一(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知i是虚数单位,则复数3-2i=( )
2+3i
+i
1
2.已知集合M={x|x2-4x<0},N={𝑥|4≤2𝑥≤4},则M∪N=( ) A.[-2,4)
B.(-2,4)
C.(0,2) D.(0,2]
3.采用系统抽样的方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( ) 4.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+ln(𝑥2+3)的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是( ) ∧q B.(??p)∧(??q) C.(??p)∧q ∧(??q) 5.已知点A是抛物线C1:y=2px(p>0)与双曲线
2
1
𝑥2
C2:𝑥2𝑥2
−𝑥2=1(a>0,b>0)的一条渐近线
的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于( ) A.√2
112
B.√3 𝑥C.√5 D.√6 6.(√𝑥-)的展开式中含x的正整数指数幂的项的个数是( )
7.若数列{an}是等差数列,则下列结论正确的是( ) A.若a2+a5>0,则a1+a2>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0 如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V正四棱锥P-ABCD=3,则球O的表面积是( ) π π π π 16 3𝑥+𝑥-2≤0, 9.已知变量x,y满足线性约束条件{𝑥-𝑥≤2,若目标函数z=kx-y仅在点(0,2) 𝑥≥-𝑥-1,处取得最小值,则k的取值范围是( ) <-3 >1 B.3 1 C.3 2 D.2 1 11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC=30°.若 △MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=𝑥+𝑥+𝑥,则f(x,y,z)的最小值为( ) 12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 1 4 9 x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合: ①M={(𝑥,𝑥)|𝑥=𝑥};②M={(x,y)|y=sinx+1};③M={(x,y)|y=log2x};④ 1 M={(x,y)|y=ex-2}. 其中是“商高线”的序号是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 第Ⅱ卷 非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 执行如图所示的程序框图,若输入x=,则输出的m值为 .? 14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为 .? 15.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的下列四个结论: ①函数f(x)的最大值为√2; ②把函数f(x)=√2sin2x-1的图象向右平移4个单位后可得到函数f(x)=2(sinx-cosx)·cosx的图象; π ③函数f(x)的单调递增区间为[𝑥π+④函数f(x)的图象的对称中心为( 𝑥π 2 7π8 ,𝑥π+ 11π8 ],k∈Z; + π8 ,0),k∈Z. 其中正确的结论有 个.? -1𝑥16.已知数列{an}满足a1=2,an-1-an=𝑥𝑥(n≥2),则该数列的通项公式 (𝑥+1) 1𝑥𝑥为 .? 三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 π A=3,sinB=3sinC. (1)求tanC的值; (2)若a=√7,求△ABC的面积. 18.(本小题满分12分)某青少年研究中心为了统计某市青少年(18岁以下)2017年春节所收压岁钱的情况进而研究青少年的消费去向,随机抽查了该市60名青少年所收压岁钱的情况,得到如下数据统计表(图①).已知“压岁钱不少于2千元的青少年”与“压岁钱少于2千元的青少年”人数比恰好为2∶3. (1)试确定x,y,p,q的值,并补全频率分布直方图(图②); (2)该机构为了进一步了解这60名青少年压岁钱的消费去向,将这60名青少年按“压岁钱不少于2千元”和“压岁钱少于2千元”分为两部分,并且用分层抽样的方法从中抽取10人,若需从这10人中随机抽取3人进行问卷调查.设ξ为抽取的3人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数,求ξ的分布列和均值; (3)若以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取15人进行座谈,若15人中“压岁钱不少于2千元的青少年”的人数为η,求η的均值. 压岁频频钱/数 率 千元 [0, 3 [,1) x p [1, 9 [,2) 15 [2, 18 [,3] y q 合 60 计 图① 图② 19.(本小题满分12分) 在如图所示的多面体中,四边形ABCD是菱形,ED∥FB,ED⊥平面 ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2√2. (1)求证:AE⊥CF; (2)求二面角A-FC-E的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点(1,2)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为2的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|PA|2+|PB|2为定值. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)满足g'(x)=𝑥(a∈R,x>0),且g(e)=a,e为自然对数的底数. (1)已知h(x)=e1-xf(x),求曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程; (2)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范围; 𝑥1 √3𝑥(𝑥),𝑥<1, O为坐标原点,若对于y=F(x)在x≤-1时的图象上 𝑥(𝑥),𝑥≥1, 的任一点P,在曲线y=F(x)(x∈R)上总存在一点Q,使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑥<0,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围. 请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分. 22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线(3)设函数F(x)={ C:ρcosθ=2asinθ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为{ 𝑥=-2+为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N. (1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. 2 𝑥=-4+ √22√22 𝑥,𝑥(t23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 解析(方法一)3-2i= 2+3i 2+3i (2+3i)(3+2i)(3-2i)(3+2i) =13=i. 13i (方法二)3-2i=(3-2i)i=2+3i=i. (2+3i)i(2+3i)i 解析∵M={x|0 解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以(??p)∧q为真命题. 解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到该抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为(2,±𝑥).所以双曲线C2的渐近线方程为y=±2x.所以𝑥=2.所以 𝑥𝑥b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线C2的离心率为√5. 解析(√𝑥-𝑥)的展开式中第r+1项为C12(√𝑥)·(-𝑥)=(-1)C12𝑥12-r112 𝑥1𝑥r𝑥6- 3𝑥2.当 6-3𝑥为正整数时,可知2 r=0或r=2,故(√𝑥-𝑥)的展开式中含x的正整数指数幂的项 112 的个数是2. 解析设等差数列{an}的公差为d,若a2+a5>0,则a1+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项A错误. 若a1+a3<0,则a1+a2=(a1+a3)-d.由于d的正负不确定,因而a1+a2的符号不确定,故选项B错误. 若0 22 所以𝑥2-aa=(a+2d)-(a+d)(a+3d)=d>0.所以a3>√𝑥2𝑥4.故选项C正确. 241113 2 由于(a2-a1)(a4-a2)=d(2d)=2d,而d有可能等于0,故选项D错误. 解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2. 因为V正四棱锥P-ABCD=3,所以3·2R2·R=3,解得R=2.所以球O的表面积是16π. 16116 解析如图,作出题中不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k满足-3 可知PA+AC=a-1+b-1=6,即a+b=8.故(a+b)=8+2ab≤8+2(2),即a+b≤4, 2 2 2 2 2 2 2 𝑥+𝑥2 当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时PA=√3,AC=√3.所以该几何体的体积 V=3×2×1×√3×√3=2. 解析由𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1. 故𝑥+𝑥+𝑥=(𝑥+𝑥+𝑥)(x+y+z) 1 4 9 1 4 9 111 =1+4+9+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥+𝑥≥14+4+6+12=36, 当且仅当x=6,y=3,z=2时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36. 1 1 1 𝑥𝑥4𝑥4𝑥9𝑥9𝑥 解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D. 解析若输入x=,则m==-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m值为0. 解析因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=1+m=0.所以m=-1. 所以f(-log35)=-f(log35)=-(3log35-1)=-4. 解析因为f(x)=2sinx·cosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=√2sin(2𝑥-4)-1,所以其最大值为√2-1.所以①错误. 因为函数f(x)=√2sin2x-1的图象向右平移4个单位后得到函数 π π f(x)=√2sin[2(𝑥-4)]-1=√2sin(2𝑥-2)-1的图象,所以②错误. 由-2+2kπ≤2x-4≤2+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为[-π3π7π11π+𝑥π,+𝑥π],k∈Z,即为[+𝑥'π,+𝑥'π],k'∈Z.故③正确. 8888 π π π ππ 由2x-4=kπ,k∈Z,得x=8+2,k∈Z,故④正确. 𝑥-1𝑥𝑥-1=5𝑥+3 解析因为an-1-an=𝑥𝑥(n≥2),所以=𝑥(𝑥+1).所以𝑥− (𝑥+1)𝑥𝑥𝑥-1 𝑥𝑥ππ𝑥π 2𝑥+2𝑥𝑥𝑥-𝑥11 1 𝑥𝑥-1 =𝑥−𝑥+1. 11 所以𝑥−𝑥=2−3,𝑥−𝑥=3−4,𝑥−𝑥=4−5,…,𝑥−𝑥=𝑥− 𝑥213243𝑥-1 1 . 𝑥+1 111111111111111 所以𝑥−𝑥=2−𝑥+1. 𝑥1所以𝑥=2−𝑥+1. 𝑥所以an=5𝑥+3(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式. 所以an=5𝑥+3. 17.解(1)∵A=3,∴B+C=3. ∴sin(3-𝑥)=3sinC. ∴2cosC+2sinC=3sinC. ∴2cosC=2sinC.∴tanC=5. (2)由sin𝑥=sin𝑥,sinB=3sinC,得b=3c. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9c2+c2-2×(3c)×c×2=7c2. ∵a=√7,∴c=1,b=3. ∴△ABC的面积为S=2bcsinA=4. 3+𝑥+9+15+18+𝑥=60, 18.解(1)根据题意,有{18+𝑥 2 =, 3+𝑥+9+153 解得{ 1 3√31 √3√31111 151 2𝑥+2 2𝑥+2 π2π 2π 1 5√3𝑥𝑥𝑥=9, 𝑥=6. 故p=,q=. 补全的频率分布直方图如图所示. (2)用分层抽样的方法从中抽取10人,则其中“压岁钱不少于2千元的青少年”有10×5=4人,“压岁钱少于2千元的青少年”有10×5=6人. 故ξ的可能取值为0,1,2,3, 2 3 且P(ξ=0)=3C04C6 C310 = 2 1C14C6,P(ξ=1)=36C10 = 1 1C24C6,P(ξ=2)=32C10 = 0 3C34C6,P(ξ=3)=310C10 =30, 1 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1131621030所以E(ξ)=0×6+1×2+2×10+3×30=5. (3)以频率估计概率,从该市青少年中随机抽取1人为“压岁钱不少于2千元的青少年”的概率是60=5,则η~B(15,5),故随机变量η的均值为E(η)=15×5=6. 19.(1)证明(方法一)由题意知,在△AEF中,AE=√6,EF=√6,AF=2√3. ∴AE2+EF2=AF2, ∴AE⊥EF. 在△AEC中,AE=√6,EC=√6,AC=2√3. ∴AE2+EC2=AC2,∴AE⊥EC. 又EF∩EC=E,∴AE⊥平面ECF. 又FC?平面ECF,∴AE⊥FC. (方法二)∵四边形ABCD是菱形,AD=BD=2,∴AC⊥BD,AC=2√3. 故可以O为坐标原点,以OA,OB所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由ED⊥平面ABCD,ED∥FB,BD=2,BF=2√2,DE=√2,可知A(√3,0,0),E(0,-1,√2),C(-√3,0,0),F(0,1,2√2). ∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,√2),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,2√2). ∴𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,-1,√2)·(√3,1,2√2)=-3-1+4=0. ∴AE⊥CF. (2)解由(1)中方法二可知A(√3,0,0),E(0,-1,√2),C(-√3,0,0),F(0,1,2√2), 则𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,2√2),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,0,0),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,√2),𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√2). 设平面AFC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 由𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n1=0,𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n1=0,得-√3x1+y1+2√2z1=0,且-2√3x1=0. 令z1=1,得n1=(0,-2√2,1). 设平面EFC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 由𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n2=0,𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n2=0,得2y2+√2z2=0,且-√3x2+y2-√2z2=0. 令y2=-1,得n2=(-√3,-1,√2). 设二面角A-FC-E的大小为θ,则cosθ=√3𝑥1·𝑥20+2√2+√2==3. |𝑥1||𝑥2|3×√611316 24222 20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为4+𝑥2=1. 𝑥2𝑥2 将点(1,2)代入椭圆方程得b=1,所以椭圆方程为4+y2=1. 2 √3𝑥2 (2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=2, 由方程组{ 𝑥-𝑥𝑥=2(𝑥-𝑥), 𝑥2 4 1 +𝑥=1, 2 消去y得2x2-2mx+m2-4=0. (*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根. 所以x1+x2=m,x1x2=2. 2 所以|PA|+|PB|=(x1-m)+𝑥21+(x2-m)+𝑥2 2 2 2 2 𝑥2-4 =(x1-m)2+4(x1-m)2+(x2-m)2+4(x2-m)2 22=4[(x1-m)2+(x2-m)2]=4[𝑥21+𝑥2-2m(x1+x2)+2m] 11 55 =4[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=4[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5. 所以|PA|2+|PB|2为定值. 21.解(1)∵h(x)=(-x3+x2)e1-x, ∴h'(x)=(x3-4x2+2x)e1-x. ∴h(1)=0,h'(1)=-1. ∴曲线h(x)在点(1,h(1))处的切线方程为y=-(x-1),即y=-x+1. (2)∵g'(x)=𝑥(a∈R,x>0), ∴g(x)=alnx+c(c为常数). ∴g(e)=alne+c=a+c=a. ∴c=0. ∴g(x)=alnx. 由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x. ∵当x∈[1,e]时,lnx≤1≤x,且等号不能同时成立, ∴lnx 𝑥2-2𝑥𝑥2-2𝑥∴a≤𝑥-ln𝑥.∴a≤(𝑥-ln𝑥). max 𝑥55 设t(x)=𝑥-ln𝑥,x∈[1,e], 则t'(x)=(𝑥-1)(𝑥+2-2ln𝑥) (𝑥-ln𝑥) 2𝑥2-2𝑥. ∵x∈[1,e],∴x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0.∴t'(x)≥0. ∴t(x)在[1,e]上为增函数. ∴t(x)max=t(e)=e-1.∴a≤e-1. (3)设P(t,F(t))为y=F(x)在x≤-1时的图象上的任意一点,则t≤-1. ∵PQ的中点在y轴上,∴点Q的坐标为(-t,F(-t)). ∵t≤-1,∴-t≥1. ∴P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)). ∵𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-t2-at2(t-1)ln(-t)<0, ∴a(1-t)ln(-t)<1. 当t=-1时,a(1-t)ln(-t)<1恒成立,此时a∈R. 当t<-1时,a<(1-𝑥)ln(-𝑥), 令φ(t)=(1-𝑥)ln(-𝑥)(t<-1), 则φ'(t)=(𝑥-1)+𝑥ln(-𝑥) 1 1e2-2e e2-2e 𝑥[(1-𝑥)ln(-𝑥)] 2. ∵t<-1,∴t-1<0,tln(-t)<0. ∴φ'(t)>0. ∴φ(t)=(1-𝑥)ln(-𝑥)在(-∞,-1)内为增函数. ∵当t→-∞时,φ(t)=(1-𝑥)ln(-𝑥)→0, ∴φ(t)>0.∴a≤0. 综上,可知a的取值范围是(-∞,0]. 22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0), 直线l的普通方程为x-y+2=0. (2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2√2(4+a)t+8(4+a)=0.(*) 由Δ=8a(4+a)>0, 可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则 1 1 |PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|. 由(*)得t1+t2=2√2(4+a),t1t2=8(4+a)>0, 则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4. 因为a>0,所以a=1. 23.解(1)原不等式等价于 𝑥<-1,-1≤𝑥≤1,𝑥>1,{或{或{ -2𝑥≥32≥32𝑥≥3. 解得x≤-2或x≥2. 故原不等式的解集为{𝑥|𝑥≤-2或𝑥≥2}. (2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x, 3 3 33 𝑥2-4𝑥,𝑥<-1, 则g(x)={𝑥2-2𝑥+2,-1≤𝑥≤1, 𝑥2,𝑥>1. 当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1. 因为不等式f(x)>a-x+2x在R上恒成立,所以a<1,解得-1 2 2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容