效用函数的推导

消费集

假设1：消费集X性质

1.

XRn

2. X是闭集

3. X是凸集

4. 0X

消费组合x是消费集X中的一个元素，x(x1,x2,,xi,,xn)代表n种商品的组合，xi代表商品i的数量。

偏好关系

用消费集X上的一种二元关系表示消费者偏好，若x消费组合x至少和x一样好。

121x2，则对于这个消费者来说，

要求这种二元关系满足下面两条公理：

公理1.完备性——对于X上所有的x和x而言，要么x121x2，要么x2x1。

1231xxxx公理2.传递性——对于X上任意三个元素、和，如果2x2，x且1xx3，则x3。

定义1：偏好关系

若上述二元关系满足公理1、2，则称其为偏好关系。

定义2：严格偏好关系

x1x2，当且仅当x112x2且x2x1不成立。关系被称为严格偏好关系（x1x2表示

消费组合x比x好。

定义3：无差异关系

x1x2，当且仅当x1x2且x2x1成立。关系被称为无差异关系（x1x2表示消费组合

x1和x2无差异。

定义4：令x为消费集X中任意一点，定义X的下列子集

01.

xxxX,x0x0，称为“至少和x，称为“不比xx00一样好”的集合；

2.

xxxX,x000x更好”的集合；

3.

xxxX,xxxxX,x00，称为“比x，称为“比x00差”的集合；

4.

x00好”的集合；

5.

xxxX,x0x0，称为“与x无差异”的集合。

公理3：连续性——对于所有好”的集合

nx0R，“至少和x一样好”的集合

0x以及“不比x00更

x是闭的。

0nx0,x1R公理4：严格递增——对于所有的则有x0010，如果xx，则有xx1；如果x0x1，

x1。（表示每一个分量都严格多于）

t0,1tx11tx0公理5：严格凸性——如果xx且x101x，则对于所有的

0而言，有

x0。

效用函数

定义5：表达偏好关系的效用函数

ux0ux1x0实值函数u：

nRR。若对所有的

nx0,x1R，有

x1，则该实值函数u

就被称为代表偏好关系的一个效用函数。

定理1：代表偏好关系的实值函数的存在性

如果二元关系是完备的、传递的、连续的以及严格单调的，那么就会存在一个表示该关系的连续实值函数

nu:RR。

定理2：效用函数的正单调变换的不变性

ux上的一个偏好关系，假设为代表该关系的效用函数。对于每个x而言，

令是

nRvxfuxvx当且仅当对所有的x，有时，其中f:RR在u的集值上是严格递增的，则也代表这种偏好关系。

定理3：偏好关系与效用函数的性质

令u：

nRR代表，则：

1. ux是严格递增的，当且仅当是严格单调的； 2. ux是拟凹的，当且仅当是凸的； 3. ux是严格拟凹的，当且仅当是严格凸的。