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高斯函数

一、知识概要

1、定义：设xR，用x表示不超过x的最大整数。则yx称为高斯函数，也叫取整函数。显然，yx的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即xxa0a1，因此，xxx1，这里，x为x的整数部分，而xxx为x的小数部分。 2、性质

1、函数yx是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1x2时，有x1x2； 2、nxnx，其中nZ； 3、x1xxx1；

4、若xyn，则xna,ynb,其中0a,b1； 5、对于一切实数x,y有xyxy； 6、若x0,y0，则xyxy；

7、xx1（x不是整数时） x

8、若nN，则x（x是整数时）

x；当n1时，xx； nn9、若整数a,b适合abqr（b0,q,r是整数，0rb），则abq；

10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有xn个；

下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质.

对于函数yx,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征.

(1)由yx的性质知x的图形在yx的图形的下方.

(2)由yx的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.

可见函数yx是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a)

1

定理2 设f(x)xx，则f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b).

(a)(b)

例1、方程[x]x1实数根的个数

例2、函数f(x)定义在R上，对任意xR,有f(x1)f(x)，则函数f(x)在R上是否

为增函数，请说明理由。

例3、作出函数为y[sinx]的图像.

例4、定义函数yxn,nxn1,nN,若

3152y2，求实数 x的取值范围。

精英班数学讲义

例5、已知an是首项为1，公比为q的等比数列，Pa12nn1a2Cna3CnLan1Cn

(nN*,n2)，Q0242[n]nCnCnCnLCn2，（其中[t]表示不超过t

的最大整数，如[2.3]2），如果数列{PnQ}有极限，求公比q的取值范围。 n

例6、已知a2[nn是首项为a0的非常数等差数列，P24na0a2Cna4CnLa2]2[n]Cn，

2Q135n1na1Cna3Cna5CnLa2[n1C2[n2]1，其中[t]表示不超过t的最大整数，如

2]1[2.3]2），求PnQn

例7、定义函数f(x)[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[1.5]1，[1.3]2,当x[0,n)(nN)时,设函数f(x)的值域为A,记集合A中的元素个数为an；

2

（1）求通项an；（2）求an的前n项的和Sn；（3）求an90n的最小值。

例8、解方程56x815x75

例9、解方程3x3x3

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例10、解方程x14x12

高斯函数练习

1、如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[7]7，，[3]1，则满足等式[x]3的x的范围是___[3,4)_________

2、如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[2.3]3，设x,y满足方程

2[x]y2x2]y16，则[xy]________ 3[解：令

15x75nnZ，则x5n715，带入原方程整理得：10n3940n，由高斯函数的定义有010n3940n1，解得：130n1310，则n0,n1。 若n0，则x715；若n1，则x45。 注：本例中方程为uv型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解

3

。

2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

3．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=[x],N[x]，其中x≥1，则一定有（ ）

A．M>N B．M=N C．MD．以上答案都不对。 4．给出下面三个命题： （1）[x + 1] = [x] + 1; （2）[x + y] = [x] + [y] （3）[x·y] = [x] · [y]

其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．3 C．1 D．2

5．[x]表示取数x的整数部分，若y(x[u]4x[u]4) 且当x = 1,8,11,14时，y = 1；

x = 2,5,12,15时，y=2； x = 3,5,9,16时，y=3；

x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u等于（ ） A．

x24 B．x1xx14 C．4 D．4

6．实数a,b满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（ ）

A．大于9而小于10

B．大于或等于9而小于10 C．大于9而小于或等于10 D．整数

7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（ ） A．[x] = |x| B．[x]≥x2 C．[x]>-x D．[x] > x – 1

8．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且I(n1)2n[(n1)2n1]2 A．I>0 B．I<0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现。