〔一〕、折扣和成数
1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折〞。
几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如八折=86.510 =80﹪，六折五=65
10 =100
=65﹪
解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，
然后按照求比一个数多〔少〕百分之几〔几分之几〕的数的解题方法进行解答 商品现在打八折 ：现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五：现在的售价是原价的65﹪ 2、成数：
几成绩是十分之几，也就是百分之几十。例如一成=110 =10﹪，八成五=8.510 =85
100
=80﹪
解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，
然后按照求比一个数多〔少〕百分之几〔几分之几〕的数的解题方法进行解答 这次衣服的进价增加一成 ：这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85﹪ 〔二〕、税率和利率 1、税率
〔1〕纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照肯定的比率把集体或个人收入的一局部缴纳给国家。
〔2〕纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款开展经济、科技、教育、文化和国防平安等事业。
〔3〕应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
〔4〕税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
〔5〕应纳税额的计算方法： 应纳税额=总收入×税率 收入额=应纳税额÷税率 2、利率
〔1〕存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
〔2〕储蓄的意义：人们常常把临时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加平安和有方案，还可以增加一些收入。 〔3〕本金：存入银行的钱叫做本金。
〔4〕利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 〔5〕利率：利息与本金的比值叫做利率。
〔6〕利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间 利率＝利息÷时间÷本金×100％ 〔7〕注意：如要上利息税〔国债和教育储藏的利息不纳税〕，则：
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率) 税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略：
估量费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。
购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比拟，并能够最终选择最为优惠的方
案
学后反思：做事情运用策略的好处
二 圆柱和圆锥
一、圆柱
1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。〔两种方法：1.以长方形的长为底面周长，宽为高;2.
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以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方法得到的圆柱体体积较大。〕
2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的 3、圆柱的特征：
〔1〕底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 〔2〕侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 〔3〕高的特征 ：圆柱有无数条高
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，外表积增加2倍底面积，即S 增 =2πr²
②竖切〔过直径〕：切面是长方形〔如果h=2R，切面为正方形〕，该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，外表积增加两个长方形的面积，即S增=4rh
5、圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，展开图形为正方形 ②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形 ③无论怎么展开都得不到梯形 6、圆柱的相关计算公式：底面积 ：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr 侧面积 ：S侧=2πrh
外表积 ：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh 体积 ：V柱=πr²h
考试常见题型：①圆柱的底面积和高， 求圆柱的侧面积，外表积，体积，底面周长
②圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，外表积，体积，底面积 ③圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，外表积，高，底面积 ④圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，外表积，体积
⑤圆柱的侧面积和高， 求圆柱的底面半径，外表积，体积，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算
无盖水桶的外表积 =侧面积＋一个底面积 油桶的外表积 =侧面积＋两个底面积 烟囱通风管的外表积=侧面积 只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装 侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池
侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类 二、圆锥
1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的 圆锥也可以由扇形卷曲而得到
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高 3、圆锥的特征：
〔1〕底面的特征：圆锥的底面一个圆。
〔2〕侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 〔3〕高的特征 ：圆锥有一条高。 4、圆柱的切割：①横切：切面是圆
②竖切〔过顶点和直径直径〕：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，
底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积， 即S增=2rh
5、圆锥的相关计算公式：底面积 ：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
体积 ：V锥=1
3
πr²h
考试常见题型：①圆锥的底面积和高，求体积，底面周长
②圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
③圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算
三、圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。 2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。
4、圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差2
3
Sh
题型总结
①直接利用公式：分析清楚求的的是外表积，侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、外表积、体积之比
②圆柱与圆锥关系的转换：包含削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间) ③横截面的问题
④浸水体积问题：(水面上升局部的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升
的高度)容积是圆柱或长方体，正方体
⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，
注意不要乘以1
3
四、典型题：
1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的π倍， 即h=C=πd,它的侧面积是S侧=h²
2、圆柱的底面半径扩大2倍，高不变，外表积扩大2倍，体积扩大4倍。
3、圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，外表积扩大4倍，体积扩大8倍。 4、圆柱的底面半径扩大3倍，高缩小3倍，外表积不变，体积扩大3倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米，这个圆柱的体积是〔 〕立方厘米，圆锥的体积是〔 〕立方厘米
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 ：3，圆柱占1份，圆锥占3份，一共4份，题目中说了4份的和一共是48立方厘米。 圆锥占了4份中的1份，圆柱占了4份中的3份
V锥：48÷4=12(立方厘米) 或 48×1
4
=12(立方厘米)
V柱：48÷4=12(立方厘米) 12×3=36(立方厘米) 或 48×3
4
=36(立方厘米)
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米，这个圆柱的体积是〔 〕立方分米，圆锥的体积是〔 〕立方分米。
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 ：3，圆柱占1份，圆锥占3份，1份和3份相差了2份，题目中说了相差24立方分米，2份就是24立方分米
圆锥占了2份中的1份，圆柱占了2份中的3份
V锥：24÷2=12(立方分米) 或24×1
2
=12(立方分米)
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V柱：24÷2=12(立方分米) 12×3=36(立方分米) 或 24×3
2
=36(立方分米)
7、一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，圆柱的高是2厘米，圆锥的高是〔 〕厘米。 V柱=V锥 V柱=V锥
S柱底h柱= 13 S锥底h锥 S柱底h柱= 1
3 S锥底h锥
h柱= 11
3 h锥 S柱底= 3 S锥底
2= 13 h锥 4 = 1
3 S锥底
h锥= 2÷13 S锥底= 4÷1
3
h锥=6 S锥底=12
8、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆柱的底面积是4平方分米，圆锥的底面积是〔 〕平方分米。
9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：6。如果圆锥的高是厘米，圆柱的高是〔 〕厘米，如果圆柱的高是厘米，圆锥的高是〔 〕厘米。
1
S锥底h锥 1 1
3
3
S锥底h锥
1
S柱底h柱 6 S柱底h柱 6
1
3
h锥 1 1
3
h锥 1
h柱 6 h柱 6
h柱×1 = 11
3 ×h锥×6 h柱 = 3 ×h锥×6 h柱 = 1
1
3 ××6 h柱÷3 ÷6 = h锥
h柱÷1
3
÷6 = h锥
10、一个圆柱体，把它的高截短3厘米，它的底面积减少平方厘米，这个圆柱的体积减少了〔 〕立方厘米。
πr²
C=S侧÷h r=C÷π÷2 V=πr²h ÷3 ÷÷2 ×5×3
=31.4(厘米) =5(厘米) =235.5(立方厘米)
三 比例
1、比的意义
〔1〕两个数相除又叫做两个数的比
〔2〕“：〞是比号，读作“比〞。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
〔3〕同除法比拟，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 〔4〕比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 〔5〕比的后项不能是零。
〔6〕根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
2、比的根本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数〔0除外〕，比值不变，这叫做比的根本性质。 3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的根本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 4、按比例分配：
在农业生产和一般生活中，常常需要把一个数量按照肯定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各局部占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
6、比例的根本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的根本性质。 7、比和比例的区别
〔1〕比表示两个量相除的关系，它有两项〔即前、后项〕；比例表示两个比相等的式子，它有四项〔即两个内项和两个外项〕。
〔2〕比有根本性质，它是化简比的依据；比例也有根本性质，它是解比例的依据。
8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值〔也就是商〕肯定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y
x =k〔肯定〕
9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k〔肯定〕 10、推断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商肯定还是积肯定，如果商肯定，就成正比例；如果积肯定，就成反比例。
四、比例尺
1、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 2、比例尺的分类
〔1〕数值比例尺和线段比例尺 〔2〕缩小比例尺和放大比例尺 3、图上距离：实际距离=比例尺 或
图上距离
实际距离
=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离 图上距离÷比例尺=实际距离
4、应用比例尺画图的步骤：
〔1〕写出图的名称、 〔2〕确定比例尺；
〔3〕根据比例尺求出图上距离；〔4〕画图〔画出单位长度〕 〔5〕标出实际距离，写清地点名称〔6〕标出比例尺 5、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。 6、用比例解决问题：
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确推断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
7、常见的数量关系式：〔成正比例或成反比例〕
单价×数量=总价 单产量×数量=总产量 速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量 总价单价 =数量 总产量单产量 =数量 路程工作总量
速度 =时间 工作效率 =工作时间 总价数量 =单价 总产量路程工作总量
数量 =单产量 时间 =速度 工作时间
=工作效率 8、图上距离和实际距离可以求比例尺。比例尺和图上距离可以求实际距离。比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。
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9、播种的总公顷数肯定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？
答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数
播种的总公顷数肯定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是肯定的，所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。
10、推断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？
〔1〕订阅《中国少年报》的份数和钱数。
因为
钱数
订阅《中国少年报》的份数
= 每份的钱数〔肯定〕
所以，订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。 〔2〕三角形的底肯定，它的面积和高。 因为
三角形的面积高
=1
2 〔肯定〕 所以，它的面积和高成正比例。
〔3〕图上距离肯定，实际距离和比例尺。 因为，实际距离×比例尺=图上距离〔肯定〕 所以，实际距离和比例尺成反比例。
〔4〕一条绳子的长度肯定，剪去的局部和剩下的局部。
因为，剪去的局部和剩下的局部不存在比值或积肯定的关系， 所以，剪去的局部和剩下的局部不成比例。
〔5〕圆的面积和它的半径不成正比例，因为圆的面积和它的半径的比值不肯定，所以圆的面积和它的半径不成正比例。
自行车里的数学：
前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数
蹬一圈走的路程=车轮周长×〔蹬一圈，后轮转动的圈数〕 蹬一圈走的路程=车轮周长×〔前齿轮齿数：后齿轮齿数〕
48:28≈1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:18≈2.67 48:16=3 48:14≈3.43 40:28≈1.43 40:24≈1.67 40:20=2 40:18≈2.22 40:16=2.5 40:14≈2.86
前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力 前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走的就近，因而车速慢，但骑车人较省力 自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小〔合理〕
五 扇形统计图 1.扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各局部所占总数的百分数。 优点：很清楚地表示出各局部同总数之间的关系。 制扇形统计图的一般步骤：
〔1〕先算出各局部数量占总量的百分之几。 〔2〕再算出表示各局部数量的扇形的圆心角度数。
〔3〕取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
〔4〕在每个扇形中标明所表示的各局部数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。 用一个单位长度表示肯定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照肯定的顺序排列起来。
优点：很简单看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
复式条形统计图中表示不同工程的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤:
〔1〕根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
〔2〕在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
〔3〕在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 〔4〕按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
用一个单位长度表示肯定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。制作折线统计图的一般步骤:
〔1〕根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
〔2〕在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
〔3〕在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 〔4〕按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
六、智慧广场
1、结合具体情境，让学生在运用列举法、画图法解决问题的过程中，发觉规律并学会运用假设的策略解决问题，从而建立数学模型；
2、在经历探究规律、建立模型的过程中，体验不同解决问题的策略； 3、使学生在积极解决问题的过程中，经一步积存经验 常见乘法计算〔敏感数字〕 ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子 +23 +18 23 +14 + ×33×52 23××163
=78 +23 +18 =214253163 +4 +5 =5 ×33×2 =23×8 ×3 =78 +18 +23 =23 +(14223164 +5 ) =5 ×5 ×33 =23 ×(8 ×3 ) =1+23 =2
3
+1 =1×3 =23×2
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式 +23 +18 +13 ×297 ×163 ×729 35×536 101×910
=78 +23 +18 +13 =38 ×297 ×163 ×729 = (36-1) ×536 = (100+1) ×910 =78 +18 + 23 +13 =38 ×163 ×297 ×729 =36×536 -1×536 =100×910 +1×910 = (78 +18 )+ (23 +13 ) = (38 ×163 )×(297597 ×29 ) =5-36 =1+10
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=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项) 101×910 ×÷÷1.6 101×910 52×558 +29×8
-0.625
=101×910 -910 ×1 =()÷1.6 =101×9955510 -10 =52×8 +29×8 -8
=101×910 -1×910 =80÷1.6 =101×99555
10 -1×10 =52×8 +29×8 -1×8
=(101-1) ×910 =800÷16 =(101-1) ×95
10 =(52+29-1)×8
=100×910 =100×95
10 =80×8
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式 18-58 13727
4 -16 -0.75 125 -(16
) ×125 =18-58 -3 =134 -716 -34 =12272
8 5 -(16 +5 ) ××125
=18-(58 +38 ) =134 -34 -716 =122275 -5 -16 ×(×125)
=18-1 =1-716 =12-7
16
=×100
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式
3200÷2.5÷0.4 2700÷÷2.7 5900÷(×) 33333×33333 =3200÷(×) =2700÷÷2.5 =5900÷÷2.5 =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999 同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1) 123 +716 -23 250÷×0.4 12713 -16 +3 29×÷ =122723 -3 +16 =250×÷0.8 =13 +13 -7
16 =29÷× =1+716 =100÷0.8 =2-7
16
=100×
解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3 ；如果消×3，方程两边就同时÷3) 1：把方程里的“括号〞全部去掉，两种去括号的方法任选其一 2：如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几
(如果有“-几〞，就把“-几〞消去，如果没有“-几〞，就把较小的消去掉) 3：消去 “-几〞， 消去“÷〞
4：把这边的数字全部消掉，先消“+ -〞 再消“÷〞 最后消“×〞 (注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
解方程方法二：移项(＋3移到另一边就变成－3，×3移到另一边就变成÷3) 1：把方程里的“括号〞全部去掉，两种去括号的方法任选其一 2：如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边
(如果有“-几〞，就把“-几〞移到另一边。如果没有“-几〞，就把较小的移到另一边) 3：把“-几〞移到另一边，把 “÷〞移到另一边〞
4：把这边的数字全部移到另一边，先移“+ -〞 再移“÷〞 最后移“×〞 (注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几+数字)
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长度单位换算 km m dm cm mm
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 km² m² dm² cm² mm² 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升 1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 质量单位换算 t kɡ ɡ 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分 时间单位换算 h min s
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月 小月(30天)的有:4\\6\\9\\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒 + - × ÷ = ( ) ² ³ πr²
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