二项分布与超几何分布的区别
地点：时间：
______________________________________________
______________________________________________
说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与 义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时 请详细阅读内容
专题:超几何分布与二项分布
［知识点］关键是判断超儿何分布与二项分布
判断一个随机变量是否服从超儿何分布,关键是要看随机变量是否满足超儿 何分布的特征:一个总体(共有个)内含有两种不同的事物、，任取个,其中恰有个. 符合该条件的即可断定是超儿何分布，按照超儿何分布的分布列()进行处理就 可以了.
二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有与这两 个，且事件发生的概率为,事件发生的概率为；②试验可以独立重复地进行，即每 次重复做一次试验，事件发生的概率都是同一常数,事件发生的概率为.
1、(2011-北京海淀一模)某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一 件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其 中6件是一等品，4件是二等品.
(I)
随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(H)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列； (III)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 【解析】(I)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件 为 ....................... 1分
事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检 测” 2分 ....................................... 4分 (II) 由题可知可能取值为0, 1,2,3.
…
故的分布列为
....................... 8分
（Ill）设随机选取3件产品都不能通过检测的事件 为
.......... 10分
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，.
......... 13分
2、（2011-深圳一模）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12 B 到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12名男志愿者 和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单 位:cm）:若身高在175cm以上（包括175cm）定义为
“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”， 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ （H）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担 任\"礼仪小姐”的人数，试写岀的分布列，并求的数学期望. 【解析】（I）根据茎叶图，有“高个子” 12人，“非高个子” 18 人， ....... 1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
........... 2分
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人. ........... 3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没 有一名“高个子”被选中”，
则.……5分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是.・・・6分 （H）依题意，的取值为.
............ 7分
， . ............. 9 分
因此，的分布列如下：
10分
12分
3、 （2011-r州二模）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆 能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力•某班学生共有40人，下表为该班学生瞬 时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的 学生为3人.
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力 恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.
（I）试确定、的值；
（］【）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高 或超常的学生人数为，求随机变量的分布列.
【解析】（I）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能 力为中等或中等以上的学生共有人•记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能 力为中等或中等以上”为事件，
贝9,解得，从而.
（H ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能 力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其 中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40 位学生中任意抽取3位,其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超 常的概率为•的可能取值为0、1、2、3.
因为,，，，所以的分布列为
4、 （2011-北京朝阳一模）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投 6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖.已知教师 甲投进每个球的概率都是.
（I）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及 数学期望；
（II ）求教师屮在一场比赛中获奖的概率;
（Ill）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了 4个球，求教师乙 在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师屮在一场比 赛中获
奖的概率相等吗？
【解析】（I）X的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.依条件可知 X〜B（6,）.
0
所以X的分布列为： 所以三
或因为X~B（6,）,所以.即X的数学期望为4・ （1【）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,则 答：教师屮在一场比赛中获奖的概率为
（III）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B,则.（此处为会更好!因为样本 空间基于：已知6个球中恰好投进了 4个球）即教师乙在这场比赛中获奖的概率 为.
显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师屮在一场比赛中获奖的 概率不相等.
5、（2011-北京石景山一模）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征 召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下 表所示.
（I）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率 分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人 数；
（II ）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场 的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄 低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望.
20
25
30
35
40
45 年龄岁
【解析】（I ）①处填，②处填;
20 25 30 35 40 45 年龄岁
补全频率分布直方图如图所示. 名志愿者中年龄在 的人数为人.…6分
（II ）用分层抽样的方法，从中选取人， 则其中“年龄低于岁”的有人， “年龄不低于岁”的有人. 分
故的可能取值为，，；
9
........ 7
,,……11分 所以的分布列为： ・•・.
.............. 13分
6、（2011-北京朝阳二模）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体 健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能 进行销售，否则不能销售.已知某产品笫一轮检测不合格的概率为，笫二轮检测 不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.
（I）求该产品不能销售的概率；
（1【）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售， 则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品 获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）.
【解析】（I ）记“该产品不能销售”为事件A,则. 所以，该产品不能销售的概率 为.
............................ 4分
20 25 30 35 40 45 年龄岁
（1【）由已知，可知X的取值为. .................... 5分
. 10 分
所以X的分布列为
........................................................ 11分 E(X),故均值E(X)为40.……12分
7、(2011-北京丰台二模)张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家 开车到公司上班有LI, L2两条路线(如图)，L1路线上有Al, A2, A3三个路 口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有Bl, B2两个路口，各路口遇到 红灯的概率依次为，.
H C A1 A2 B1 B2 L1 L2 A3
(I )若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (II )若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；
(HI)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.
【解析】(丨)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，贝IJ.…4分 所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.
. 10 分
(11 )依题意，的可能取值为0, 1, 2.
.…8分
故随机变量的分布列为： .
....................... 10 分
（1【【）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，， 所以.……12分
因为，所以选择L2路线上班最好.……14分
8、 （2011-北京海淀二模）某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层 停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等 可能的.
（I） 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率； （H）用表示4名乘客在笫4层下电梯的人数，求的分布列和数学期望. 【解析】（I）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件 为, 1分 山题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都 是， ........................ 3分
贝9 （II）
.. ............................................6分
的可能取值为0,1, 2, 3, 4, 7分
山题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影 响，所以.…9分
............................................... 11分 . ................................... 13 分
9、 （2011-福建福州3月质检）“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国 民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两 个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀” 胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负.现假设玩 家屮、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.
（I）求出在1次游戏中玩家中胜玩家乙的概率；
（n）若玩家甲、乙双方共进行了 3次游戏，其中玩家中胜玩家乙的次数 记作随机变量，求的分布列及其期望.
【解析】（I）玩家屮、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果 是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；
（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布， 布）.共有9个基本事件， ----------------------------- 3分
玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）； （布，石头），共有3个.所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率.—— 6分
（II）的可能取值分别为0, 1, 2, 3.
,. ----------------------------------- 10 分
的分布歹I」女口下： -------------- 11分 （或：，）. ----- 13 分
10、 （2011-湖北黃冈3月质检）某射击小组有中、乙两名射手，甲的命中率 为，乙的命中率为，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测， 在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先 进和谐组”；
（I）若,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（II ）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得 “先进和谐组”的次数，如果，求的取值范围.
【解析】（I） --------------- 6分[来源:学科网ZXXK] （II ）该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 而，所以，由知，解得. ----- 12分
11、 （2011-湖北部分重点中学第二次联考）一射击测试每人射击三次，每击 中LI标一次记10分。没有击中记0分，某人每次击中口标的概率为
（I）求此人得20分的概率; 差。
【解析】（I ）此人得20分的概率为
（II）求此人得分的数学期望与方
……4分
（H） 记此人三次射击击中目标次得分为分，则〜，二10…6分 ・・・ ……12分
12、 （2011-江西八校4月联考）设不等式确定的平面区域为，确定的平面区 域为.
（I） 定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取3个整点， 求这些整点中恰有2个整点在区域的概率；
（1【）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和 数学期望.
【解析】（I ）依题可知平面区域的整点为共有13个， 平面区域的整点为共有5个，
・・・
……9分
（II）依题可得：平面区域的面积为，平面区域的面积为：， 在区域内任取1个点，则该点在区域内的概率为， 易知：的可能取值为，且
9
・•・的分布列为：
・・・的数学期望:……12分 （或者：，故）
13、 （2011-山东淄博二模）、是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比试验。每个试验组111 4只小白鼠组成，其中2只服用，另2只服用， 然后观察疗效。若在一个试验组中，服用有效的小白鼠的只数比服用有效的 多，就称该试验组为甲类组。设每只小口鼠服用有效的概率为，服用有效的概率 为.
（I）求一个试验组为甲类组的概率；
（1【）观察3个试验组，用表示这3个试验组中中类组的个数，求的分布 列和数学期望。
【解析】（I）设表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”， i二0, 1, 2；
表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，i二0, 1, 2 依题意有,，，， 所求的概率为
（II ） 的可能取值为 0, 1, 2, 3,且 ~ B（3, eq \\f（4,9））, ・・・ 的分布列为 所以数学期望.
14、（2011-温州一模）盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4 只黑球，4只白球.规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励 10元，否则罚款2元.
（I） 若某人摸一次球，求他获奖励的概率；
（II） 若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量为获 奖励的人数，
（ =1 \\* roman i ）求 求这10人所得钱数的期望.
（结果用分数表示，参考数据：） 【解析】（I） （II ）
（ = 1 \\* roman i ）由题意知，贝9
（ =2 \\* roman ii ）
（=2 \\* roman ii ）设为在一局中的输赢，贝9, 所以，即这10人所得钱数的期望为.
13、（2011-天津高考）学校游园活动有这样一个游戏项口：中箱子里装有3 个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相 同，
每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个， 则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（I）求在1次游戏中： ① 摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
（1【）求在2次游戏中获奖次数的分布列与数学期望. 【解析】（I）①设''在1次游戏中摸出个白球”为事件，贝9. ② 设''在1次游戏中获奖”为事件，贝9, 乂， 且、互斥，所以.
（1【）法1：由题意可知的所有可能取值为0、1、2. • •
所以的分布列是： 的数学期望.
法2：因为，得的分布列同上，的数学期望.
16、（2011-全国高考）根据以往统讣资料，某地车主购买屮种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独 立.
（I）求该地1位车主至少购买中、乙两种保险中的1种的概率；
（1【）表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 的期望.
【解析】记表示事件：该地的1位车主购买中种保险；表示事件：该地的 1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；表示事件：该地的1位车主至少购 买甲、乙两种保险中的1种；表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不 购买.
（I ）,.因为，且、互斥，所以.
（H）因为，所以.而，即服从二项分布，所以的期望为.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容