浅谈函数奇偶性的判别方法

摘 要：判定函数f(x)的奇偶性一般采用定义判定，但使用该法判定一些较复杂函数奇偶性则易出错，为此应向学生介绍定理。 关键词：解题教学；函数；中学数学教学

一般的，判定函数f(x)的奇偶性都采用定义判定。这种方法，对判定一些简单函数的奇偶性是非常有效的，但对一些较复杂的函数奇偶性判定就易出错。如在解下例时，就有学生这样做：

11)(a0)的奇偶性。 判定函数f(x)x(xa12

11解： f(x)的定义域是Ax|xR且x0，又f-xxxa12

11 xfxfx，故fx是非奇非偶函数。，x1a2 错了！其实f(x)是偶函数，因为：

ax111fxxxxx21aa12ax111xx2a111xxa12f(x)(2)(3)(1)

学生出错的原因就是由于没有掌握⑴（2）（3）这三步的技巧变形，致使变形不恰当而造成判断失误。类似这样的错误，在学生中常常出现，学生为此也感到困惑，不知道怎样变形才恰到好处，尤其是在变形中要涉及到技巧问题，往往就更难把握好。

判断函数的奇偶性是在未知其结果的情况下进行的，因而用定义判定时，变形的目的性不强，没有固定的变形方法，学生对自己所得结果也就半信半疑，不敢定论，怕在变形中出了问题或变形不恰当，尤其是遇到一个非奇非偶函数的判定更是如此。

定理 ：设f(x)的定义域为A,方程f(-x)=f(x)(或f(-x)= -f(x))的解集为N,则f(x)为偶函数（或奇函数）的充要条件是A=N。

证明：充分AN性： 任意x0A,则x0N,即fx0fx0(或fx0fx0)，

fx是偶函数（或奇函数）

必要性：fx为偶函数（或奇函数） 对任意xA,有fxfx(或fxfx),00000

xN,故AN,又显然NA f0x的定义域是A{x|xR且x0},由方程f(x)f(x)得方程 AN.1111由xxxx.定理可知，判断函数的奇偶性，只需要判定方

a12a12f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))的解集与函数程

x0,上述方程可化为：

11111axx，即x1 1恒成立，xa12a12a1方程f(x)f(x)的解集是N{x|xR且x0}由AN知f(x)是偶函数。f(x)的定义域是是否相等即可，这样，用本定理判定函数的奇偶性，就不会涉及到技巧变形。如前例用定理判定就可以这样进行：

解：

从上看出：用定理判定函数的奇偶性，不但不涉及技巧变形，而且思路清晰，目的十分明确，可行性强，有章可循，学生易掌握。因此，有必要向学生介绍定理。为了进一步说明本定理的优越性，特举两例供同行们比较。 判断下列函数的奇偶性：

（1） f(x)=loga(x21x)(a0，a1)

1sinxcosx

2sinxcosx解：(1)f(x)的定义域是一切实数，即A=R,由方程f(-x)=f(x)得

（2） f(x)=

loga((x)21x)loga(x21x),即-x=x

故方程f(-x)=f(x)的解集N={0}.

由AN知f(x)不是偶函数，又由方程f(-x)=-f(x),得

loga((x)21x)loga(x21x)，即x21x1x21x，化简得x21x21.方程 f(-x)= -f(x)的解集N=R。 由A=N知f(x)为奇函数。

（2）f(x)的定义域是一切实数，即A=R，由方程f(-x)=f(x)得 1sin(x)cos(x)1sinxcosx1，即sinx0或cosx，2sin(x)cos(x)2sinxcosx21方程f(x)f(x)的解集是N{x|sinx0或cosx}2 由NR得知f(x)不是偶函数，同样由方程f(-x)=-f(x)得其解集是N={x|cosx=-1}.由NR知f(x)不是奇函数，综合知f(x)是非奇非偶函数。

axb(adbc，c0)的奇偶性. 例2 讨论函数f(x)=

cxd解：f(x)的定义域A={x|cx-d,xR}

2

当d0时，f(x)的定义域不是关于原点o对称的区间，所以f(x)是非奇非偶函数；-ax+baxb，-cxcx即axbaxb，（x0)，b=0,当d=0时，由方程f(-x)=f(x)得这与bcad矛盾。故f(-x)=f(x)无解。-ax+baxb由方程f(-x)=-f(x)得=-，即-ax+b=ax+b(x0),-cxcxax=0(x0).(1)当a0时，ax=0无解，即f(-x)=-f(x)无解；(2)当a=0时ax=0的解集N={x|xR且x0}，又N{x|xR且x0}，由AN知f(x)为奇函数。综合上述可知：当d=a=0时，f(x)为奇函数，其他情况为非奇非偶函数。由上两例可知，用本定理判定函数的奇偶性不失为一种好方法。

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