——布丰投针问题
把一根质量均匀的小棒向一个画了一些平行线的平面上随意地扔几千下，就能得到连一台计算能力比较强的计算机也要算上好长时间的有六个准确数字的圆周率π的近似值，你相信吗？肯定有很多人不相信。事实上，确实有这样的数学实验。
1777年的一天，法国的博物学家C·布丰伯爵的家里宾客满堂，他们是应主人的邀请来观看一次奇特的试验的。
年已古稀的布丰拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。他又拿出一大把准备好的小针，这些小针都是平行线间距离的一半。布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根地往纸上扔吧！不过，请大家务必把针与纸上的线相交的次数告诉我。”
客人们遵照主人的意愿，加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它们捡起来再扔，布丰则把小针与平行线相交的次数记了下来。实验进行了将近一个小时才结束。布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3. 142。”停了一下，布丰先生继续说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
布丰1777年出版了一本名叫《或然性的算术试验》，在这本书，他介绍了著名的“投针实验”：
在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为a，然后，把一个长为l(l 这就是著名的布丰公式。如果小针的长度等于a，那么当n相当大时有。 这样，只需实际去进行大量次数的这样的实验，并计算有利的次数，就可以通过上面的公式求出π的近似值。扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。这就是利用概率求π值的方法。 后来有不少人按照布丰设计的方法来计算π值。1901年，意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为2169. 6次，代入布丰公式，求得π≈3.1415929——准确到小数后六位。但是，由于这一结果远远佳于其他的实验者所得出的结果，因此，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登国立韦伯大学的L·巴杰的质疑。但多数人鉴于拉兹瑞尼一生勤勉谨慎，认为他确实是“碰上了好运气”。事实究竟如何，现已无从查考。 值得一提的是，利用布丰公式，我们还可以设计出求 、、等数的近 似值的投针试验来！爱动脑筋的读者朋友，难道你不想试一试吗？ 【附录】 一、【布丰公式的证明】 找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离a。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n，那么相交的交点数必为2n。 现在把圆圈拉直，变成一条长为πa的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂得多，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于没有交点。 由于圆圈和直线的长度同为πa，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望也是一样的。这就是说，当长为πa的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。 现在讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。 为了求出k来，只需注意到，对于l=πa的特殊情形，有m=2n。于是求得有 m≈ 。 。代入前式就 从而 π≈ 。 这，就是著名的布丰公式。 二、【数学符号的创用】 “+”、“-”、“×”、“÷”等是现今我们很熟悉的数学符号，可是在古代，无论是埃及、希腊，还是我国都没有系统的数学符号。数学命题和各种定义、定理、法则都靠语言和文字来表述，所以古代数学和现代数学相比，这种叙述显然十分冗长和繁琐。 现在人们通用的一些数学符号，大多数是在十四～十七世纪之间逐渐被人们所选定运用的。 在十五世纪，人们最先使用的加和减的符号分别是p和m，这时德国商人用“+”和“-”的记号，表示重量的增加和差缺，很快的，这“+”、“-”便为数学家所用。数学史上记载，“+”号的创造者是德国数学家魏德曼，他在一条横线上加一竖，表示增加。“-”号也是魏德曼创造的，他从加号中减去竖，表示减少，他在1489年于莱比锡出版的《简算和速算》一书中采用了这种记法。实际上魏德曼是借用了德国商人的记法。“×”号的创造者是英国数学家奥特雷德，他在1631年出版的《数学之钥》中，第一次用“×”号作为乘号，意思是表示增加的另一种方法。1698年，德国数学家莱布尼兹在一封信中提出用圆点“·”表示乘，以避免“×”和字母“x”相混淆，以后，用“·”表示乘号逐渐流行，至今，两种用法依然共存。“÷”号的创造者是瑞士人雷恩，1659年在他出版的一本代数书中最早用它作除法记号，所以“÷”号称为雷恩记号。1684年，莱布尼兹在一篇论文中第一次使用冒号“：”作为除号，后来也逐渐通用，目前，英美用“÷”与欧洲大陆用“：”并存。 头一个用“±”表示加减意义的是法国人吉拉尔于1626年，但应用时在“+”和“-”之间加了一个“ou”，单独用“±”表示现代意义的第一个人是英国的奥特雷德，用于1631年出版的《数学之钥》。 一开始，表示相等的符号各不相同，在十六世纪，韦达先是用一个词，而后又用符号“～”表示相等。笛卡尔则倾向于用符号“∝”表示相等。“=”的创造者是十六世纪英国数学家莱克德，他认为世界上再也没有比两条平行而又相等的直线相同的了，所以用它来表示相等。 不等符号“>”和“<”是英国哈里奥特首创的。 幂“a2、a3、„”是由法国数学家笛卡尔在1637年创造的。平方根号“ ” 由德国数学家鲁道夫1525年创造并使用。各种类型的括号大约都是在十六～十七世纪初起用的。 数学的符号、记号是经过长期发展而形成的，大都不是某一个人突然发明的。历史上曾经出现过五花八门的符号，最后才被大家选定一些作为公认的符号。 以上数学符号大都在十九世纪60年代才传入我国。人们很难想象，没有“+”、“0”这些符号，及其它人们认定的记号，我们怎么去从事数学问题的研究。同样的，实现这种几个世纪的演化而能为人们所普遍接受，也是极为艰难的！ 布丰投针 作者:张碧桦 日期:2004-03-19 09:14 · 同学们听说过“布丰投针”实验吗？没错，18世纪后期，法国数学家布丰在研究概率论的过程中，发现圆周率的近似值竟与某种实验相关，这种实验就是“布丰投针“实验。 · [问题一]先画一组等距平行线，假设平行线之间的距离是A厘米，准备N根长度为A/2厘米的小棒，随意向平行线扔去，统计出小棒与平行线之间有什么联系呢？ · 首先，我找来了10根小棒，量得棒长约为7.4厘米，根据题意，我在纸面上画了一组等距平行线，之间的距离为2A=14.8厘米。接着将纸置于较远的地面，把小棒随意扔出。刚开始，小棒较多的落在纸面上，由于激烈地震动，几根小棒滑落出来，我走近纸面，清点出共有3根小棒与平行线相交。10与3？这有什么关系？我不禁云里雾里。于是，又进行了几次相同的实验，分别用11根、8根等比较，发现了小棒根数与相交根数比值总在3左右！是的，发现了吗？随着小棒根数的不断增加，比值越来越接近于3.1415926„„想起来了吗？这正是圆周率！ · 这个数学小实验让我发现了数学是一门严谨的学问，它的奥秘需要我们去探索，直至发现新的知识点。因此数学和生活是密切相关的！ · [问题二]如果小棒长度不是A/2厘米，而是A厘米 ，那最后的结果会不会是2个圆周率？ · 我是这样想的，A不变小棒距离扩大2倍，值也应该扩大2倍啊！但是理论出自实践，我还是决定自己亲自动手试试！为了便捷我将A=14.8厘米，缩为7.4厘米再次试了试！结果果然在我的意料之中！看来，每做一道题目，不仅要学会做原题，还要会变通，会挖掘新的知识！于是，我整理出实验过程，制成了表格。（如下） 布丰投针实验 实验过程 实验结果 我的结论准备N根长度为A/2厘米的小棒，一组距离为A厘米的等距平行线。 小棒的根数和与平行线相交的根数比值在3.1415926„„左右！ 数学需要不断去探索和挖掘新的知识！ 布丰投针实验“续集” 实验过程 实验结果 我的结论准备N根长度为A的平行线！一组等距平行线之间的距离为A，投掷 小棒的根数与相交的根数，比值为2*3.1415926„„ 学数学，不仅要学好原题，还要敢于发现新知识！ · 我喜爱数学，喜爱严谨而有趣味的数学！ 18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l 实验者 年代 投掷次数相交次数圆周率估计值 沃尔夫 1850 5000 2531 3.1596 史密斯 1855 3204 1219 3.1554 德摩根 1680 600 383 3.137 福克斯 1884 1030 489 3.1595 拉泽里尼 1901 3408 1808 3.1415929 赖纳 1925 2520 859 3.1795 布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。 像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容