如何利用定义证明极限问题

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２４卷第５期　济宁师范专科学校学报　２００３年１Ｏ月　Ｖｏ１．２４　ＮＯ．５　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｎｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｏｅｔ．２００３　文章编号：１００４—１８７７（２００３）０５—０００６—０２　如何利用定义证明极限问题　朱先军　（济宁师范专科学校，山东济宁　２７２０２５）　摘要：本文利用极限定义介绍了如何通过限定变量的范围及放大不等式来证明极限问题。　关键词：定义，函数，放大，限定，极限　中圈分类号：０２１ｌ，４　文献标识码　Ａ　众所周知，微积分学研究的主要对象是函数，而研究函数的方法就是极限。微积分中几乎所有的概念都离不开极限，　因此，极限概念是微积分的重要概念，极限理论是微积分的理论基础。函数极限由于自变量的趋向方式有七种（　一。。，　—ｎ，　—ｎ一一‘２　，　一。。，　一＋。ｏ，　一一。。），而每种趋向的方式又对应着四种极限的结果（定值，。。，＋。。，一。。），因　此函数极限共有２８种。对于每一种极限都要求不仅在理解的基础上会叙述，而且还要会利用这些定义去证明相应的极　限问题。对于初学者来说利用定义证明极限问题往往难以下手，较简单的极限证明有时也只能套用模式，而比较复杂的　极限的证明由于常常要对自变量作出限定并伴随着不等式的放大，因此，学生们就更是无所适从　下面将结合例子介绍　在利用极限定义证明极限问题时如何通过限定自变量的范围及放大不等式，从而来证明极限问题　数列极限　数列极限是函数极限的特殊情况。利用定义证明　一Ａ（定值），思路是“Ｖ￡＞ｏ，　ＮＥＮ，Ｖ　＞Ⅳ，有ｌａ．一ＡＩ＜　￡”关键是找Ⅳ，而寻求Ｎ，只能从不等式Ｉａ　一ＡＩ＜￡人手，在找Ⅳ的过程中往往要将不等式Ｉａ．一ＡＩ＜￡进行放大，即Ｉ　ｎ　一ＡＩ　…　厂（　）＜￡，这里ｆ（ｎ）的分母中必须含有　且分母比分子的次数要高，这样才能保证厂（　）可以任意小且保持　任意小，另外也常常对　作一些限定。　例１．证明：　一ｌｉａｒｎ　￣－－　ｎ＋　５一了１　。。　；分析：Ｖ　ｅ＞Ｏ＇考察Ｉ丽ｎ２－ｎ＋５一　１　Ｉ一　西　，　４．初学者往往直接让　＜ｅ解Ⅳ，但这时　求的Ⅳ将非常复杂且不易求解，这时在　三三＝４的前提下可将分子放大（５ｎ一１９￣５ｎ），而将分母缩小（２ｎ－－４＞Ｏ，甩掉２ｎ－－　４），从而使分式值放大，即　＜　＜　，然后让　＜ｅ，只要　＜÷，１￣Ｎ＝ｍｎ　｛４，［÷］）即可。　证明过程略。　以下例题只给出分析过程，证明过程略　二、函数极限　利用定义证明　ｌｉ＃ｎ　八　Ｊ一小疋值）时，也是通过Ｖ￡＞Ｏ，关键找　。在找　的过程中往往也是对　作限定，而限定时　只能在点ａ的附近限定，如限定ｏ＜ｊ　—ｎＩ＜乱。但有些初学者往往是作形如６＜　＜ｆ的限定，这是不允许的。另外也常　常将ｌ厂（　）一Ａ　Ｉ＜￡放大为ｌ厂（　）一Ａ　　ｌ…　ｇ（１ｘｍａ　Ｉ），然后让ｇ（１ｘｍａ　１）ｄｅ，从中解出ｌｘ－－ａ　ｌ＜　，最后取８＝ｍｉｎ　｛乱，　）＞Ｏ即可。值得注意的是ｇ（１ｘ－－ａ　Ｉ）中ｌｘｍａ　Ｉ必须出现在分子中且必须能保证ｇ（Ｉｘｍａ　１）任意小方可。在将Ｉ厂　收稿日期：２ＯＯ３一Ｏ３一Ｏ６　作者简介；朱先军（１９６３），男，山东省济宁市人，济宁师专数学系剐教授。　６一　Ｉ疆　姗ＩＩ　维普资讯 http://www.cqvip.com ）一Ａｌ　ｌ＜ｅ放大的过程中　时分于、分母甲笛　多余的ｚ，怎样牛苷运些多余明ｚ云伴是敢大的天键·Ｆ回通辽一些例　子予以说明。　ｉａ１五　ｒｘｚ　－　１　一２　例２．证明：ｚｌ分析：Ｖ　ｅ＞。，考察ｌ石　＜　与　ｅ后取　＝　￣一２　Ｉ一　兰　＜ｅ。这时分母中含有多余的Ｉ４ｚ一３１。有些初学者往往得到Ｉｚ一１　　１ｅ，这是不允许的。这时必须将分母中多余的ｌ　４ｚ一３Ｉ去掉．方法是Ｉ４　一３Ｉ＝Ｉ４（　一１）＋１Ｉ　ｉ－４１　一１　１．令１—４Ｉ　一１　Ｉ＞专，可限定。＜Ｉ　一１ｌ＜　，这样当。＜ｌ　一１　ｌ＜　时ｊ旦４ｘ￣－７ｘ＋３—２　ｊ一　三　＜　需要指出的是Ｉ４ｚ一３　１＝１４（ｚ一１）＋１　Ｉ三三＝１—４１ｚ一１　１，也可分别令１－４１ｚ一１　Ｉ＞了１戤　１１４Ｉｘ一１１＜ｅ有Ｉｘ－－１Ｉ＜　．最后取　：　｛　１，音）即可。　吉等，但就是不能令１—　４Ｉｚ一１　Ｉ＞１或大于比１大的数。另外，ｌ　４ｘ－－３　Ｉ缩小的方式还有一种即Ｉ４ｘ－－３Ｉ—Ｉ４（ｘ－－１）＋１　Ｉ三三＝４ＩＸ－－１　Ｉ一１，这种形式　对于分母中多余的　不可取．因为如令４ｌｚ一１１－１＞１￣１ｚ一１Ｉ＞＿詈＿而不能保证　一１了！再者对初学者而言，分母　中多余的ｚ可能如此处理：限定２＜ｚ＜３．则５＂￣４ｘ－－３＜９，从而　三　＜　＜ｅ有Ｉ　一１Ｉ＜萼，尽管做到了将分　母中多余的ｚ去掉了，但却忽略了在２＜ｘ＜３时不会有ｘ－－－￣１了。　上述例２是分母中含有多余的ｚ的情形，对于分子中含有多余的ｚ的情况，请看下面的　例３．证明：　誊三　一　分析：Ｖ　ｅ＞ｏ’考察Ｉ　ｘＳ－８一ｌ２　Ｉ—Ｉｘ－ｚ　ｌ　ｌｚ＋４　１．令Ｉｚ＋４Ｉ＝Ｉｘ－２＋６　Ｉ　一２ｌ＋６＜７，则可限定ｏ＜Ｉ　一２　１＜　１，于是Ｉｘ－－２　Ｉ　Ｉｘ－ｔ－４１＜７１ｘ—Ｚｌ＜￡，有Ｉｘ－２　Ｉ＜－Ｋ　，由此可定出３＝ｍｉ　｛１，号｝。　对于分子、分母中都含有多余ｚ的情形，可仿例２、３处理，例如　例４．证明：　芸　一ｌｏ　分　ｃ＞ｏ，考察ｌ　＿ｌ０ｌ＝与　，分别令　Ｉｘ－－１７Ｉ—Ｉｘ－３—１４　１￣１ｚ一３［＋１４＜１５．［２ｘ－５　１＝Ｉ　２　一３）＋１　１￣１－２［ｚ一３Ｉ＞÷则可分别得Ｉ　一３Ｉ＜１，Ｉ　３１＜－－４，１从而可限定Ｉｚ一３Ｉ　１于是　ｌ芸　一　。Ｉ一　彳　＜３０Ｉｚ—ｓＩ＜ｅ，有Ｉｚ—ｓｌ＜矗．取　—　｛÷，矗）即可。　以上介绍了如何通过限定自变量的范围及放大不等式的方法来证明函数极限问题，至于其ｆＩＩ｝形－式的极限的证明则　可根据苴举犁仿照卜沭处理办法灵活她运用　参考文献　［１］刘玉琏等．数学分析讲义（上册）（第二版），高等教育出版社。　（责任编辑庞新琴）　Ｗａｙ　ｏｆ　Ｐｒｏｖｉｎｇ　Ｌｉｍｉｔ　ｂｙ　Ａｐｐｌｙｉｎｇ　ＤｅｆｉｎｉｔｉｏｎＺＨｕ　Ｘｉａｎ—ｊｕｎ　（Ｊｉｎｉｎｇ　ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ，Ｊｉｎｉｎｇ，２７２０２５）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ａｐｐｌｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｉｍｉｔ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｈｏｗ　ｔＯ　ｐｒｏｖｅ　ｌｉｍｉｔ　ｂｙ　ｓｅｔｔｉｎｇ　ａ　ｌｉｍｉｔ　ｔＯ　ｔｈｅ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ａｎｄ　ｅｎｌａｒｇｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｅｆｉｎｉｔｏｎ．ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｅｎｌａｒｇｅ．ｓｅｔ　ａ　ｌｉｍｉｔ　ｔＯ．１ｉｍｉｔ　７—　１　ｒ疆腰ｌ　啊啊ｒ。