机械能守恒定律总结

一．知识聚焦

1．定义：物体由于做机械运动而具有的能叫机械能，用符号E表示，它是动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称．

2．表达式：E＝Ek＋Ep.机械能是标量，没有方向，只有大小，可有正负(因势能可有正负)．

3．机械能具有相对性：因为势能具有相对性(需确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是地面)，所以机械能也具有相对性．只有在确定的参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义 二．经典例题

例1 下列物体中，机械能守恒的是( ) A．做平抛运动的物体 B．被匀速吊起的集装箱

C．光滑曲面上自由运动的物体

4

D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动

5

解析 物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，4

所以A、C项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g的

5411

加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F－mg＝m(－g)，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外

555力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．

答案 AC

例2 如图所示，在水平台面上的A点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小．

解析 物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则

112

mgH＋mv20＝mg(H－h)＋mvB 22解得vB＝v20＋2gh 若选桌面为参考面，则 1212mv0＝－mgh＋mvB 22

解得它到达B点时速度的大小为 vB＝v20＋2gh 答案 v20＋2gh

例3 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量1

分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连结并跨过定滑轮．开始时两物块都位于与地面垂直距离为H的位置上，释放

2两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落．若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值．滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计．

解析 设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得

HH1m2g－m1gsin 30°＝(m1＋m2)v2①

222A物体以v上滑到顶点过程中机械能守恒 1H

m1v2＝m1gsin 30°② 22m1由①②得＝1∶2

m2

答案 1∶2

例4 质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法中正确的是( )

A．物体的重力势能减少2mgh B．物体的机械能保持不变 C．物体的动能增加2mgh D．物体的机械能增加mgh

解析 因重力做了mgh的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh，合力做功为2mgh，由动能定理可知动能增加2mgh，除重力之外的力做功mgh，所以机械能增加mgh，A、B错，C、D对．

答案 CD v0例5用弹簧枪将一质量为m的小钢球以初速度v0竖直向上弹出，不计空气阻力，当小钢球的速度减为时，钢球的重4力势能为(取弹出钢球点所在水平面为参考面)( )

152171422A.mv0 B.mv2 C.mv D.mv 3232032090答案 A

11v02解析 由mv20＝Ep＋m()得 22415Ep＝mv2.

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三、基础演练

1.关于机械能守恒，下列说法正确的是( ) A．物体匀速运动，其机械能一定守恒

B．物体所受合外力不为零，其机械能一定不守恒

C．物体所受合外力做功不为零，其机械能一定不守恒

D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少 答案 D

2．如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有( )

A．力F所做功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量 B．木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量

C．力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量 D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量 答案 BCD

解析 对木箱受力分析如右图所示，则由动能定理： WF－mgh－WFf＝ΔEk，故C对．

由上式得：WF－WFf＝ΔEk＋mgh，即WF－WFf＝ΔEk＋ΔEp＝ΔE，故A错，D对．

3.如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中( ) A．M、m各自的机械能分别守恒 B．M减少的机械能等于m增加的机械能 C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能 D．M和m组成的系统机械能守恒

解析：M下落过程，绳的拉力对M做负功，M的机械能不守恒，减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误．对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误． 答案：BD 4．(2009年营口质检)如图13所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面而且不计空气阻力， 则

①物体到海平面时的势能为mgh②重力对物体做的功为mgh

11

③物体在海平面上的动能为mv20＋mgh④物体在海平面上的机械能为mv20

22其中正确的是( )

A．①②③ C．①③④ B．②③④ D．①②④

1

解析：以地面为零势能面，物体到海平面时的势能为－mgh，①错，重力对物体做功为mgh，②对；由机械能守恒，

21

mv20＝Ek－mgh，Ek＝mv20＋mgh，③④对，故选B.

2

答案：B

5.如图14所示，一轻质弹簧竖立于地面上，质量为m的小球，自弹簧正上方h高处由静止释放，则从小球接触弹簧到

将弹簧压缩至最短(弹簧的形变始终在弹性限度内)的过程中，下列说法正确的是 ( )

A．小球的机械能守恒

B．重力对小球做正功，小球的重力势能减小

C．由于弹簧的弹力对小球做负功，所以弹簧的弹性势能一直减小 D．小球的加速度先减小后增大

解析：小球与弹簧作用过程，弹簧弹力对小球做负功，小球的机械能减小，转化为弹簧的弹性势能，使弹性势能增加，因此A错误，C错误；小球下落过程中重力对小球做正功，小球的重力势能减小，B正确；分析小球受力情况，由牛顿第二定律得：mg－kx＝ma，随弹簧压缩量的增大，小球的加速度a先减小后增大，故D正确． 答案：BD

6.利用传感器和计算机可以测量快速变化的力，如图16所示是用这种方法获得的弹性绳中拉力F随时间的变化图象．实验时，把小球举高到绳子的悬点O处，然后让小球自由下落．从图象所提供的信息，判断以下说法中正确的是 ( )

A．t1时刻小球速度最大 B．t2时刻小球动能最大 C．t2时刻小球势能最大 D．t2时刻绳子最长

解析：小球自由下落的过程中，t1时刻绳子的拉力为零，此时速度不是最大，动能也不是最大，最大速度的时刻应是绳子拉力和重力相等时，即在t1、t2之间某一时刻，

t2时刻绳子的拉力最大，此时速度为零，动能也为零，绳子的弹性势能最大，而小球的势能不是最大，而是最小，t2时刻绳子所受拉力最大，绳子最长． 答案：D

四．能力提升

1.如图7－8－7所示，某人以拉力F将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说法中正确的是( )

A．物体做匀速运动

B．合力对物体做功等于零 C．物体的机械能守恒 D．物体的机械能减小 答案 C

2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )

答案 C

解析 依据机械能守恒条件：只有重力做功的情况下，物体的机械能才能保持守恒，由此可见，A、B均有外力F参与做功，D中有摩擦力做功，故A、B、D均不符合机械能守恒的条件．

1

3.(2010年山东名校联考)一质量为m的物体，以g的加速度减速上升h高度，不计空气阻力，则( )

3

A．物体的机械能不变

1

B．物体的动能减小mgh 3

2

C．物体的机械能增加mgh D．物体的重力势能增加mgh

3

12

解析：设物体受到的向上的拉力为F.由牛顿第二定律可得：F合＝F－mg＝－mg，所以F＝mg.动能的增加量等于合

3312

外力所做的功－mgh；机械能的增加量等于拉力所做的功mgh，重力势能增加了mgh，故B、C、D正确，A错误．

33答案：BCD

4．(2010年成都模拟)如图10所示，质量相等的A、B两物体在同一水平线上，当A物体被水平抛出的同时，B物体开始自由下落(空气阻力忽略不计)，曲线AC为A物体的运动轨迹，直线BD为B物体的运动轨迹，两轨迹相交于O点，则两物体( )

A．经O点时速率相等 B．在O点相遇

C．在O点具有的机械能一定相等 D．在O点时重力的功率一定相等

解析：由机械能守恒定律可知，A、B下落相同高度到达O点时速率不相等，故A错．由于平抛

运动竖直方向的运动是自由落体运动，两物体从同一水平线上开始运动，将同时达到O点，故B正确．两物体运动过程中机械能守恒，但A具有初动能，故它们从同一高度到达O点时机械能不相等，C错误．重力的功率P＝mgvy，由于两物体质量相等，到达O点的竖直分速度vy相等，故在O点时，重力功率一定相等，D项正确． 答案：BD

五、个性天地

1．如图7－8－8所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H＝72 m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h＝37 m．不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度．(g取10 m/s2)

答案 26.5 m/s

解析 取水平地面为参考平面，在过山车从A点运动到B点的过程中，对过山车与地球组成1

的系统应用机械能守恒定律，有mgh＋mv2＝mgH

2

可得过山车运动到B点时的速度为

v＝2gH－h＝2×10×72－37 m/s≈26.5 m/s

2．某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v0＝5 m/s 抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s2，问：

(1)人对小球做了多少功？ (2)小球落地时的速度为多大？ 答案 (1)12.5 J (2)15 m/s

解析 (1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以

112W＝mv20＝×1×5 J＝12.5 J[来源:] 22(2)根据机械能守恒定律可知 112mgh＋mv2＝mv

202

2所以v＝v20＋2gh＝5＋2×10×10 m/s＝15 m/s

3.如图7－8－9所示，光滑的水平轨道与光滑半圆轨道相切，圆轨道半径R＝0.4 m．一个小球停放在水平轨道上，现给小球一个v0＝5 m/s的初速度，求：(g取10 m/s2)

(1)小球从C点飞出时的速度．

(2)小球到达C点时，对轨道的作用力是小球重力的几倍？ (3)小球从C点抛出后，经多长时间落地？ (4)落地时速度有多大？

答案 (1)3 m/s (2)1.25倍 (3)0.4 s (4)v0

解析 (1)小球运动至最高点C过程中机械能守恒，有

121mv0＝2mgR＋mv2 22C

2vC＝v20－4gR＝5－4×10×0.4 m/s＝3 m/s (2)对C点由向心力公式可知 2vCFN＋mg＝m

R

v2CFN＝m－mg＝1.25mg

R

由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力为小球重力的1.25倍． (3)小球从C点开始做平抛运动 1

由2R＝gt2知

2t＝

4R＝ g

4×0.4

s＝0.4 s 10

(4)由于小球沿轨道运动及做平抛运动的整个过程机械能守恒，所以落地时速度大小等于v0. 4 如图6所示，作平抛运动的小球的初动能为6J，不计一切阻力，它落在斜面上P点时的动能为：（ ） A. 12J B. 10J C. 14J D. 8J

解析：把小球的位移分解成水平位移s和竖直方向的位移h。 svt，h12hgt，tan30° 2s12gt122v223v32 即 所以t， hgt 23g3gvt3 根据机械能守恒定律得

图6

121mvmghmv2p 22121222 所以mvpmvmv

22312412 mv×mv14J。

232

所以正确答案为C。

5.半径R＝0.50 m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20 kg的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长为L0＝0.50 m，劲度系数k＝4.8 N/m，将小球从如图19所示的位置由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时弹簧的弹性势能EPC＝0.6 J，g取10 m/s2.求：

图19

(1)小球经过C点时的速度vc的大小；

(2)小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．

1

解析：(1)设小球经过C点的速度为vc，小球从B到C，据机械能守恒定律得mg(R＋Rcos60°)＝EPC＋mv2c，代入数

2据求出vc＝3 m/s.

(2)小球经过C点时受到三个力作用，即重力G、弹簧弹力F、环的作用力FN. 设环对小球的作用力方向向上，根据牛v2cv2c

顿第二定律F＋FN－mg＝m，由于F＝kx＝2.4 N，FN＝m＋mg－F，解得FN＝3.2 N，方向向上．

RR根据牛顿第三定律得出小球对环的作用力大小为3.2 N．方向竖直向下．

答案：(1)3 m/s (2)3.2 N，方向竖直向下