孙训方材料力学 I 第五版课后习题答案完整版

2022-12-10 来源：步旅网

第二章轴向拉伸和压缩

2-1试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。（a）解：

；

（b）解：

；

（c）解：；。(d)解：。

2-2一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f=kx²（k为常数），试作木桩的轴力图。

解：由题意可得：

0Fdx=F,有1/3kl³=F,k=3F/l³

FN（x1）=

x10

3Fx²/l³dx=F(x1/l)³

2-3石砌桥墩的墩身高l=10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F=1000KN，材料的密度ρ=2.35×

10³kg/m³，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：N(FG)FAlg

2-3图1000(323.1412)102.359.83104.942(kN)

墩身底面积：A(323.141)9.14(m)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。22

N3104.942kN339.71kPa0.34MPa2A9.14m

2-4图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向

的竖

撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为

直均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上的应力。

解：1）

求内力

取I-I分离体

得

取节点E为分离体

（拉）

，

故2）

求应力

（拉）

75×8等边角钢的面积A=11.5cm

(拉)

（拉）

2-5图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。如以表示斜截面与横

截面的夹角，试求当示其方向。

，30，45，60，90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表

解：

2-6一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10GPa。如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。

解：（压）

（压）

2-7图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：d(l)

lFdxFFldx

，ldx0EA(x)EA(x)E0A(x)

rr1rrdd1dx

，r21xr12x1，r2r1ll2l2

dd1ddd1ddd1x1)du2dxA(x)2x1u2，d(22l22l22l2l

dd2ldx2ldu

dxdu，221du(2)

d2d1A(x)(d1d2)uu

因此，2l

l0lFFldx2Fldu

dx()200EA(x)EA(x)E(d1d2)u

l

l2Fl2Fl11

E(d1d2)u0E(d1d2)d2d1xd1

22l02Fl11



d1d1E(d1d2)d2d1l

222l

2-10受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E，

。

，试求C与

D两点间的距离改变量

解：

横截面上的线应变相同

因此

2-11图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2，F20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。

受力图2-11图解：（1）求各杆的轴力以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。因为AB平衡，所以变形协调图X0，N

3cos45o0，N30

由对称性可知，CH0，N1N20.5F0.52010(kN)（2）求C点的水平位移与铅垂位移。A点的铅垂位移：l1

N1l10000N1000mm

0.476mm22EA1210000N/mm100mm

N2l10000N1000mm

0.476mmEA2210000N/mm2100mm2B点的铅垂位移：l2

1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到C点的水平位移：CHAHBHl1tan450.476(mm)C点的铅垂位移：Cl10.476(mm)

o2-12图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d112mm和d215mm，钢的弹性模量E210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB、AC杆的轴力以节点A为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得出：X0：NY0：N

ACsin30oNABsin45o0

NAC2NAB………………………(a)ACcos30oNABcos45o350

3NAC2NAB70………………(b)(a)(b)联立解得：NABN118.117kN；NACN225.621kN

（2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移2N12l1N2l21

FA22EA12EA22l21N12l1N2A()FEA1EA2式中，l11000/sin451414(mm)；l2800/sin301600(mm)

ooA10.253.14122113mm2；A20.253.14152177mm2118117214142562121600

()1.366(mm)故：A

35000210000113210000177

2-13图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷

载F。已知钢丝产生的线应变为0.0035，其材料的弹性模量E210GPa，钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在C点下降的距离；（3）荷载F的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力E2100000.0035735(MPa)

（2）求钢丝在C点下降的距离

Nll2000

7357(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。EAE2100001000

cos0.996512207

1003.51000

arccos()4.7867339o1003.5l

1000tan4.7867339o83.7(mm)

（3）求荷载F的值以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：Y0：2NsinaP0

P2Nsina2Asin27350.253.1412sin4.787096.239(N)

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：

（1）端点A的水平和铅垂位移。

（2）应用功能原理求端点A的铅垂位移。解：（1）13

fdxF,有klF0

k3F/l3

FN(x1)3Fx2/l3dxF(x1/l)3

FN3cos450

FN1F2FN3sin45F0F0.45F0.150

N1

F160KN,F1401KN,F10KN,由胡克定理，

FN1l601070.15l13.8796

EA1210101210FN2l401070.15l24.76

EA221010912106从而得，Axl24.76，Ayl22l1320.23（）

（2）VFAyF1l1+F2l20Ay20.33（）

2-16简易起重设备的计算简图如图所示。已知斜杆AB用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢

组成，钢的许用应力[σ]=170MPa。试问在提起重量为P=l5kN的重物时，斜杆AB是否满足强度条件?

解:1.对滑轮A进行受力分析如图：

∑FY=0；FNABsin300=2F，得，FNAB=4F=60kN

2．查附录的63mm×40mm×4mm不等边角钢的面积A=4.058×2=8.116cm²

由正应力公式：σ=FNAB/A=60×10³/(8.116×10-4)=73.9×106Pa=73.9MPa<[σ]

所以斜杆AB满足强度条件。

2-17简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：

（1）两杆的夹角；

（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力取节点B为研究对象，由其平衡条件得：Y0

NABsinF0NAB

FsinX0

NABcosNBC0

NBCNABcos

（2）求工作应力F

cosFcotsin2-17ABBC

NABF

AABAABsinNBCFcotABCABC（3）求杆系的总重量。WV(AABlABABClBC)。是重力密度（简称重度，单位：kN/m3）(AABl

ABCl)cos1

l(AABABC)

cosNABFF

[]，AAB

[]sinAABAABsinNBCFcot[]，ABCABCABC

Fcot[]（4）代入题设条件求两杆的夹角条件①：AB

BC

条件⑵：W的总重量为最小。Wl(AABl(

ABC)l(AABABC)coscosF1FcotFl1cos)()[]sincos[][]sincossin2Fl

1cos2sin2



Fl1cos2

sincosdW2Fl

dsin22

从W的表达式可知，W是角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。2cossinsin2(1cos2)cos22

02sin23cos2cos2202sin223cos2cos2203cos21，cos20.3333

2arccos(0.3333)109.47o，54.74o54o44'（5）求两杆横截面面积的比值AAB

FFcot，ABC

[]sin[]

AABABCF

11[]sinFcotsincotcos[]

2因为：3cos21，2cos1

112，cos33

cos

，1

3cos所以：AAB3ABC2-18一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，试选择AC和CD的角钢型号。

解：（1）求支座反力由对称性可知，RARB220kN()

（2）求AC杆和CD杆的轴力以A节点为研究对象，由其平衡条件得：Y0

RANACcos0NAC

RA220

366.667(kN)sin3/5

以C节点为研究对象，由其平衡条件得：X0

NCDNACcos0NCDNACcos

220

4/5293.333(kN)3/5

（3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号AC杆：AAC

NAC366667N222156.86mm21.569cm[]170N/mm22选用2∟807（面积210.8621.72cm）。CD杆：ACD

NCD293333N

1725.488mm217.255cm22[]170N/mm

选用2∟756（面积28.79717.594cm）。22-19一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[]170MPa，材料的弹性模量E210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A。

解：（1）求各杆的轴力NABNCD3.2

300240(kN)40.830060(kN)4

FM

0

NGH33001.5601.201

NGH(45072)174(kN)

Y0

NEF174603000

NEF186(kN)

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号AB杆：AAB

NAB240000N221411.765mm14.12cm[]170N/mm22选用2∟90565（面积27.21214.424cm）。CD杆：ACD

NCD60000N

352.941mm23.529cm22[]170N/mm

2选用2∟40253（面积21.893.78cm）。EF杆：AEF

NEF186000N

1094.118mm210.412cm22[]170N/mm

2选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。GH杆：AGH

NGH174000N

1023.529mm210.353cm22[]170N/mm

选用2∟70455（面积25.60911.218cm）。（3）求点D、C、A处的铅垂位移D、C、A2lABlCDlEFlGH

NABlAB2400003400

2.6942.7(mm)EAAB2100001442.4NCDlCD600001200

0.907(mm)EACD210000378NEFlEF1860002000

1.580(mm)EAEF2100001121.8NGHlGH1740002000

1.477(mm)

EAGH2100001121.8

EG杆的变形协调图如图所示。DlGH1.8

lEFlGH3D1.4771.8



1.5801.4773D1.54(mm)

CDlCD1.540.9072.45(mm)AlAB2.7(mm)

2-10已知混凝土的密度ρ=2.25×103kg/m3，许用压应力[σ]=2MPa。试按强度条件确定图示混凝

土柱所需的横截面面积A1和A2。若混凝土的弹性模量E=20GPa，试求柱顶A的位移。

解：混凝土柱各段轴力分别为：

FN1FgA1x

FN2FgA1l1gA2(xl1)

混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为：

FN1maxFgA1l1FN2maxFg(A1l1A2l2)由强度条件：

FNmax[]AF1000103A1(m2)0.576m263[]gl12102.25109.812

取A1=0.576m²

FgA1l110001032.251039.8120.57622A2(m)0.664m

[]gl221062.251039.812取A2=0.664m²

柱底固定，则柱顶位移值等于柱的伸缩量，可用叠加原理计算

2FNidxFl1gl12(FgA1l1)l2gl2Alli

liEAEA2EEA2Ei121000103122.251039.81212920100.576220109(10002.259.80.57612)103122.251039.812122.242mm9920100.66422010

2-21（1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d125mm和d218mm，钢的许用应力[]170MPa，弹性模量E210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形lAC、lBD及A、B两点的竖向位移A、B。

解：（1）校核钢杆的强度①求轴力NACNBC3

10066.667(kN)4.51.510033.333(kN)4.5

NAC66667N



AAC0.253.14252mm2NBD33333N



ABD0.253.14182mm2②计算工作应力AC

135.882MPa

BD

2-21131.057MPa

③因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即AC[]；BD[]，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。（2）计算lAC、lBDlAC

NAClAC666672500

1.618(mm)EAAC210000490.625

lBD

NBDlBD333332500

1.560(mm)EABD210000254.34

（3）计算A、B两点的竖向位移A、B第三章扭转

3-1一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为

60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

解：kN

3-2量

实心圆轴的直径

。试求：

mm，长

m，其两端所受外力偶矩

，材料的切变模

（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；

（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；（3）C点处的切应变。

max

e。WpWp11

d33.141591003196349(mm3)。3-21616式中，Wp故：maxMe14106Nmm71.302MPa3Wp196349mm

11Tl

，式中，Ipd43.1415910049817469(mm4)。故：3232GIpTl14000Nm1mo0.0178254(rad)1.02GIp80109N/m298174691012m4

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向ABmax71.302MPa，由横截面上切应力分布规律可知：1

CB0.571.30235.66MPa，A、B、C三点的切应力方向如图所示。2

（3）计算C点处的切应变C

C35.66MPa4.45751040.4461033G8010MPa3-3空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。已知间距为l2.7m的两横截面的相对扭转角

1.8o，材料的切变模量G80GPa。试求：

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力11

D4(14)3.141591004(10.54)9203877(mm4)。323211

WpD3(14)3.141591003(10.54)184078(mm3)

1616式中，d/D。Ip



Tl

，GIpT

GIpl1.83.14159/18080000N/mm29203877mm4

2700mm8563014.45Nmm8.563(kNm)

max

T8563014.45Nmm46.518MPaWp184078mm3（2）当轴以n80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率TMe9.549

NkN

9.549k8.563(kNm)n80Nk8.56380/9.54971.74(kW)

3-4某小型水电站的水轮机容量为50kW，转速为300r/min，钢轴直径为75mm，如果在正常运转下

且只考虑扭矩作用，其许用剪应力[τ]=20MPa。试校核轴的强度。

解：

3-5图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[]40MPa，试求：（1）AB轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me左Me右0.20.40.08(kNm)Me主动轮2Me右0.16(kNm)

扭矩图如图所示。由AB轴的强度条件得：3-5max

Me右Wp

16Me右d

33[]

d316Me右[]1680000Nmm21.7mm23.1415940N/mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：Me主动轮0.2



Me从动轮0.35

，Me从动轮

0.35

0.160.28(kNm)0.20

由卷扬机转筒的平衡条件得：P0.25Me从动轮，P0.250.28P0.28/0.251.12(kN)

3-6已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D60mm，内径d50mm，功率P7.355kW，转

速n180r/min，钻杆入土深度l40m，钻杆材料的G80GMPa，许用切应力[]40MPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me9.549

Nk7.355

9.5490.390(kNm)n180设钻杆轴为x轴，则：M

x0，mlMe，m

Me0.390

0.00975(kN/m)l40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核①作钻杆扭矩图T(x)mx

0.39

x0.00975x。x[0,40]40

T(0)0；T(40)Me0.390(kNm)

扭矩图如图所示。②强度校核，max式中，Wp

MeWp1150

D3(14)3.14159603[1()4]21958(mm3)161660

max

Me390000Nmm17.761MPa3Wp21958mm因为max17.761MPa，[]40MPa，即max[]，所以轴的强度足够，不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角

400T(x)dxGIp式中，Ip

1150

D4(14)3.14159604[1()4]658752(mm4)3232603-7图示一等直圆杆，已知，，，。试求：

（1）最大切应力；

（2）截面A相对于截面C的扭转角。

解：（1）由已知得扭矩图（a）

（2）

3-8直径d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me6kNm，而在圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知sAA13mm，圆杆材料的弹性模量E210GPa，试求泊松比（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、间存在如下关系：G

。

2(1)

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：TMe6kNm。设O,O1两截面之间的相对对转角为，则

s

d2s，.2d



Tl2sGIPd

d43.14159504613592(mm4)3232

式中，Ip

Tld6106Nmm1000mm50mmG81487.372MPa81.4874GPa42Ips2613592mm3mm

由G

E210E

得：110.289

2G281.48742(1)

3-9直径d25mm的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当其承受一对扭转外力偶矩Me0.2kNm时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.732o的角度。试求钢材的弹性常数E、G和。

解：（1）求弹性模量El

EANl60000N200mmE216447.8MPa216.448GPa22Al0.253.1425mm0.113mm

d43.1415925438349(mm4)3232Tl

得GIP（2）求剪切弹性模量GIp

由

Tl0.2106Nmm200mmG81684.136MPa81.7GPa

Ip(0.7323.14/180)38349mm4（3）泊松比由G

E216.448E

得：110.325

2G281.6842(1)

3-10长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一

，且

。试求当空心轴与实心轴的最大

样。实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为切应力均达到材料的许用切应力

），扭矩T相等时的重量比和刚度比。

第一种：解：重量比=

因为

即

故

刚度比=

第二种：解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。max

Wp1

D3(14)，故：16

式中，Wp

max,空

D3

16T27.1T

[]

D3(10.84)D33-1027.1T[]（1）求实心圆轴的最大切应力max

d3

116T16TT

d3，故：max,实33[]，式中，Wp16WpddD16TD327.1T[]

，()1.69375，1.192

d[]d[]16T（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空W实0.25(D2d02)lD2D22()(10.8)0.36()0.361.19220.5122dd0.25dl（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比Ip空GIp空GIp实11

D4(10.84)0.01845D4，Ip实d40.03125d432320.01845D4D40.5904()0.59041.19241.1924d0.03125d=

3-11全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为：d

MedxGIP1d432式中，Ip

rr1x

r2r1lr

r2r1dd1d

xr12x1l2l2d2d1xd1ld2r

d4(du

d2d1xd1)4u4ld2d1l

dx，dxduld2d1MedxMe0GIpGl故：

dxMe0IpGl32dx32Me0d4Glldu32Mel1l

du0u4d2d1G(d2d1)0u4ll

ldu32Mel32Mel32Mel1l1[3]043G(d2d1)0uG(d2d1)3u3G(d2d1)d2d1xd1l0321d13d232Meld12d1d2d232Mel32Mel1

=333333G(d2d1)3G(dd)3Gd13d212d2d1d1d2





3-12已知实心圆轴的转速n300r/min，传递的功率p330kW，轴材料的许用切应力

[]60MPa，切变模量G80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。

解：

TlMel1GIPGIp180Nk3301

9.54910.504(kNm)；Ipd4。故：n30032式中，Me9.549

Ip

180Mel180Mel1

d4，G32G32180Mel43218010.504106Nmm2000mm

111.292mm222G3.1480000N/mm

d4取d111.3mm。3-13习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力，切变模量，许可

单位长度扭转角解：由3-1题得：

。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。

故选用。

3-14阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。，，。试校核该轴的强度和刚度。

。已知：

，

外力偶矩

解：扭矩图如图（a）（1）强度

，BC段强度基本满足

故强度满足。（2）刚度

BC段：

BC段刚度基本满足。

AE段：

AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。

3-15有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。

解：

3-16一端固定的圆截面杆AB，承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。

T2(x)dx

解：dV

2GIpm2x2dx16m2x2dx

1d4G42Gd

m2l3m2l3

16GIp46dG323-1616m2l216m2l3Vxdx

d4G03d4G

3-17

簧杆直径mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力mm，材料的切变模量。试求：

作用，弹簧的平均直径为

（1）簧杆内的最大切应力；

（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。

解：，

故

因为

故圈

3-18一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d10mm，材料的许用切应力[]500MPa，切变模量为G，弹簧的有效圈数为n。试求：

（1）弹簧的许可切应力；（2）证明弹簧的伸长

解：（1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离知，在簧杆横截面上：剪力QF扭矩TFR最大扭矩：TmaxFR2体。由平衡条件可16Fn22(RR)(RR)。12124Gd

max'\"

QTmax4F16FR216FR2d(1)[]，233AWpd4R2dd

3.14103mm3500N/mm2[F]957.3N

d10mm

16R2(1)16100mm(1)

4R24100mm

d3[]

因为D/d200/102010，所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力

d3[]3.14103mm3500N/mm2981.25N可以忽略不计。此时[F]

d16100mm

16R2(1)

4R2（2）证明弹簧的伸长

16Fn22(RR)(RR1212)4Gd

1T2(Rd)

外力功：WF，dU

22GIpU

2n0(FR)2(Rd)F2

2GIp2GIp

2n0F23Rd

2GIp

2n0RR1[R12]d2n

34R14F2nR2

4GIpR2R14R141F2nR2WU，F

24GIpR2R14R1416Fn2FnR22(RR12)(R1R2)42GIpR2R1Gd

3-19

求：

图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩。已知材料的切变模量，试

（1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2）横截面矩边中点处的切应力；（3）杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向，，

，

由表得，

，

长边中点处的切应力，在上面，由外指向里（2）计算横截面短边中点处的切应力MPa

短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角3-21图示T形薄壁截面杆的长度l2m，在两端受扭转力矩作用，材料的切变模量G80GPa，杆的横截面上和扭矩为T0.2kNm。试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。

解：（1）求最大切应力max

12hii33i1Tmax30.2106Nmm10mm

25MPa3212010

（2）求单位长度转角121

Ihii31.15212010392000(mm4)

3i13

'tT18000.2103Nm18000'1.56/m921243.14GIi8010N/m9200010m

'3-22示为一闭口薄壁截面杆的横截面，杆在两端承受一外力偶Me。材料的许用切应力

[]60MPa。试求：

（1）按强度条件确定其许可扭转力偶矩[Me]

（2）若在杆上沿母线切开一条纤缝，则其许可扭转力偶矩[Me]将减至多少？

解：（1）确定许可扭转力偶矩[Me]

max

T2A0min

Me[]

2A0minMe2A0min[]Me2A0min[]

A0(3001.52)(1001.52)28809(mm2)

Me22880936010371240(Nmm)10.371(kNm)

[Me]10.37kNm

（2）求开口薄壁时的[Me]

max

Memax[]ItMe[]It/max1

It[(29797)2]337092(mm4)

Me607092/3141840(Nmm)0.142(kNm)[Me]0.142kNm

3-23图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：（1）最大切应力之比；（2）相对扭转角之比。

解：（1）求最大切应力之比开口：max,开口

MeIt依题意：It

2r04a，故：It

2r03r0333

124a32r03r03333

Me3Me3

MeIt4a34a2max,开口

闭口：max,闭口max,开口3Me2a23aMeMe2，2Me22A02amax,闭口4a（3）求相对扭转角之比开口：It

M3Me124a3T'2r03r03，开口e333GItGIt4Ga3MesMe4aMeTs



4GA024GA024Ga4Ga3闭口：闭口

''开口3MeGa33a2'闭口4Ga3Me42第四章弯曲应力

4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。

a（5）=h（4）q0

2aq0a21q3

FS11q0a0aq0a

22411a11

M11q0aq0aq0a

22312

114

FS220,M22q0a2aq02a2aq0a2

233FRAFRB

b（5）=f（4）4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（a）

（b）时

时

（c）

（d）

时，

AB段：

（e）（f）BC段：

（g）AB段内：

BC段内：

（h）AB段内：

BC段内：

CD段内：

4-3试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。

4-4试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-6已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。

4-8试用叠加法作图示各梁的弯矩图。

4-8（b）4-8（c）4-9选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b）4-9（c）4-10一根搁在地基上的梁承受荷载如图a和b所示。假设地基的反力是均匀分布的。试分别求地基反力的集度qR，并作梁的剪力图和弯矩图。

4-13圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆的轴线为圆弧，其半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。

解：（a）

（b）

4-16长度为250mm、截面尺寸为中心角为

的圆弧。已知弹性模量

的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成。试求钢尺横截面上的最大正应力。

解：由中性层的曲率公式及横截面上最大弯曲正应力公式

得：

由几何关系得：

于是钢尺横截面上的最大正应力为：

4-18

4-21

4-23由两根36a号槽钢组成的梁如图所示。已知;F=44kN，q=1kN/m。钢的许用弯曲正应力170Mpa，试校核梁的正应力强度。

4-25

4-28

4-29

4-33

4-36

4-35

第五章

梁弯曲时的位移

5-3

5-7

5-12试按叠加原理并利用附录IV求解习题5-4。

解：

（向下）

（向上）

（逆）

5-12试按叠加原理并利用附录IV求解习题5-5。

解：分析梁的结构形式，而引起BD段变形的外力则如图（a）所示，即弯矩

由附录（Ⅳ）知，跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M作用时，跨中点挠度为的挠度

。用到此处再利用迭加原理得截面C与弯矩。

（向上）

5-12试按叠加原理并利用附录IV求解习题5-10。

解：

5-13试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的。

解：原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。由附录Ⅳ得

5-5(5-18)试按迭加原理求图示梁中间铰C处的挠度EI为常量。

，并描出梁挠曲线的大致形状。已知

解：（a）由图5-18a-1

（b）由图5-18b-1

5-7(5-25)松木桁条的横截面为圆形，跨长为4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为的均布荷载。已知松

木的许用应力，弹性模量。桁条的许可相对挠度为横截面所需的直径。（桁条可视为等直圆木梁计算，直径以跨中为准。）

。试求桁条

解：均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为，根据强度条件有

从满足强度条件，得梁的直径为

对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度为

而相对挠度为

由梁的刚度条件有

为满足梁的刚度条件，梁的直径有

由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于。

5-24图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20m的正方形，

。试求拉杆的伸长

，

及梁中点沿

；钢拉杆的横截面面积

铅垂方向的位移。

解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力

于是拉杆的伸长

为

木梁由于均布荷载产生的跨中挠度为

梁中点的铅垂位移等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移与中点挠度的和，即

第六章简单超静定问题

6-1试作图示等直杆的轴力图。

解：取消A端的多余约束，以形。

代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变

因为固定端不能移动，故变形协调条件为：

故

6-2图示支架承受荷载

，

和

各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为

。试求各杆的轴力。

及

如图所

解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。此时各杆的变形示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。

即：亦即：

将，，代入，得：

即：

亦即：

（1）

此即补充方程。与上述变形对应的内力

如图所示。根据节点A的平衡条件有：

；

亦即：

（2）

；亦即：

，

（3）

联解（1）、（2）、（3）三式得：

（拉）

（压）

6-3一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。解：因为2，4两根支柱对称，所以

，在F力作用下：

变形协调条件：

补充方程：

求解上述三个方程得：

6-4刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水

，两根钢杆的横截面面积

，试求两杆的轴力

平位置，如图所示。如已知和应力。解：

，

（1）

又由变形几何关系得知：

，（2）

联解式（1），（2），得故

，

6-7横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力

，弹性模量

。试求短木柱的许可荷载

。

；木材的许用应力

F，如图所示。已知角钢的许用应力

，弹性模量

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：

由木柱与角钢间的变形相容条件，有

（2）

由物理关系：

（3）

式（3）代入式（2），得

（4）

解得：

代入式（1），得：（2）许可载荷由角钢强度条件

（1）

由木柱强度条件：

故许可载荷为：

6-9分别为

图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离

和

，材料的弹性模量

。已知上、下两段杆的横截面面积。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：变形协调条件

故

故6-10

，

两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积

，线膨胀系数

℃。试求当温度升高

-1

为2A；杆材料的弹性模量为后，该杆各部分产生的应力。解：设轴力为

，总伸长为零，故

℃

6-11图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩

，并作扭矩图。

。若，试求固

定端的支反力偶矩

解：解除B端多余约束，则变形协调条件为

即

故：

即：

解得：由于

故

6-12一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为

；两杆的材料相同，其切变模量为G。

解：解除Ⅱ端约束故变形协调条件为

，则Ⅱ端相对于截面C转了

角，（因为事先将杆B的C端扭了一个角），

故：

故连接处截面C，相对于固定端Ⅱ的扭转角

为：

而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角为：

应变能

6-15试求图示各超静定梁的支反力。

，得补充方程式：

（b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件

因此得支反力：

根据静力平衡，求得支反力

：

剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。

（c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力应用相当系统的位移条件

，得补充方程式：

；

注意到，于是得：

剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。其中：

若截面的弯矩为零，则有：

整理：解得：

或

。

6-21梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度

。

时，试确定梁的约束反力

解：当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。对去掉的约束代之以反力并限定A截面的位移：

，与附录（Ⅳ）得补充式方程如下：

和，

。这样得到原结构的相当系统（图b）。利用位移条件，

（1）

（2）

由式（1）、（2）联解，得：从静力平衡，进而求得反力

是：

第七章应力状态和强度理论

7-1试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

（a）

解：A点处于单向压应力状态。

A

NF2F4F212Add4

A（b）

解：A点处于纯剪切应力状态。

A

TT16T31WPdd316A168106Nmm79.618MPa333.1480mm（c）

解：A点处于纯剪切应力状态。

M

A0

RB1.20.820.40RB1.333(kN)QARB1.333(kN)

A1.5

QA1.51333N40120mm

20.417MPaB点处于平面应力状态

MBy1.3330.3106Nmm30mm

BI2.z1083MPa

401203mm412QS*z1333N(4030)45mm3BI0.zb1312MPa

401203mm440mm（d）

解：A点处于平面应力状态

MA39.3W103NmmA50.064MPa

z13.14203mm332T78W.6103NmmA50.P1064MPa

3.14203mm316

ABBAA7-2有一拉伸试样，横截面为40mm5mm的矩形。在与轴线成450角的面上切应力150MPa时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F。

解：x；y0；x0

45

0xy2F2A

sin900xcos90045

0出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，45

1502A

F300A300N/mm2405mm260000N60kN

7-4一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力为许用拉应力的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？

解：按正应力强度条件求得的荷载以表示：

按切应力强度条件求得的荷载以表示，则

即：

当时，，，

时，，，

时，，时，

，

由、随而变化的曲线图中得出，当时，杆件承受的荷载最大，若按胶合缝的

达到

的同时，

亦达到

的条件计算

则

即：

，

则

。

故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载。

7-6试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：

由应力圆得

7-7各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：

（1）指定截面上的应力；

（2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。[习题7-7（a）]

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）600。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

12025MPa，12026MPa；120MPa，340MPa；000。

0031单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-7（b）]

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6026MPa，6015MPa；130MPa，330MPa；0450。

00单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-7（c）]

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6050MPa，600；250MPa，350MPa。

0032单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-7（d）]

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

4540MPa，4510；141MPa,20MPa，361MPa；039035'。

00单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图7-8各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求：

（1）主应力的数值；

（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向

[习题7-8（a）]

解：坐标面应力：X（130，70）；Y（0，-70）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

1160.5MPa,20MPa，330.5MPa；023056'。

单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-8（b）]

解：坐标面应力：X（-140，-80）；Y（0，80）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表40MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

136.0MPa,20MPa，3176MPa；065.60。

单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-8（c）]

解：坐标面应力：X（-20，-10）；Y（-50，10）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

10MPa,216.25MPa，353.75MPa；016.10。

单元体图应力圆（O.Mohr圆）主单元体图[习题7-8（d）]

解：坐标面应力：X（80，30）；Y（160，-30）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

1170MPa,270MPa，30MPa；071.60。

7-10已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

解：两斜面上的坐标面应力为：A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0），则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等性质，可列以下方程：

(x38)2(028)2(x114)2(048)2解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0）

应力圆的半径：

r(8638)2(028)255.570

主应力为：

1xr8655.57141.57MPa2xr8655.5730.43MPa30

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角）（上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

7-11某点处的应力如图所示，设,及y值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。解：X0

xcossin0

(1)

Y0

ysincos0(1)、（2）联立，可解得x和。

至此，三个面的应力均为已知：X（x，0），Y（y，0）（x，y均为负值）；

(2)

（,）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。

7-12一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。试示mm上a,b,c三点处的主应力。

解：（1）求a点的主应力

IzWz

1311

bh1202203110200333146666.7(mm4)121212

Iz33146666.7

301333.3336(mm3)ymax110

M1600.4106Nmma212.390MPa3Wz301333.3336mm因a点处于单向拉伸状态，故1212.39MPa，230。（2）求b点的主应力

My1600.4106Nmm100mmb193.081MPa3Iz33146666.7mm

在mm的左邻截面上，Q160kN

*QSz160103N(12010)105mm3b60.821MPa

Izd33146666.7mm410mm

即坐标面应力为X（193.081,60.821）,Y(0,-60.821).

1

zy2

12(xy)24x2

193.0811

193.0812460.8212210.64MPa22203

zy2



12(xy)24x2193.0811

193.0812460.821217.56MPa22

（3）求c点的主应力

c0

*QSz160103N(120101051010050)mm3c84.956MPa4Izd33146666.7mm10mm即坐标面应力为X（0,84.956）,Y(0,-84.956).

1

zy2

12(xy)24x2

484.956284.956MPa2203

zy2



12(xy)24x2



484.956284.956MPa2

7-13在一块钢板上先画上直径的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性常数E=206GPa，=0.28。

解：

所画的圆变成椭圆，其中

（长轴）（短轴）

7-14

单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

轴得圆心C（50，0）

解：（a）由xy平面内应力值作a，b点，连接ab交应力圆半径

故

（b）由xz平面内应力作a，b点，连接ab交轴于C点，OC=30，故应力圆半径

则：

（c）由图7-15（c）yz平面内应力值作a，b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

7-15已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。

[习题7-15(a)]

解：该点处于三向应力状态：170MPa，250MPa，310MPa。A点所代表的截面平行于1的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。

2A13[习题7-15(b)]

解：该点处于三向应力状态：150MPa，210MPa，310MPa。A点所代表的截面平行于3的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。

2A130037-16有一厚度为6mm的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa及55MPa。钢材的弹性常数为E210GPa，0.25。试求钢板厚度的减小值。

0.25

(150MPa55MPa)2.44104解：z(xy)3E21010MPa

钢板厚度的减小值为：

|z|62.441041.464103(mm)

7-17边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。

解：（压）

（1）

（2）

联解式（1），（2）得

（压）

7-18在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力F20kN时，测得试样中段B点处与其轴线成300方向的线应变为3003.25104。已知材料的弹性模量E210GPa，试求泊松比。

解：平面应力状态下的广义虎克定律x有：300

(300600)。钢杆处于单向拉应力状态：E

20103100MPa

201030cos301

(xy)适用于任意两互相垂直的x,y方向，故E

拉杆横截面上的正应力斜截面上的应力

275MPa

260cos6025MPa

由广义虎克定律

30

60E3075253.25104

1210103解得：0.27

7-19D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩

方向的线应变为。

，如图所示。在轴的中部表面

，

A点处，测得与其母线成

，试求扭转力偶矩

。已知材料的弹性常数

解：方向如图

7-20在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上k点处沿450方向的线应变为450。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力偶矩Me。

解：

RA

MeM

（↑）；RBe（↓）ll支座反力：

K截面的弯矩与剪力：

MkRAa

aMeM

；QkRAellK点的正应力与切应力：

0；1.5

Qk3MeA2Al故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

1

zy2



3Me12(xy)24x22Al

203

zy2



3Me12(xy)24x22Al

tan20

2x

xy0450（最大正应力1的方向与x正向的夹角），故451

(13)E

45

03Me3Me13Me[(()](1)E2Al2Al2EAl2EAl4503(1)



2Ebhl

4503(1)

Me

7-21一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的E=210GPa，试问其体积减小多少？

=0.3。

解：体积应变

7-22已知图示单元体材料的弹性常数。试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0）

在XY面内，求出最大与最小应力：

max

zy2

12(xy)24x2maxminmax

70301

(7030)24(40)294.721(MPa)222

12(xy)24x2zy70301

(7030)24(40)25.279(MPa)22故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。单元体的形状改变能密度：

vd

1[(12)2(23)2(31)2]6E10.3

[(94.72150)2(505.279)2(5.27994.721)2]3620010

0.01299979MPa12.99979kNm/m3

7-23图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒，其内径D100mm，壁厚10mm，承受内压力p5MPa，且两端受轴向压力F100kN作用。材料的许用拉应力泊松比0.25。试按第二强度理论校核其强度。解：在内压力作用下，任一点产生的应力为：

pD5100

x25(MPa)（径向）

2210pD'y12.5(MPa)（纵向）

4'但薄壁圆筒除在内压力作用下产生y之外，又在轴向压力

[t]40MPa，

作用下产生压应力：

F100103Pa28.9MPa

3.14A

(12021002)1064\"y在内压力与轴向压力共同作用下，薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力：

125(MPa)2p5(MPa)

'3y\"y12.528.916.4MPa

用第二强度理论校核：

r21(23)250.25(516.4)30.4MPa[t]40MPa故，该薄壁容器满足强度要求。

7-24已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力1650MPa，2700MPa，

3900MPa（参看图7-7）。若钢轨的许用应力[]250MPa。试按第三强度理论与第四强度理论校核其强度。

解：按第三强度校核：

13650(900)250(MPa)[]符合第三强度理论所提出的强度条件，即安全。

[(12)2(23)2(31)2]2

[(650700)2(700900)2(900650)2]2

229.129(MPa)[]250MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

7-25简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为

。试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核

危险截面上的点a的强度。注：通常在计算点a处的应力时近似地按点的位置计算。

解：左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：RARB

(550550408)710(kN)（↑）2

（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

超过的5.3%尚可。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度

超过的3.53%，在工程上是允许的。

7-26受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A（图a）处的应力状态如图b所示。当容器

。已知钢材的弹性模量

。试按第三

承受最大的内压力时，用应变计测得

E=210GPa，泊松比=0.3，许用应力强度理论校核A点的强度。

解：

，

根据第三强度理论：

，

超过的7.64%，不能满足强度要求。

Fd。10

7-27用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且Me

今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆直径d10mm，材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载F和Me。若其许用应力[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F和Me的大小：

Me在k点处产生的切应力为：

max

16MeT16T16Fd8F

3WPdd3d3105d2F在k点处产生的正应力为：F4F2Ad4F8F8F

Y0即：X（2，），（，）22d5d5d

广义虎克定律：

300(300600)



xy2

xy2cos2xsin230

02F2F8F(1543)F00cos60sin6013.967103F(MPa)2222dd5d5d（F以N为单位，d以mm为单位，下同。）

60

02F2F8F(543)F003

cos(120)sin(120)1.22810Fd2d25d25d214.3310514.33102133[13.96710F0.31.22810F]320010

F(13.9670.31.228])20010314.331026.7993105F

F2107.570N2.108kN

MeFd2108N10mm2108Nmm2.108Nm

1010

按第四强度理论校核杆件的强度：

8F82108N

x10.741(MPa)

5d253.14102mm24F42108Nx226.854(MPa)22d3.1410mm

11

xy2



xy4x2226.8541

22

26.85424(10.741)230.622(MPa)

203

26.8541

2226.85424(10.741)23.768(MPa)

1[(12)2(23)2(31)2]2

1[(30.6220)2(03.768)2(3.76830.622)2]232.669(MPa)[]160MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

7-28设有单元体如图所示，已知材料的许用拉应力为[t]60MPa，许用压应力为[c]180MPa。试按莫尔强度理论校核其强度。解：坐标面应力：X（-70，-50），Y（0，50）。

1

xy2

2xy4x221

701

22

7024(50)23561.0326.03(MPa)

701

7024(50)23561.0396.03(MPa)

莫尔强度理论的相当应力：

3

rM1

[t]60

326.03(96.03)58.04(MPa)[c]180因为rM58.04(MPa)，[t]60MPa，即rM[t]，

所以符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。

7-30内径D60mm、壁厚1.5mm、两端封闭的薄壁圆筒，用来做内压力和扭转联合作用的试验。要求内压力引起的最大正应力值等于扭转力偶矩所引起的横截面切应力值的2倍。当内压力

p10MPa时，筒壁的材料出现屈服现象，试求筒壁中的最大切应力及形状改变能密度。已知材

料的E210GPa，0.3。

解：内压力引起的最大正应力：

pD1060x100(MPa)（轴向应力）

441.5

y1200(MPa)（环向应力）

2径向应力z0

依题意：扭矩引起的切应力x为：y2x，x100MPa。主应力：

11

xy2



xy4x221002001

100200241002261.803(MPa)

221002001

10020024100238.197(MPa)2

30

筒壁中的最大切应力：

max

13261.803

130.9015131(MPa)22

形状改变能密度：

vd

1[(12)2(23)2(31)2]6E

10.3222[(261.80338.197)(38.1970)(0261.803)]306.12380897121010

MPa124kNm/m3第八章

组合变形及连接部分的计算

8-114号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m，

，

截面上的最大正应力。

，试求危险

解：危险截面在固定端

==8-2为

受集度为

的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角

；梁的尺寸为

m，

mm，

，如图所示。已知该梁材料的弹性模量mm；许用应力

；许可挠度

。试校核梁的强度和刚度。

解：

，强度安全

，

=刚度安全。

8-3悬臂梁受集中力F作用如图所示。已知横截面的直径D120mm，d30mm，材料的许用应力[]160MPa。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。

解：

FyFcos3000.866F（正y方向↓）Fzqsin3000.5F

（负z方向←）

出现在固定端截面，上侧受拉出现在固定端截面，外侧受拉

MzmazFyl0.866F21.732F(Nm)MymazFzl0.5F2F(Nm)Iz

111D42[d4d2d2](D434d4)64644643.14(120434304)8822419mm46411D42d4(D42d4)6464643.14

(12042304)10094119mm464Iy

MzmaxIy1.732F10094119

tan1.9816577

MymaxIzF8822419

arctan1.981657763.223063013'，即：中性轴是过大圆的圆心，与y轴的正向成63013'的

一条直线（分布在二、四象限）。

MmaxMzmaxMymax3F2F22FWz

Iz8822419

147040(mm3)D/260Mmax2F103Nmm160MPa3Wz147040mm

22（沿F作用线方向）

maxF11763N11.763kN[F]11.763kN

8-4图示一楼梯木料梁的长度l4m，截面为0.2m0.1m的矩形，受均布荷载作用，q2kN/m。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。

解：以A为坐标原点，AB方向为x轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为y轴的正向。

qxqsin3002qyqcos3002

1(kN/m)233(kN/m)2（负x方向：↙）（正y方向：↘）

A、B支座的反力为：XA4kN，YARB23kNＡＢ杆的轴力：N(x)qx(4x)x4

132xＡＢ杆的弯矩：M(x)23xqyx223x

22xNM0-401-32.5982-23.4643-12.598400AB杆的轴力图与弯矩图如图所示。

M(x)N(x)(3.464x0.866x2)kNm(4x)kN

t(x)

1WzA0.10.2m2230.10.2m61500(3.464x0.866x2)50(4x)5196x1299x220050x1299x25246x200

（kPa)

令

dt(x)

2598x52460，得：当x2.019m时，拉应力取最大值：dx

tmax12992.019252462.0192005096.5(kPa)5.097MPa

M(x)N(x)(3.464x0.866x2)kNm(4x)kN

c(x)

1WzA0.10.2m2230.10.2m61500(3.464x0.866x2)50(4x)5196x1299x220050x1299x25146x200

令

dt(x)

2598x51460，得：当x1.981m时，压应力取最大值：dxcmax12991.981251461.9812005296.5(kPa)5.297MPa8-5砖砌烟囱高

m，底截面m-m的外径

m，内径

m，自重

kN，受

的风力作用。试求：

（1）烟囱底截面上的最大压应力；

（2）若烟囱的基础埋深h04m，基础及填土自重按P11000kN计算，土壤的许用压应力[]0.3MPa，圆形基础的直径D应为多大？

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大压应力：

土壤上的最大压应力

=：

即即解得：

8-7T字形截面的悬臂梁，承受与钢轴平行的力F的作用，试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。

解：

固定端为危险截面，其中：轴力

，弯矩

，

，z为形心主轴。

A点拉应力最大

B点压应力最大

因此

8-10图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F137kN，并且与铅垂线成夹角

45.70，浆砌石的密度为2.35103kg/m3，其他尺寸如图所示。试取1m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许用压应力[c]为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。

解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌体的重量：

P1(0.614)m32.359.8kN/m355.272kN1

P2(1.641)m32.359.8kN/m373.696kN

2竖向力分量为：FvP1P2Fcos45.7055.27273.696137cos45.70224.651(kN)

各力对AB截面形心之矩为：

AB之中点离A点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.30.8(m)

P2的偏心距为e2(0.6

1.6

)1.10.0333(m)3Fy的偏心距为e3(2.21cos68.20)1.10.729(m)Fx的力臂为e41.50.51(m)MP1e1P2e2Pye3Pxe455.2720.873.6960.0333137cos45.700.729137sin45.701

70.061(kNm)

砌体墙为压弯构件

A

FvM224.651kN70.061kNm188.966kPa0.189MPa

1AWz2.21m212.22m36FvM224.651kN70.061kNm15.262kPa0.0153MPa21AWz2.21m12.22m36

B

因为|A|[c]，|B|[c]，所以砌体强度足够。8-11试确定图示各截面的截面核心边界。

[习题8-11（a）]

解：惯性矩与惯性半径的计算

IyIz80080033.1454042.9961521010(mm4)

12641

A8008003.145402411094(mm2)

2.9961521010ii7.2882406104(mm2)

A4110942y2zIy截面核心边界点坐标的计算

中性轴编号

ay2iy

iz2①400∞1

②∞-40020

③-400∞3182

④∞40040

中性轴的截距

对应的核心边界上的点核心边界上点

iz2y

ay72882-182

的坐标值（m)

z

2iyaz7288201820-182

[习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

10020035010036.25107(mm4)121211

Iz20010031005031.5625107(mm4)

1212Iy

A1002005010015000(mm2)6.25107i4167(mm2)

A15000

2yIyIz1.5625107i1042(mm2)

A15000

2z截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)

中性轴编号中性轴的截距

ay2iy

iz2①50∞1

②∞-10020

③-50∞321

④∞10040

对应的核心边界上的点核心边界上点的坐标值（m)

iz2y

ay1042-21

z

2iyaz41670420-42

[习题8-11（c）]解：（1）计算惯性矩与惯性半径

半圆的形心在Z轴上，

4R4200zc85(mm)

333.14半圆的面积：

A0.5R20.53.14200262800(mm2)

d4R4半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴yc的惯性1288R44R2R2R48R4()矩：Iy83289C3.14200482004175062987(mm4)

893.14IzCR43.1420046.28108(mm4)88

2iy

IyCA

175062987

2788(mm2)

628006.28108i10000(mm2)

A628002zIzC（2）列表计算截面核心边缘坐标

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b)

中性轴编号中性轴的截距

ay2iy

iz2①100∞1

②∞-8510

③-100∞2100

④∞11530

对应的核心边界上的点核心边界上点的坐标值（m)

iz2y

ay10000-100

z

2iyaz27880330-24

8-12曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径求其主应力及最大切应力。

mm。试画出表示A点处应力状态的单元体，并

解：A点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值

它们在点A分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图8-15a，其中

注：剪力在点A的切应力为零。8-13

铁道路标圆信号板，装在外径

mm的空心圆柱上，所受的最大风载

，

。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。

解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力

空心柱固定端处为危险截面，其弯矩：

扭矩：

第九章压杆稳定

9-2

长5m的10号工字钢，在温度为

时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？

线膨胀系数解：

9-3两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

的算式。

（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳

故面外失稳时最小

=。

9-5图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

9-7如果杆分别由下列材料制成：

（1）比例极限

（2）（3）

，，

，弹性模量，含镍3.5%的镍钢；的松木。

的钢；

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

解：（1）

（2）

（3）

9-8下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力

，试求压杆的许可荷载。

解：

9-9两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm×150mm的正方形，长度用应力

。试求木柱的许可荷载。

m，强度许

解：

由公式（9-12a），

9-11一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长l=6m，压力为450。若材料为Q235钢，强度许用应力

，试求支柱横截面边长a的尺寸。

解：（查表：

，

）

，查表得：

=mm

9-12某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心

。若按两端铰支考虑，试求杆

受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得角钢：

得查表：故

9-14图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为

，试求撑杆所需的直径d。

的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力

解：取I-I以上部分为分离体，由，有

设

，m

则

求出的与所设基本相符，故撑杆直径选用m。

9-15图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知mm；

，

；强度安全因数

mm，mm，

，稳定安全因

数。试确定该结构的许可荷载。

解：（1）杆CD受压力

梁BC中最大弯矩（2）梁BC中

（3）杆CD（由梁力矩平衡得）

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