一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．抛物线y=（﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，3）
B．（2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣3，2）
2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
3．已知反比例函数y=A．m＜2
，当＞0时，y随的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
C．m≤2
D．m≥2
B．m＞2
4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ） A．10°
B．60°
C．90°
D．120°
5．将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ） A．y=5（+2）2+3 C．y=5（+2）2﹣3
B．y=5（﹣2）2+3
D．y=5（﹣2）2﹣3
6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内
血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（ ）
A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳
酸浓度相同
B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L
C．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松 D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（ ） A．①
B．②
C．①②
D．①③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是 ．
10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°= ．
11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于 ．
12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ． 13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 cm．
14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是 cm2． 15．若函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点，则a的取值范围是 ． 16．下面是“作出已知：求作：
．
所在的圆．
所在的圆”的尺规作图过程．
作法：如图， （1）在
上任取三个点D，C，E；
（2）连接DC，EC；
（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O． （4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的请回答：该尺规作图的依据是 ．
所在的圆．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=﹣2的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．
18．（5分）已知二次函数y=2+4+3．
（1）用配方法将y=2+4+3化成y=a（﹣h）2+的形式； （2）在平面直角坐标系Oy中，画出这个二次函数的图象．
19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．
21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交
⊙O于点D，求BD的长．
22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：
（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；
（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）
23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？
24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．
25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为cm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）
小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小海的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表： /cm 0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.00 0 0 1 0 5 0 0 0 9 0 0 0 y/cm 0.00.20.40.70 9 7 0 1.21.21.31.31.31.00.40.00 7 7 6 0 0 9 0 （说明：补全表格时相关数值保留两位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的值的个数是 ．
26．（7分）已知一次函数y1=﹣1，二次函数y2=2﹣m+4（其中m＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：
①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H． （1）求证：∠BCG=∠EBG； （2）若sin∠CAB=
，求
的值．
28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系Oy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．
在平面直角坐标系Oy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（1，y1），且点P在第一象限．
（1）1= （用含a的式子表示）；y1= （用含a的式子表示）； （2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（2，y2）． ①判断y1与2的数量关系，并证明； ②y1+y2的取值范围是： ．
北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．抛物线y=（﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，3）
B．（2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣3，2）
【分析】由于抛物线y=a（﹣h）2+的顶点坐标为（h，），由此即可求解． 【解答】解：∵抛物线y=（﹣2）2+3， ∴顶点坐标为：（2，3）． 故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．
2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（ ）
A．80° B．140° C．20° D．50°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°． 故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．已知反比例函数y=A．m＜2
，当＞0时，y随的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
C．m≤2
D．m≥2
B．m＞2
【分析】先根据反比例函数y=的取值范围即可．
，当＞0时y随的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m
【解答】解：∵反比例函数y=∴m﹣2＜0， ∴m＜2． 故选：A．
，当＞0时y随的增大而增大，
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．
4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（ ） A．10°
B．60°
C．90°
D．120°
【分析】根据弧长的计算公式：l=即可求出圆心角的度数． 【解答】解：根据弧长的公式l=得到：4π=解得n=60°， 故选：B．
，
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入
，
【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．
5．将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（ ） A．y=5（+2）2+3 C．y=5（+2）2﹣3
B．y=5（﹣2）2+3
D．y=5（﹣2）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（﹣2）2；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为： y=5（﹣2）2﹣3． 故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此
题的关键．
6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（ ）
A．120m B．67.5m C．40m D．30m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB． 【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE， ∴
，
∵BE=90m，CE=45m，CD=60m， ∴
，
解得：AB=120， 故选：A．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（ ）
A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳
酸浓度相同
B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/L
C．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松 D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳 【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；
B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；
C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松，正确；
D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误； 故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是
．
【分析】直接利用正切的定义求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴tanB=
==．
故答案为．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义． 10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°= 3【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【解答】解：原式=2×
﹣1+4×
﹣1 ．
=3﹣1，
﹣1．
故答案为：3
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于 4：9 ．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比． 【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3， ∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．
【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： y=2+2 ． 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可． 【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=2+2， 故答案为：y=2+2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 3 cm．
【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长． 【解答】解：连接OA ∵OC⊥AB，弦AB长为8cm， ∴AC=4（cm）． 根据勾股定理，得 OC=
=3（cm）．
故答案为3．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．
14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是 36π cm2． 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：这个扇形的面积=故答案为：36π
【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．
15．若函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点，则a的取值范围是 a＜且a≠0 ． 【分析】根据函数与轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点， ∴方程a2+3+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0， 解得：a＜且a≠0， 故答案为：a＜且a≠0．
【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键． 16．下面是“作出已知：求作：
．
所在的圆．
所在的圆”的尺规作图过程．
=36 πcm2．
作法：如图， （1）在
上任取三个点D，C，E；
（2）连接DC，EC；
（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O． （4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的
所在的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上 ．
【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．
【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O． ∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．
【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．
三、解答题（本题共68分）
17．（5分）如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=﹣2的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．
【分析】把A的坐标代入y=﹣2，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2的图象上， ∴n=（﹣2）×（﹣1）=2， ∴点A的坐标为（﹣1，2），
∵点A在反比例函数y=的图象上， ∴=（﹣1）×2=﹣2．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 18．（5分）已知二次函数y=2+4+3．
（1）用配方法将y=2+4+3化成y=a（﹣h）2+的形式； （2）在平面直角坐标系Oy中，画出这个二次函数的图象．
【分析】（1）利用配方法易得y=（+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线=﹣2；
（2）利用描点法画二次函数图象； 【解答】解：（1）y=（2+4）+3 =（2+4+4﹣4）+3 =（=2）2﹣1； （2）如图：
【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=a2+b+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（﹣h）2+（a，h，是常数，a≠0），其中（h，）为顶点坐标，该形式的优势是能
直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，）；交点式：y=a（﹣1）（﹣2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标（1，0），（2，0）．也考查了二次函数图象与性质．
19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB； 【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=∴
，
，
∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．
【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．
∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， BC=2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB=，
=4
，
∴BD=ABcos30°=8×∴BC=8
．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可； 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴
=
．
∴AD=BD，
在等腰直角三角形ADB中， BD=ABsin45°=5×
=
，
∴BD=．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．
22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：
（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9
米；
（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）
【分析】设CD=，在Rt△CDB中，CD=BD=，在Rt△CDA中tan∠CAD=可得AD=AB+BD，进而可得9+=
，再解即可．
，根据图中的线段关系
【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D， ∠ECB=∠CBD=45°， ∠ECA=∠CAD=35°， AB=9． 设CD=，
∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°， ∴CD=BD=，
∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°， ∴tan∠CAD=∴AD=
， ，
∵AB=9，AD=AB+BD， ∴9+=
，
解得 =21，
答：CD的长为21米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？
【分析】设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米，由题意得出y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米， 以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．
根据题意，y与之间的函数表达式为y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2， 因为2＞0
于是，当=1时，y有最小值，
所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向． ①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．
24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．
【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；
（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可． 【解答】解：（1）∵AB是半圆直径， ∴∠BDA=90°， ∴∠B+∠DAB=90°， 又∵∠DAC=∠B， ∴∠DAC+∠DAB=90°， 即∠CAB=90°， ∴AC是半圆O的切线．
（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°， ∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°， ∴OE⊥AD，
∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3， 又∵AD=6 ∴AF=3． 又∵∠B=∠DAE， ∴△AEF∽△BAD， ∴∴
=
，而EF=4， ，
解得BD=．
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为cm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）
小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小海的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表： /cm 0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.00 0 0 1 0 5 0 0 0 9 0 0 0 y/cm 0.00.20.40.70 9 7 0 1.21.21.31.31.31.00.40.00 7 7 6 0 0 9 0 （说明：补全表格时相关数值保留两位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的值的个数是 2个 ．
【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题； （2）利用描点法，画出函数图象即可；
（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．
【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得=2.00cm时，y=0.91cm；
（2）利用描点法，图象如图所示．
（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的值的个数是2个．
故答案为2个．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．
26．（7分）已知一次函数y1=﹣1，二次函数y2=2﹣m+4（其中m＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：
①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；
（2）①把m=5代入y2，画图象，并求与轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论； ②根据题意结合图象可知=3，把=3代入y2=2﹣m+4≤0，当=4时，y2=2﹣m+4＞0即可求得m的取值；
【解答】解：（1）∵y2=2﹣m+4=（﹣）2﹣∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣
+4， +4）…
（2）①当m=5时，y1=﹣1，y2=2﹣5+4．…（4分） 如图，当y1=0时， ﹣1=0，=2， ∵A（2，0），
当y2=0时，2﹣5+4=0， 解得：=1或4，
∴B（1，0），C（4，0），
因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜≤4． …（5分） ②当y1＞0时，自变量的取值范围：＞2，
∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量的取值范围内恰有一个整数， ∴=3，
当=3时，y2=32﹣3m+4≤0， 解得m≥
，
当=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5， ∴m的取值范围是：
≤m＜5． …（7分）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．
27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H． （1）求证：∠BCG=∠EBG； （2）若sin∠CAB=
，求
的值．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可； （2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得【解答】证明：（1） ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵CG⊥AB于点G， ∴∠ACB=∠CGB=90°． ∴∠CAB=∠BCG， ∵CE∥AB， ∴∠CAB=∠ACE． ∴∠BCG=∠ACE 又∵∠ACE=∠EBG
的值．
∴∠BCG=∠EBG， （2）∵sin∠CAB=∴
，
，
由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB ∴在Rt△HGB中，由（1）知，∠BCG=∠CAB 在Rt△BCG中，
． ．
设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a， ∵EC∥AB，
∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH ∴△ECH∽△BGH， ∴
．
【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用． 28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系Oy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．
在平面直角坐标系Oy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（1，y1），且点P在第一象限．
（1）1= cosα （用含a的式子表示）；y1= sinα （用含a的式子表示）； （2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（2，y2）． ①判断y1与2的数量关系，并证明； ②y1+y2的取值范围是： 1＜y1+y2≤
． ．
【分析】（1）如图作PF⊥轴于F，QE⊥轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；
（2）①过点P作PF⊥轴于点F，过点Q作QE⊥轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；
②当P在轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=
，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=
时，得到y1+y2的最大值为
；
【解答】解：（1）如图作PF⊥轴于F，QE⊥轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα， ∴1=cosα，y1=sinα， 故答案为cosα，sinα； （2）①结论：y1=﹣2．
理由：过点P作PF⊥轴于点F，过点Q作QE⊥轴于点E． ∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，
∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠QOE=90°， ∴∠QOE=∠OPF， ∵OQ=OP， ∴△QOE≌△OPF， ∴PF=OE，
∵P（1，y1），Q（2，y2）， ∴PF=y1，OE=﹣2， ∴y1=﹣2
②当P在轴上时，得到y1+y2的最小值为1， ∵y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF， ∵四边形QEFP是直角梯形，PQ=∴当EF=PQ=
，EF≤PQ，
，
时，得到y1+y2的最大值为
∴1＜y1+y2≤．
．
故答案为1＜y1+y2≤
【点评】本题考查圆综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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