：我们把圆对折三次平均分成8个小三角形，三角形的底是圆周长的 ，三角

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形的高也就是圆的半径r，推出圆的面积公式： ×2∏r×r÷2×8＝∏r2；

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小组2：折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式： ×2∏r×r÷2×X＝∏r2；

X

1

小组3：我们小组想到了三角形的面积公式推导过程，把圆剪成8个小三角形一正一倒反插在一起，拼成了一个近似平行四边形。拼成的平行四边形的面积和原来的圆的面积是相等的，平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的高等于圆的半径，平行四边1

形的面积等于底乘高，圆面积公式等于 ×2∏r×r＝∏r2。

2

小组4：如果分的份数越多比如16份、32份，拼成的图形越接近于长方形，根据长1

方形的长、宽与圆的关系，也能得出圆的面积公式 ×2∏r×r＝∏r2。

2

师生共同完成板书：S＝∏r2

【我的思考】圆的面积公式推导与以前学过的平面图形的面积公式推导有质的区别，学生在已有的学习经验基础上建构这一知识是有难度的，如何建立圆这个曲边图形和直线图形之间的转化是教学的突破口。本环节中借助“剪纸”这一学生喜闻乐见的活动，在剪圆的过程中思考 “如何剪得更圆”、“为什么我剪出的圆象花瓣”、 “为什么要直着剪”，学生带着问题尝试和探索，联想到刘徽的“割圆术”， 思维步步逼近，逐步达成共识：对

折的次数越多，剪的越直，越接近圆。此时，在学生的头脑中圆已经化身为一个正多边形。圆与直线型图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见，摸得着的学习过程中感悟出来的，分散了教学难点，面积公式的推导也就顺理成章了。

特级教师钱阳辉说过：如果知识后面没有方法，知识只能成为一种负担，如果方法背后没有思想，方法只不过是一种笨拙的工具。在上面的教学过程中，比得到一个公式更为重要的东西，那就是数学思想的熏陶，这才是数学的精髓，花再多的时间也是值得的。

（作者单位：鹤壁市山城区实验小学）

“接受”与“探究”同样精彩

三门峡市实验小学 周国一

案例：

师：圆的面积公式怎样推导？是不是也可以像平行四边形、三角形、梯形一样可以转化成其它已学过的平面图形呢？

生：可以把圆转化成长方形来推导面积公式。

师：好，请同学们动手试一试。

（几分钟过去了，无人转化成功，学生很茫然）

生：圆是曲线围成的，圆不可能转化成长方形。

（一语激起千层浪，大多数同学赞同这一说法，部分学生否认）

师：从表面上看，曲线的圆是无法转化成有线段围成的长方形的。但是，我们古代的科学家经过不懈的努力，却转化成功了。同学们想知道古人是怎样转化的吗？

生（迫不及待）：想。

师：请同学们认真观察多媒体课件演示，看看圆是如何转化成直线图形的。

（电脑直观演示：先把圆等分成12份，然后剪开，接着拼接成近似的平行四边形）

生：不是长方形，是不标准的平行四边形。

（电脑演示：把圆等分成16份后拼接， 接着是等分成32份、64份、……）

师：如果一直这样无限地等分下去，结果将会怎样？

生：圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近长方形。

师：同学们，刚才电脑演示的圆的转化方式叫“割圆术”，公元3世纪，我国数学家刘徽采用“割圆术”推算出了圆周率。这种以直代曲，用有限逼近无限的数学思想为我国古代数学家首创……

1

（师生共同总结：圆面积=转化后长方形面积=长×宽= c× r= ×2πr ×r＝πr2）

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1

师：同学们猜想一下，我们还能把圆转化成哪些平面图形？

生：转化成近似的等腰三角形。

生：转化成近似的等腰梯形。

师：请同学们4人一组合作探究，把圆转化成其中的任意一种图形，推导出圆面积的计算公式。看谁能探究出与众不同的圆面积推导过程。

结果：

学生4人一组进行探究，探究结果如下：

1

小组1：把圆16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出三角形的底相当于圆周长的 ，

4111

高相当于圆半径的4倍，所以圆面积=三角形面积= ×底×高= × ×2πr×4r=πr2

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小组2：把圆等分后，拼成近似的等腰梯形，得出梯形上底与下底的和就是圆周长的11

一半，高等于圆半径的2倍，所以圆面积= 梯形面积= ×（上底+下底）×高= ×πr×

222r =πr2。

小组3：把圆平均分成16份，得出一份即一个小三角形所占的面积就是整个圆面积的 ，小三角形的底相当于圆的周长的 ，高相当于圆的半径，所以圆面积= 一个小三角

16161

1

111

形的面积×16 = （底×高）×16= ×（2πr× ×r）×16=πr2。

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最后师生归纳总结：S=πr2。

反思：

本片段教学中，我根据学生的年龄特征，组织了有意义的接受学习和探究活动。我首先让学生动手操作，当学生积极探究后仍无法转化成功时，再运用多媒体课件边演示边讲授。此时，学生的注意力高度集中，思维也极其活跃，这时的接受学习就显得非常必要和有效。接着，在接受学习的基础上，学生通过猜想、小组合作探究，把圆转化成近似的梯形或三角形，进一步验证了圆的面积公式。圆的面积公式是刻板的，而公式推导的再创造过程却是鲜活、生动而有趣的。在推导过程中，学生最大限度地投入到观察、思考、操作、探究活动中，亲历“做数学”的过程，体验到成功喜悦。

学习如同“探路”，在达到目标的过程中，数学上的规定性、陈述性、事实性知识等如同“路标”需要学生接受，数学上的实验、尝试、推测、思考、发现等如同“行走方式”需要学生探究，但有时也需要接受与探究交叉进行。不管采用什么方法，只要能根据教学特点和实际需要合理运用，教学效果一样精彩！

2009年4月29日发表于《教育时报》

国内统一刊号：CN41-0026

“曲直”转化显奇葩

——圆的面积公式探索

刘荣霞

一、开门见山提问题

师：同学们，前几节课我们学习了圆的有关知识，这节课我们来探索圆的面积。请大家思考一下，我们可以用哪些方法求解圆的面积呢？（学生思考交流）

生1：可以在圆的边外面画一个正方形。先求出正方形的面积，然后再把多出来的部分减去就得到了圆形的面积。

生2：有问题。多出来的部分面积怎么算？是不是可以把正方形画在里面呢?（生挠挠头说：“好像也不太行”。）

师：你们想通过正方形解决圆的面积，非常了不起。你们可以再找找有没有比正方形更接近圆面积的图形。

生3：在圆上画方格，数数有多少个方格，就可能会知道圆的面积有多大了。

师：想法很独特，想到了求图形面积要用到面积单位。一会可以尝试一下。

生4：（手中拿着一个圆边折叠边讲解）把圆形多折叠几次，变成一个一个的小三角形，先求出每个小三角形的面积，再乘三角形的个数，也可以得到圆形的面积。

师：为什么要多折几次呢？

生4：折的次数越多，折出来的形状越像三角形。

师：这是数学上的逼近思想！

生5：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形和平行四边行面积的求解方法，要是把圆形变成这几种图形就好了。

师：（鼓掌）大家大发言太精彩了，每个人的眼界顿时开阔了起来。知道吗，在你们提出策略中，就有数学家用到的“转化”和“极限”的思想方法。（板书）下面，请有共同想法的同学相互合作，探索圆的面积。如有什么困难，可以和我交流，咱们共同解决。

二、动手操作探真知

师：哪个小组愿意把你们探索结果与大家共享。

生1：我们组用了数格子的方法。只能得出圆的大概面积，不能得到准确的结果，因为圆上的格子不一定都是正方形的，有些地方没有办法知道准确的面积。

生2：我们借鉴了转化的方法。把圆平均分成8份，拼成了一个近似的平行四边形。

平行四边形的底是圆周长的一半，平行四边形的高是圆的半径，因此，S平=2∏r/2×r =∏r2 （生板书）圆的面积公式：2∏r/2×r =∏r2

生3：把圆对折4次平均分成16份，每一份看成是一个三角形。三角形的底是圆周长的1/16，就是2∏r /16，三角形的高也就是圆的半径r，一个三角形的面积是：2∏r /16×r÷2；三角形的总面积等于圆形的面积。由此推出圆的面积公式：2∏r/16×r÷2×16＝∏r2；

生4：我们组把圆变化成了一个三角形。（指着拼好的三角形图）这个三角形的底是圆周长的1/4，高是4r，三角形的面积：2∏r/4×4r÷2 那么圆形的面积=2∏r/4×4r÷2=∏r2

生5：圆形也可以剪拼成梯形。（指梯形图讲解）先把圆平均分成32份，剪开后拼成梯形。梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=2∏r/4×4r÷2，上下底合起来是2∏r/4。

那么，圆的面积=2∏r/4×4r÷2=∏r2

师生看课件演示——把圆平均分成32、64、128等份，拼成近似的平行四边形、长方形，推导出圆形面积公式。

总结归纳，圆的面积和转化后图形的面积的大小相等，因此圆面积公式：S=∏r2

【课后反思】本课转化不是难点，关键是学生不知如何把圆转化成直线的图形。因此教师在开课初，没有过多的铺垫与情景设置，直接提出核心问题：请大家思考一下，我们可以用哪些方法求解圆的面积呢？这样做的目的是给学生较多的思考、探究的空间与时间，让学生独立思考，通过交流使大部分学生开拓思路，让学生都能有探究的方向，有目的的操作。使得学生在探索圆面积公式的过程中始终运用了“转化”的数学思想，创造出了不同的“以直代曲”推导出圆面积公式的朵朵奇葩，使学生对圆的面积公式的由来从更多层面认识理解。

心理学家米德说：“让一个二十世纪的儿童自己去发现：在直角三角形里，勾股边的平方之和等于弦边的平方，那么他也就完成了跟毕达哥拉斯一样的创造性劳动，尽管这个发现的结果对于文化传统来说等于零，但在孩子的心灵深处却会认为自己是一个发现者、研

究者、探索者。”从而激励孩子的终身学习的积极性和趣味性。