必修1：函数性质期末综合测评2

一、选择题

1．设全集U是实数集R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，N＝{x|x≥3或x＜1}, 都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )

A．{x|－2≤x＜1} C．{x|1＜x≤2}

B．{x|－2≤x≤2} D．{x|x＜2}

解析：∵图中阴影部分表示x∈N且x∉M，∴x∈N∩∁UM.∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}， ∴N∩∁UM＝{x|－2≤x＜1}．故选A． 答案：A

2．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R)，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中元素为( )

A．(－3,1) C．(－1，－3)

B．(1,3) D．(3,1)

解析：∵x－y＝－1－2＝－3，x＋y＝－1＋2＝1，∴与A中的元素(－1,2)对应的B中元素为(－3,1)．

答案：A

3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则( ) A．函数f(x2)是奇函数 数

C．函数f(x)·x2是奇函数 函数

解析：f((－x)2)＝f(x2)，则函数f(x2)是偶函数，故A错误；[f(－x)]2＝[－f(x)]2＝[f(x)]2，则函数[f(x)]2是偶函数，故B错误；函数f(－x)·(－x)2＝－f(x)·x2，则函数f(x)·x2是奇函数，故C正确；f(－x)＋(－x)2≠f(x)＋x2，且f(－x)＋(－x)2≠－f(x)－x2，则函数f(x)＋x2是非奇非偶函数，故D错误．故选C．

答案：C

4．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋7(其中a，b为常数)，若f(－7)＝－17，则f(7)的值为( ) A．31 C．－17

B．17 D．15

D．函数f(x)＋x2是奇B．函数[f(x)]2是奇函

解析：令g(x)＝ax3＋bx，则g(x)为奇函数，因为f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，所以g(－7)＝－17－7＝－24，g(7)＝24，f(7)＝g(7)＋7＝31.

答案：A

3a－1x＋4ax＜1，

5．已知f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值

－axx≥1

范围是( )

11

A．8，3 1

0， C．3

3a－1＜0，

解析：由题意可得－a＜0，

－a≤3a－1＋4a.答案：A

6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

p＋q

A.

2C.pq

p＋1q＋1－1B.

2D．p＋1q＋1－1

11B．8，3 1

－∞， D．3

11

解得≤a＜.故选A．

83

解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝p＋1q＋1－1，故选D.

答案：D

7．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )

解析：由二分法的定义易知． 答案：A

8．已知函数f(x)＝2x－b的零点为x0，且x0∈(－1,1)，那么b的取值范围是( ) A．(－2,2) 11

－， C.22

B．(－1,1) D．(－1,0)

bb

解析：解方程f(x)＝2x－b＝0，得x0＝，所以∈(－1,1)，所以b∈(－2,2)．

22

答案：A

9．已知函数f(x)＝ex－x2，则在下列区间上，函数必有零点的是( ) A．(－2，－1) C．(0,1)

B．(－1,0) D．(1,2)

11

解析：f(－2)＝2－4＜0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝e0＝1＞0，f(1)＝e－1＞0，f(2)＝e2－4

ee＞0.

∵f(－1)·f(0)＜0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点． 答案：B

10．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )

解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后得y＝f(x)－1的图象，只有C图中的图象满足与x轴无交点．

答案：C

11．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

解析：∵f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域是(－1，1)， f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除C、D. ∵y＝ln(1＋x)在(0,1)上是增函数， y＝ln(1－x)在(0,1)上是减函数，

∴f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)上是增函数，故选A. 答案：A

12．设函数f(x)定义在R上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝log2x，则有( ) 1A．f(－3)＜f(2)＜f2 1C．f2＜f(－3)＜f(2)

1

B．f2＜f(2)＜f(－3) 1D．f(2)＜f2＜f(－3)

13解析：本题主要考查对数函数的单调性．由f(x)＝f(2－x)，得f(－3)＝f(5)，f2＝f2.

31＜f(2)＜f(－3)，故选当x≥1时，函数f(x)＝log2x为增函数，可知f＜f(2)＜f(5)，即f22B.

答案：B 二、填空题

1．函数f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零点个数为________．

解析：函数f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零点个数⇔方程x2－4x＋5－2ln x＝0，即方程x2

－4x＋5＝2ln x实根的个数⇔函数y＝x2－4x＋5与函数y＝2ln x图象交点的个数．作出两函数图象的图象如下：

2.

答案：2

由此可知两函数图象有且只有2个交点，故函数f(x)＝x2－4x＋5－2ln x的零点个数是

2．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：

a≠0，

①f(0)·f(1)＜0或②且其解在(0,1)上，

Δ＝0，

由①得(－1)(2a－2)＜0，∴a＞1. 1

由②得1＋8a＝0，即a＝－.

81

∴方程－x2－x－1＝0，

4

∴x2＋4x＋4＝0，即x＝－2∉(0,1)，应舍去，综上可得a＞1. 答案：a＞1

ax＋1

3．若函数f(x)＝在x∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

x＋2ax＋11－2a1

解析：f(x)＝＝a＋，∵y＝在x∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a＞0，

x＋2x＋2x＋2

1∴a＜.

2

1

答案：a＜

2

4．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.

解析：由已知得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

答案：－0.5 5．若函数f(x)＝

x

为奇函数，则a＝________.

2x＋1x－a

－x

＋

－2x＋1－x－a

解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0恒成立，即

x

＝0恒成立，可化为(2x＋1)(x－a)＝(2x－1)(x＋a)恒成立，整理得2(1－2a)x＝0

2x＋1x－a

1

恒成立，所以1－2a＝0，所以a＝.

2

1答案： 2

6．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是_________．

解析：f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点(如图), 可知0答案：(0,2)

7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1解析：当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图．

m＋1≥－2，

则2m－1≤7，m＋1＜2m，

解得2综上，m的取值范围为m≤4. 答案：{m|m≤4}

8．若函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则f(x)的单调递增区间是______________．

解析：本题主要考查二次函数的奇偶性、对称性及单调性．函数f(x)＝(m－2)x2＋(m－1)x＋2是偶函数，则函数的对称轴为y轴，所以m－1＝0，即m＝1.所以函数的解析式为f(x)＝－x2＋2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

9．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是________．

解析：由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x＞0，f(1)＜f(ln x)则1＜ln x，有x＞e，当ln x＜0，f(－1)＜f(ln x)，则－1＞ln x，有01＜x＜.

e

1

0，∪(e，＋∞)． 不等式f(－1)＜f(ln x)的解集是e1

0，∪(e，＋∞) 答案：e

10．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m，m＋6，则实数c的值为______．

解析：本题主要考查一元二次方程根的求法以及根与系数的关系，考查学生分析问题、aa

x＋2＋b－. 解决问题的能力．由题意知f(x)＝x＋ax＋b＝24

2

2

a2a2

∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝. 44aa

x＋2.又∵f(x)＝c，∴x＝－±c. ∴f(x)＝22

∴a

－2＋答案：9

a

－－c＝m， ①2

c＝m＋6. ②

由②－①得2c＝6，∴c＝9.

三、解答题(本大题共2小题，需写出演算过程与文字说明，共25分)

12．(本小题满分13分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，7

且有最小值是.

4

(1)求f(x)的解析式．

(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间[0,1]上的最小值，其中t∈R.

(3)在区间[－1,3]上， y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．

37

解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x＝，又最小值是，

2437

x－2＋(a≠0)， 则可设f(x)＝a24又图象过点(0,4)，

37

0－2＋＝4，解得a＝1. 则a2437

x－2＋＝x2－3x＋4. ∴f(x)＝24

(2)h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其对称轴为x＝t. ①t≤0时，函数h(x)在[0,1]上单调递增，最小值为h(0)＝4. ②当0＜t＜1时，函数h(x)的最小值为h(t)＝4－t2.

③当t≥1时，函数h(x)在[0,1]上单调递减，最小值为h(1)＝5－2t. 4，t≤0，2

∴h(x)min＝4－t，0＜t＜1，

5－2t，t≥1.

(3)由已知得f(x)＞2x＋m对x∈[－1,3]恒成立， ∴m＜x2－5x＋4对x∈[－1,3]恒成立． ∴m＜(x2－5x＋4)min(x∈[－1,3])．

9

∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1,3]上的最小值为－，

49

∴m＜－.

4

1＋x

12．(本小题满分13分)已知f(x)＝log2. 1－x(1)判断f(x)奇偶性并证明；

(2)判断f(x)单调性并用单调性定义证明； 1

－＜0，求实数x的取值范围． (3)若f(x－3)＋f31＋x

解：(1)∵＞0，∴－1＜x＜1，∴定义域为(－1,1)关于原点对称，

1－x1－x1＋x －1＝－log1＋x＝－f(x)，

又f(－x)＝log2＝log22

1＋x1－x1－x∴f(x)为(－1,1)上的奇函数．

(2) 设－1＜x1＜x2＜1, 则f(x1)－f(x2)＝ log2

1＋x11＋x21＋x11－x2

－log2＝log2. 1－x11－x21－x11＋x2

又－1＜x1＜x2＜1，

∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0， 即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)， 1＋x11－x2∴0＜＜1，

1－x11＋x2

1＋x11－x2∴log2＜0，∴f(x1)＜(fx2)，

1－x11＋x2∴f(x)在(－1,1)上单调递增． (3)∵f(x)为(－1,1)上的奇函数， 11－＝f. ∴f(x－3)＜－f33110

又f(x)在(－1,1)上单调递增，∴－1＜x－3＜，得2＜x＜.

33