浅谈函数奇偶性的判别方法

浅谈函数奇偶性的判别方法

摘 要：判定函数f(x)的奇偶性一般采用定义判定，但使用该法判定一些较复杂函数奇偶性则易出错，为此应向学生介绍定理。

关键词：解题教学；函数；中学数学教学

一般的，判定函数f(x)的奇偶性都采用定义判定。这种方法，对判定一些简单函数的奇偶性是非常有效的，但对一些较复杂的函数奇偶性判定就易出错。如在解下例时，就有学生这样做：

判定函数的奇偶性。

解：

错了！其实f(x)是偶函数，因为：

学生出错的原因就是由于没有掌握⑴（2）（3）这三步的技巧变形，致使变形不恰当而造成判断失误。类似这样的错误，在学生中常常出现，学生为此也感到困惑，不知道怎样变形才恰到好处，尤其是在变形中要涉及到技巧问题，往往就更难把握好。

判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性不强，没有固定的变形方法，学生对自己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形中出了问题或变形不恰当，尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此。

定理 ：设f(x)的定义域为A,方程f(-x)=f(x)(或f(-x)= -f(x))的解集为N,则f(x)为偶函数（或奇函数）的充要条件是A=N。

证明：充分性：

由定理可知，判断函数的奇偶性，只需要判定方程f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))的解集与函数f(x)的定义域是是否相等即可，这样，用本定理判定函数的奇偶性，就不会涉及到技巧变形。如前例用定理判定就可以这样进行：

解：

从上看出：用定理判定函数的奇偶性，不但不涉及技巧变形，而且思路清晰，目的十分明确，可行性强，有章可循，学生易掌握。因此，有必要向学生介绍定理。为了进一步说明本定理的优越性，特举两例供同行们比较。

判断下列函数的奇偶性：

f(x)=

f(x)=

解：(1)f(x)的定义域是一切实数，即A=R,由方程f(-x)=f(x)得

故方程f(-x)=f(x)的解集N={0}.

由AN知f(x)不是偶函数，又由方程f(-x)=-f(x),得

方程 f(-x)= -f(x)的解集N=R。

由A=N知f(x)为奇函数。

（2）f(x)的定义域是一切实数，即A=R，由方程f(-x)=f(x)得

综合知f(x)是非奇非偶函数。

讨论函数f(x)=

解：f(x)的定义域A={x|cx-d,xR}