高中数学选修2-2测试题

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1、 曲线yx2在(1,1)处的切线方程是（ ）

A. 2xy30 B. 2xy30 C. 2xy10 D. 2xy10 2、定义运算

a b1 1adbc，则符合条件42i的复数z为（ ）

c dz ziＡ．3i Ｂ．13i Ｃ．3i Ｄ．13i

3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A． 假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

4、观察按下列顺序排列的等式：9011，91211，92321，93431，„，猜想第n(nN*)个等式应为（ ）

Ａ．9(n1)n10n9 Ｃ．9n(n1)10n1

Ｂ．9(n1)n10n9

Ｄ．9(n1)(n1)10n10

5、曲线ycosx0≤x≤Ａ．4

Ｂ．2

3π3πx与轴以及直线所围图形的面积为（ ） x22Ｃ．

5 2Ｄ．3

6、平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）

Ａ．

3a，类比上述命题，棱24a 3Ｂ．6a 3Ｃ．5a 4Ｄ．6a 47、复数z=

5,则z是（ ） 34i C．1 D．7

A．25 B．5

8、如图是导函数yf/(x)的图象，那么函数yf(x)在下面哪个区间是减函数

A. (x1,x3) B. (x2,x4) C.(x4,x6) D.(x5,x6)

9、设S(n)Ａ．

1 2111112(nN*)，当n2时，S(2)（ ） nn1n2n3n111111111 Ｂ． Ｃ． Ｄ．

23234234510、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，

则克服弹力所做的功为（ ）

(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13、

10(1(x1)22x)dx 4

5

6

12

14、设Z1= i + i+ i+…+ i

,Z2= i4 · i5·i6·…· i12，则Z1 ，Z2关系为 323]上有最小值3，那么在[3，3]上f(x)的最大15．已知f(x)x3xa（a为常数），在[3，值是

16．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、F(x)x0(t22t8)dt(x0)．

，3]上的最值． （1）求F(x)的单调区间；（2）求函数F(x)在[1

18．已知a，b是正实数，求证：

19、设函数f(x)xekx(k0)

abbaab

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

20、已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)． （1） 计算a1，a2，a3，a4；

（2） 猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

答题卷

班级 姓名 学号

一、选择题（每题5分，共60分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分

二、填空题（每题5分，共20分）

13、 14、 15、 16、

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、 18、 19、

20、

参考答案

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 评卷人 D A Ｂ B D B B C D B C D

13、

1 14、Z1=Z2 15、57 16、 91 417、（本小题10分）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为12i、26i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z． 解：设zxyi(x，yR)．

由OA∥BC，OCAB，得kOAkBC，zCzBzA，

2y61x2，即 x2y23242，OABC，x3，y4舍去．

z5．

18、（本小题12分） F(x)（1）求F(x)的单调区间；

x0(t22t8)dt(x0)．

，3]上的最值． （2）求函数F(x)在[1解：依题意得，F(x)2132x1322)． (t2t8)dttt8t0xx8x，定义域是(0，033x（1）F(x)x2x8, 令F(x)0，得x2或x4， 令F(x)0，得4x2，

)， 由于定义域是(0，)，单调递减区间是(0，2)． 函数的单调增区间是(2，（2）令F(x)0，得x2(x4舍)， 由于F(1)2028，F(2)，F(3)6， 3328． 3F(x)在[1，3]上的最大值是F(3)6，最小值是F(2)19．（本小题12分）设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2． （1）求yf(x)的表达式；

（2）若直线xt(0t1)把yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值． 解：（1）设f(x)ax2bxc(a0)， 则f(x)2axb．

由已知f(x)2x2，得a1，b2．

f(x)x22xc．

又方程x2xc0有两个相等的实数根，

244c0，即c1．

故f(x)x22x1； （2）依题意，得

t1(x22x1)dx(x22x1)dx，

t01x3x2x332t11x3x2x30t，

3整理，得2t6t6t10，即2(t1)10，

t11． 32 20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间定价多少时，宾馆利润最大？ 解：设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润

L(x)=(50=x180)(x20) 1012x70x1360,180x680. 101'令L(x)x700,解得x350.

5当x(180,350)时，L(x)0, 当x(180,680)时L(x)0

''因此, x350时是函数L(x)的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、（本小题满分12分） 证明：要证

abbaab，

只需证aabbab(ab)

ab(ab)

即证(abab)(ab)即证ababab

即证ab2ab，即(ab)20 该式显然成立，所以

abbaab

22、（本小题12分）已知数列an的前n项和Sn1nan(nN*)． （1）计算a1，a2，a3，a4；

（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解：（1）依题设可得a1（2）猜想：an11111111，a2，a3，a4； 212623123420451．

n(n1)证明：①当n1时，猜想显然成立． ②假设nk(kN)时，猜想成立， 即ak*1．

k(k1)那么，当nk1时，Sk11(k1)ak1， 即Skak11(k1)ak1． 又Sk1kak所以

k， k1kak11(k1)ak1， k1从而ak111． (k1)(k2)(k1)[(k1)1]即nk1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立． 19.

设函数f(x)xekx(k0)

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.

解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力． （Ⅰ）f'x1kxekx,f'01,f00,

曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为yx. （Ⅱ）由f'x1kxekx0，得x 若k0，则当x,1k0， k1'时，fx0，函数fx单调递减， k当x1,,时，f'x0，函数fx单调递增， k1'时，fx0，函数fx单调递增， k 若k0，则当x, 当x1,,时，f'x0，函数fx单调递减， k11， k（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k0，则当且仅当即k1时，函数fx1,1内单调递增， 若k0，则当且仅当11， k即k1时，函数fx1,1内单调递增，

综上可知，函数fx1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1.