Orlicz空间的u性质

数学物理学报　ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ　Ｏｒｌｉｃｚ空间的　性质　刘春燕　石忠锐　（上海大学数学系　上海２００４３６］　摘要：该文得到对于赋Ｏｒｌｉｃｚ范数（或Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ范数）的Ｏｒｌｉｃｚ空间　Ｍ（或　（Ｍ）），它的　任意有限维子空间具有　性质的充分必要条件是该子空间的每一非零点是　Ｍ（或　ｆＭ））的　光滑点．　关键词：Ｏｒｌｉｃｚ空间；　性质；Ｏｒｌｉｃｚ范数；Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ范数；光滑点．　ＭＲ（２０００）主题分类：４６Ｂ２０；４６Ｅ３０　中图分类号：０１７７．３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２０１　１）０２—３２８—０７　１　引言　Ｈａｈｎ　Ｂａｎａｃｈ定理指出，赋范空间　的子空问Ｍ上的每个线性泛函至少存在一个Ｍ　到　上的保范延拓．若赋范空间　的子空间Ｍ上的每个线性泛函有唯一的保范延拓，　我们称该子空间Ｍ具有　性质．若对于　中的每一个向量　都存在唯一的Ｙ∈Ｍ使得　忙一　ｌｌ＝ｄｉｓｔ（ｘ，Ｍ）（＝ｉｎｆ｛　～　ｌｌ＝Ｚ∈Ｍ）），称该子空间Ｍ具有Ｈａａｒ性质．Ａ．Ｅ．Ｔａｙｌｏｒ［　Ｊ　和ｓ．Ｒ．Ｆｏｇｕｅｌ［０］证明了Ｂａｎａｃｈ空间ｘ的每个子空间都有ｕ性质的充要条件是它的对偶空　间　是严格凸的．该结论的充分性由Ｔａｙｌｏｒ证明，而必要性是Ｆｏｇｕｅｌ给出的．Ｒ．Ｒ．Ｐｈｅｌｐｓ［３＿　发现了　性质和最佳逼近的唯一性之间的关系，即Ｂａｎａｃｈ空间　的子空间Ｍ具有　性　质当且仅当它的零化子Ｍ上＝ｘ　∈Ｘ　：Ｘ　（Ｘ）＝０，Ｖｘ∈Ｍ，具有Ｈａａｒ性质．因而对最佳　逼近的研究可以转化为对子空间　性质的研究．关于最佳逼近方面的研究国内外已有相当　丰富的结果，如王建华及王玉文等分别给出了非自反和自反的Ｂａｎａｃｈ空间中的度量投影的　表达式，详情可见文献［４－５］．因为Ｌ　（１＜Ｐ＜。。）空间是自反且严格凸的，所以它的每个　子空间都具有己厂性质．　性质还被广泛应用于有无穷多个未知量的线性方程组的求解研究　［３】＿Ｒ．Ｒ．Ｐｈｅｌｐｓ［３］给出了Ｌ１空间的有限维子空间具有　性质的充要条件．众所周知Ｏｒｌｉｃｚ　空间是比　空间更为广泛的一类Ｂａｎａｃｈ空间，在此类空间上还未见有人讨论过　性质．　本文主要给出了Ｏｒｌｉｃｚ空间的有限维子空间具有　性质的充分必要条件．　２预备知识　设　是一Ｂａｎａｃｈ空间，记　为　的对偶空间，ｓ（ｘ）为　的单位球面．对于Ｘ∈　，　记Ａ（ｘ）＝｛　∈ｓ（ｘ　）：　（Ｘ）＝ＩＩｘｌｌ｝．凸集ｃ的维数（ｄｉｍＣ）定义为（Ｃ一　）（Ｖｚ∈Ｃ）的线　收稿日期：２００８—１２—１４；修订日期：２００９—１０—２７　Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｓｈｉ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｃｈｙｌｉｕ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　基金项目：国家自然科学基金（１０９７１１２９）资助　Ｎ０．２　刘春燕等：Ｏｒｌｉｃｚ空间的　性质　３２９　性张的维数［３】．　对实数集Ｒ，函数Ｍ：Ｒ一［０，＋∞）称为Ｏｒｌｉｃｚ函数是指Ｍ是凸的偶函数且满足　Ｍｆ０）：０，ｌｉｍ　：０，１ｉｍ　：。。．　Ｍ的左右导数分别记为ｐ一（　）和ｐ（札）．Ｎ（ｖ）＝ｓｕｐ｛－Ｉｖｌ＿Ｍ（　））称为　的余函数．容易验　证，如果Ｍ是Ｏｒｌｉｃｚ函数，那么其余函数Ⅳ也是Ｏｒｌｉｃｚ函数［６】．　设（Ｇ，∑，　）为有限完备无原子测度空间．对于Ｇ上的可测函数　（ｔ），称Ｐ　（＇ｔｔ）＝　ｆＧ　Ｍ（ｕ（ｔ））ｄｔ为，“（　）关于Ｍ的模．线性空间ＬＭ（Ｇ）＝｛钆（　）：　＞０，Ｐ　（Ａｕ）＜∞）分　别赋于Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ范数　ｌ　Ｉ＜Ｍ）＝ｉｎ　｛　＞０：ｐ　（姜）　１｝　和Ｏｒｌｉｃｚ范数　ｌＭ＝ｓｕｐ　ｄｔ：ｉｆＮ㈤　）＝蕊　［Ｉ＋ｐＭ　）］）　成为Ｂａｎａｃｈ空间［７－９】，称为Ｏｒｌｉｃｚ空间，分别记为　ＬＭ＝［ＬＭ（Ｇ），　ｌＭ］和　（Ｍ）＝［ＬＭ（Ｇ），　ｌｆＭ１］．　ＥＭ（Ｇ）＝｛　（￡）：ＶＡ＞０，Ｐ　（，ｋｕ）＜∞）为ＬＭ（Ｇ）的闭子空间．　满足咖（ＥＭ（Ｇ））＝｛０）的线性泛函　称为奇异泛函，记作　∈Ｆ．已知（厶Ｍ（Ｇ））　＝　ＬＮ（Ｇ）０　Ｆ［７】．设仳Ｅ　ＬＭ（Ｇ），记　）　｛　０．ＰＭ（　）＜∞｝，　则ｆ（　）＝ｄｉｓｔ（ｕ，ＥＭ）＝ｄｉｓｔ（ｕ，蜀Ｍ））［　一引．　为方便起见，首先列出在本文中需要的一些引理．　引理２．１（Ｐｈｅｌｐｓ［。】）设ｙ为　的礼维子空间，如果存在　∈ｓ（ｘ）ｎ　ｙ使得ｄｉｍＡ（ｕ）　ｎ，那么ｙ没有　性质．　引理２．２设　∈ＬＭ（ａ），如果∈（札）≠０，那么对任意的自然数ｎ，存在ｎ个线性无关的　奇异泛函　Ｅ　｛　ｌｌ＝ｌ，使得也（　）＝　（　）（　＝１，２，…，他）．　证对任意的ｍ∈Ｎ，定义Ｇ（ｍ）＝｛　∈Ｇ：ｍ一１　Ｊ札（　）ｌ＜ｍ），将ａ（ｍ）分解为可测　集Ｇ　（ｍ）（　一１，２，…，礼），使得　Ｇｔ（ｍ）＝　Ｇ（ｍ）（　＝１，２，・一，礼）．　记Ｇｉ＝Ｕ　Ｇｉ（ｍ），ｉ＝１，２，…，ｎ，则　Ｇ＝Ｕ　Ｇｉ，Ｇｉ　ｎ　ＧＪ＝　，　，Ｊ＝１，２，－一，ｎ，ｉ≠Ｊ　ｉ＝１　令Ｕｉ＝ｕｘｃ　，则∈（札。）＝　（扎）（　＝１，２，…，礼）．事实上，令∈＝　（“），则对任意￡Ｅ（０，１），存在　正整数ｍ０，使得　ｍ　∈譬一　（ｍ＞ｍ。）　＞３３０　由∈的定义得到　ｐＭ数学物理学报　Ｖ０１．３１Ａ　（　）　＝　Ｍ。　Ｍ。　（　）　（　）　Ｍ。　。　（　）出　（　）出　Ｍ从而　（　ｔ）＝∈（乱）（ｉ＝１，２，…，礼）．因此，对每个　（　＝１，２，…，几），由Ｈａｈｎ－Ｂａｎａｃｈ定理，存　在奇异泛函　使得ｌＩ￣ｉｉｌ＝ｌ，且　（　｛）＝ｄｉｓｔ（ｕｉ，ＥＭ（ａ））＝　（ｕｉ）（ｉ＝ｌ，２，－一，ｎ）　对任意整数ｉ（１　ｉ　ｎ），由文献［７，引理１．４９，定理１．５４］，有　ｎ　１＝ＩＩ￣ｉｌｌ＝∑　Ｇ，ｌ　ｌｊ：１　且　∈（钆ｔ）＝　（　）＝￣ｉ（ｕＸｃ　）＝　ｉｌＧ　（ｕ）　ｌ　ｌｉｌＧ，ＩＩ∈（ｕ）　∈（“　）　所以　ｆ　｝ｆＧ　ｌｌ：ｌ，　ｌＧ　＝０，Ｊ≠ｉ，Ｊ＝１，２，…，ｎ．　因此，　（“，）＝￣ｉ（ｕｉ）＝ｆ（　）（ｉ＝１，２，…，ｎ）且｛　｝　线性无关．　３　主要结果及证明　定理３．１假定　是　Ｍ的ｎ维子空间，若对于　≠“∈Ｘ有　（１）Ｐ　一（ｋｌ－Ｉ））＜ｌ且　（２）　（　钆）＜１蕴涵Ｐ　（ｐ（ｋｌｕ１））＞１，　那么Ｘ没有　性质．其中　满足ｌ１．“ｌＩＭ＝　１　［１＋Ｐ　（后，“）］　＿证设　≠Ｕ∈　，ｌｌ＂ｌ　＝　［ｌ１＋Ｐ　（　＂）］．　如果∈（　）＝１，由引理２．２，存在７１，＋１个奇异泛函　，ｌ　＿ｌ＝１，使得　（ｋｕ）＝∈（　ｕ）＝１　（ｉ＝１，２，…，ｎ＋１）且｛　）　线性无关．　定义＾＝ｐ一（　ｌｕ１）ｓｇｎ，“＋（１一　）　（　＝１，２，…，ｎ＋１），其中ＯＬ＝Ｐ　（ｐ－（　ｌｕ１））．那么｛　）　线性无关．根据文献［７，定理１．５１，定理１．７７］，＾∈　（札）（ｉ＝１，２，…，ｎ＋１）且ｄｉｍＡ（ｕ）　ｎ．　由引理２．１，　没有　性质．　如果　（　札）＜１，那么１＜Ｐ　（ｐ（ｋｌ￣１））＜ｏ。．因此集合ｃ（ｕ）＝｛ｔ　Ｅ　Ｇ：ｐ一（　ｌｕ（￡）１）＜　ｐ（ｋｌｕ（ｔ）１）｝的测度大于零．　令　～Ｐ　（ｐ（ｋｌｕ１））一１　Ｐ　（ｐ（ｋｌｕ１））一Ｐ　（Ｐ一（ｋｌｕ１））　及　ｖｏ（ｔ）＝　一（　ｌ　（　）１）＋（１一ｃ￣）ｐ（ｋｌｕ（ｔ）１），ｔ　Ｅ　Ｇ．　Ｎｏ．２　刘春燕等：Ｏｒｌｉｃｚ空间的　性质　３３１　由于函数Ⅳ在　一（　ｌ　（ｔ）１），ｐ（ｋｌ￣（ｔ）１）］（ｔ∈Ｇ（钆））上是线性的，所以　Ｐ　（ＶＯ）＝／　　Ｎ（ｐ（ｋｌｕ（ｔ）１））ｄｔ＋／　Ｎ（ｃ￣ｐ一（　Ｉ乱（　）１）＋（１一　）ｐ（　Ｉ　（　）１））ｄ　ＪＧ＼Ｇ（“）ＪＧ（　＝／，Ｇ＼　Ｇ（Ｎ（ｐ（ｋｌｕ（ｔ）ｆ））出＋ＯＺ／　Ｎ（ｐ一（　ｆ钆（　）ｆ））出＋（１一Ｏ１）／　Ｎ（ｐ（ｋ［ｕ（ｔ）１））ｄｔ　“）　Ｇ（ｕ）　ｔ，Ｇｆｕ）　　＝（Ｐ一（　ｌｕ｛））＋（１一　）ｐ　（ｐ（ｋｌｕ１））＝１．　Ｐ一（ｋｌｕ（ｔ）１）＜ｖｏ（ｔ）＜ｐ（ｋｌｕ（ｔ）１），ｔ∈Ｇ（ｕ），　注意到　因此，存在Ｅ＞０和可测集Ｇｏ　ｃ　Ｇ（乱），　Ｇ０＞０，使得　Ｎ（ｐ一（后ｌｕ（　）１））＋￡＜Ｎ（ｖｏ（ｔ））＜Ⅳ（ｐ（　ｌ　（　）ｆ））一Ｅ，ｔ∈Ｇ０．　将Ｇｏ分解为可测集Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇ时１，使得　＝而１　Ｇ０（　＝１，２，…，ｎ＋１）．令　Ｎ－Ｉ（Ｎ（ｖｏ（ｔ））－ｅ），　ｔ∈Ｇｊ．　（　）＝　ｔ∈Ｇｊ＋１，　ＪＧ　，Ｇ　．ｔ∈Ｇ＼（Ｇｊ　ｕ　Ｇｊ＋Ｉ），　ｌ　２　Ｊ＝ｌ，２，’一，他．贝０　ｐ－（ｋｌｕ（ｔ）１）　（　）　ｐ（　ｆ“（　）１），且Ｐ　（ｖｊ）＝Ｐ　（ＶＯ）：ｌ，Ｊ＝１，２，…，ｎ．由　ｄ　文献［７，定理１．ｓｏ］，Ｖｊｓｇｎｕ∈　（“），Ｊ：０，ｌ，…，ｎ．为了证明　没有　性质，由引理２．１，只　须验证｛ｖｊｓｇｎｕ｝￣＿。是线性无关集．　，，＼＼　，Ｏ　／，　、ＪＯ　　ｄ　￡　假定　ｋｏｖｏｓｇｎｕ＋ｋｌｖｌｓｎｇｕ＋・－・＋ｋｎＶｎｓｇｎｕ＝０．　定义ｗｊ（ｔ）＝）（Ｇ，（ｔ）ｓｇｎｕ（ｔ），Ｊ＝１，・一，ｎ＋１．则ｗｊ∈ＬＮ，Ｊ＝１，…，ｎ＋１，且　＜、Ｅ　ｉ　＝　０　ｋｉｖ￣ｓｇｎｕ，ｗｊ＞＝。，　　即　ｖｏ（ｔ）ｄｔ　。Ｎ　（Ⅳ（　（　））一ｅ）ｄｔ－・　３　ｖｏ（ｔ）ｄｔ　。Ｎ　（Ⅳ（　（　））＋ｅ）ｄｔ・・　…ｖｏ（ｔ）ｄｔ　…ｖｏ（ｔ）ｄｔ　・・　Ｎ　（Ⅳ（＂ｏ（￡））一ｅ）ｄｔ　令　＋　，Ｎ　（Ⅳ（　（　））＋ｅ）ｄｔ　ｌＧ１ｖｏ（ｔ）ｄｔ　ｊ—　ｌＧ　ｖｏ（ｔ）ｄｔ　则０＜Ｅ　＜１＜哼，Ｊ＝ｌ，２，…，佗＋１．（３．１）式化简为　＝０．　（３．２）　３３２　因为　１￡　１…１　１　１　１　数学物＝　理学报　ｌ　ＩＶ＿０１．３１Ａ　Ⅱ锄　＋￡　０　一　ｌ　１　Ｅ　一　ｌ　０　【ｎ　＋￡　０　．．．　０　０　１　Ｅ　Ｅ　…１￡　一　１　Ｅ　一　１．．．　　●●　●●　●●一　—　Ｅ　・・＋　●　１　．．￡　￡　Ｉ　１￡　。”。卜　０１　Ｉ　（１　１　０　０　０　一　一１　￡　０　．．．　０　ｎ＋１）Ｘ（ｎ＋１）　１￡　—ｌ　０　…０　（ｎ＋１）×（ｎ＋１）　州Ⅱ瑚　十０　Ｅ　ｌ￡　一１￡ｉ一１…０　一　１　＋　１　１　０　０　０　Ｏ　－－・　．．．　一　＋　０　一Ⅱ　Ｌ　一　一０　叶　０．这表明｛　ｓｇｎｕ｝￣＿０是线性无关集．１　所以，方程组（３．２）只有零解：ｋｏ＝尼１一一　一　定理３．２假设　是　Ｍ的ｎ维子空间，　那么下列Ｘ的三个性质是等价的　＞　￡　（１）　具有　性质；　０　　一＝０　０　．　一　十十　＋ｌ　．　一　＋（２）对每个　≠ｒＥ　Ｘ，　ｏ　０　一　“叶　　一（ａ）Ｐ　一（ｋｌｔｉ１））＝１或　（ｂ）∈（　钆）＜１且Ｐ　（ｐ（ｋｌｔｉ１））＝１，其中ＩｌｔｉｌｌＭ＝ｉ１［１＋Ｐ　（　札）】；　（３）对每个　≠ｕ　Ｅ　Ｘ，ｉｔ是　Ｍ的光滑点．　证（１）—｝（２）由定理３．１可得．　（２）　（３）由文献［７，定理２．５１］可得．　（３）　（１）对任意　≠ｆ∈Ｘ　，不失一般性，我们假定ｌＩｆ］ｌ　ｘ＝１．令ｌ厂１和，２是，到　ＬＭ上的保范延拓，因为　是有限维子空间，所以存在仳Ｅ　Ｘ，　ＩＭ：１，使得（．厂，Ｕ）＝１．　从而（ｆｌ，札）＝（ｆ２，札）＝１，即　∈　（，“），ｉ＝１，２．由于ｉｔ是　Ｍ的光滑点，所以ｆｌ＝ｆ２．　Ｉ　对于Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ范数，则有相应的结果．　定理３．３假定　是　ｆＭ、的礼维子空间．那么　的下列三个性质是等价的　（１）　具有　性质；　（２）对每个　≠“Ｅ　，ｆ（　耘）＜１且集合Ｇ（　）＝｛ｔ∈Ｇ：ｐ一（　）＜ｐ（　））　是零测度集；　（３）对每个　≠ｉｔ∈Ｘ，ｉｔ是ＬｆＭ１的光滑点．　证（１）　（２）假设　≠　∈Ｘ．　如果　（　）　１，由引理２．２，存在线性无关集｛　）　ｃ　ｌ　ｌｌ＝１，使得　（“，）　ｌｌ　ｌＩｆＭ、，ｉ＝１，２，…，ｎ＋１．即　Ｅ　（　），ｉ＝１，２，…，几＋１．因此　没有　性质．　如果　＝　ｔ　Ｅ　Ｇ：ｐ＿（　）＜ｐ（　）　ＮＯ．２　刘春燕等：Ｏｒｌｉｃｚ空间的　性质　及　３３３　的测度大于零，将Ｇ（　）分解为互不相交的可测集Ｇ　，Ｇ２，…，Ｇｎ＋１，使得　（Ｇ３）＞０，Ｊ＝１，２，‘一，ｎ＋１　＝　，　（　．÷．　．　￡－　）（　≥　］＝。，　ｃ３．３　其中　＞１，Ｊ＝１，２，…，礼＋１　当ｍ＝１时，行列式ｌＥ１｛＝Ｅ　＞０．由归纳法，我们假定　Ｅ１　１　・　．．　１　１　１　１　１　￡２・　．●●●　●＿●　＿　．　＞０　・・１　１　・　￡　一１　１　１　１　．　・・　１　Ｅｎ　那么　Ｅ１　ｌ　・－・　１　１￡２…１　１　ｌ　１　０　，　（３．４）　１　１…￡　１　１一Ｃ１　１一Ｃ１　０　０　００・－・０　（礼＋１）×（礼＋１）　１　１　・・・　１　￡ｎ＋１　・・・￡ｎ＋１—１　３３４　数学物理学报　…　ＶｌＯ１．３１Ａ　（３．４）式的右边按最后一行展开等于　￡１　１　・－・　１　２　・・・　１　１　１　１　１　１　・－・￣ｎ－－１　１　ｌ　１・・・　１　￡　因此ｋｌ＝　２＝…＝ｋｎ＋１＝０．　（２）　（３）由文献［７，定理２．４９］可得　（３）　（１）证明类似于定理３．２．　参考文献　Ｔａｙｌｏｒ　Ａ　Ｅ．Ｔｈｅ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｓ．Ｄｕｋｅ　Ｍａｔｈ　Ｊ，１９３９，５（３）：５３８－５４７　Ｆｏｇｕｅｌ　Ｓ　Ｒ．０ｎ　ａ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｂｙ　Ａ　Ｅ　Ｔａｙｌｏｒ．Ｐｒｏｃ　Ａｍｅｒ　Ｍ　ｈ　Ｓｏｃ，１９５８，９（２）：３２５　Ｐｈｅｌｐｓ　Ｒ　Ｒ．Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　Ｈａｈｎ—Ｂａｎａｃｈ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅ　ｂｅｓｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．Ｔｒａｎ　Ａｍｅｒ　Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ，　１９６０，９５（２）：２３８　２５５　＋　王建华．非自反Ｂａｎａｃｈ空间中的度量投影．数学物理学报，２００６，２６Ａ（６）：８４０—８４６　Ⅱ　王玉文，于金凤．空间中一类度量投影的判据及表达式．数学物理学报，２００１，２１Ａ（１）：２９　３５　Ｋｒａｓｎｏｓｉｅｌ’ｓｋｉｉ　Ｍ　Ａ，Ｒｕｔｉｃｋｉｉ　Ｙａ　Ｂ．Ｃｏｎｖｅｘ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　０ｒｌｉｃｚ　Ｓｐａｃｅｓ．Ｇｒｏｎｉｎｇｅｎ：Ｎｏｏｒｄｈｏｆｆ　Ｌｔｄ，１９６１　Ｃｈｅｎ　Ｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｏｆ　Ｏｒｌｉｃｚ　Ｓｐａｃｅｓ．Ｗａｒｓｚａｗａ：Ｐｏｌｉｓｈ　Ｓｃｉｅｎｔｉｉｃ　Ｐｕｂｌｉｆｓｈｅｒ，１９９６　吴丛圻，王廷辅．０ｒｌｉｃｚ空间及应用．哈尔滨：黑龙江科技出版社，１９８３　吴丛圻，王廷辅，陈述涛，等．　Ｏｒｌｉｃｚ空间几何理论．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，　１９８６　Ｐｒｏｐｅｒｔｙ　Ｕ　ｏｆ　Ｏｒｌｉｃｚ　Ｓｐａｃｅ　Ｌｉｕ　Ｃｈｕｎｙａｎ　Ｓｈｉ　Ｚｈｏｎｇｒｕｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００４３６）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｔｈａｔ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　ｏｆ　Ｏｒｌｉｃｚ　ｓｐａｃｅ　ｗｉｔｈ　Ｏｒｌｉｃｚ　ｎｏｒｍ［ｏｒ　Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ　ｎｏｒｍ】ｈａｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　Ｕ　ｉｆ　ａｎｄ　ｏｎｌｙ　ｉｆ　ｅａｃｈ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｕｂｓｐａｃｅ　ｉｓ　ａ　ｓｍｏｏｔｈ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　ｎｏｒｍ；Ｌｕｘｅｍｂｕｒｇ　ｎｏｒｍ；Ｓｍｏｏｔｈ　ｐｏｉｎｔ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｏｒｌｉｃｚ　ｓｐａｃｅ；Ｐｒｏｐｅｒｔｙ　：Ｏｒｌｉｃｚ　４６Ｅ３０　ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：４６Ｂ２０；