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用假设法解决问题(一)

2021-05-18 来源:步旅网


用假设法解决问题(一)①

河北省平乡县大刘庄小学 李明亮

先举一个简单的例子:甲班有学生45人,乙班比甲班多3人。两班共有学生多少人?

解此题的一般方法是,先求出乙班人数,再求学生总数。如果列式为45×2+3就是用了假设法——假设乙班也是45人,则两班共有45×2=90(人)。但乙班实际人数比45人多3人,所以两班的实际总人数比90人多3人。

有些数学题的数量关系不明显,不容易找到解题的方法。如果我们做一些适当、合理的假设,就有可能使数量关系明显,从而找到解题的方法。这种解题方法叫做假设法。假设的方法有多种,要灵活运用。

一、把“缺少”的条件假设为已知

例1.甲、乙、丙三人出了同样多的钱在粮店买了若干千克大米。回家后,乙要的大米比甲、丙都少6千克,因此,甲、丙都又退给乙6元钱。每千克大米多少元?、

分析:不知道三人共买了多少千克大米,也不知道三人各要多少千克,求大米的单价似乎很难。但是,我们可以假设大米的数量。

假设乙要了1千克大米,则甲、丙都要了7千克,三人共买了7+7+1=15(千克)每人平均15÷3=5(千克)。在粮店,他们平均出钱,每人出的都是5千克大米的钱。回家后,甲、丙要的大米都比平均数多7-5=2(千克),所以甲或丙退给乙的6元钱就是多要的2千克大米

① 此文原题目为《用假设法解应用题》,初稿完成于

1993年11月,1994年12月第一次修改,1997年8月第二次修改。

1

的价钱。乙要的大米比平均数少5-1=4(千克),所以甲和丙退给他的12元钱就是少要的这4千克大米的价钱。这样,就可求出大米的单价。

解法1.6÷[7-(7+7+1)÷3]=3(元)

解法2.6×2÷[(7+7+1)÷3-1]=3(元)

本题还可以用下面的方法解(这里只画出线段图,分析略)

解法3.6÷(6-6×2÷3)=3(元)

解法4.6×2÷(6×2÷3)=3(元)

例2.小王骑车去火车站。他计划以每小时15千米的速度行驶,这样才能正好赶上火车。可是,前一半路程他骑车的速度是每小时12千米。下一半路程他应该以多快的速度骑行,才能赶上火车?

分析与解答:题中只有两个速度,没有路程怎样计算?可以假设路程。

假设路程是30千米,则小王按计划骑行,需要的时间是30÷15=2(小时)。前一半路程

2

他已经用了30÷2÷12=1.25(小时);下一半路程他应该用的时间是2-1.25=0.75(小时),应该用的骑车速度是每小时30÷2÷0.75=20(千米)。

30÷2÷(30÷15-30÷2÷12)=20(千米)

答:(略)

当然,把路程假设为3千米、6千米、10千米……结果都是一样的。把路程假设为“1”当作工程问题来解,也很简便。

35例3.甲数的5等于乙数的8,甲数比乙数大几分之几?

335分析与解法1.假设甲数是25,则甲数的5是25×5=15。即乙数的8也是15,乙数是15

5÷8=24。

1(25-24)÷24=24

5325解法2.假设乙数是1,则甲数是1×8÷5=24。

251(24-1)÷1=24

353558分析与解法3.假设甲数的5与乙数的8都等于1,则甲数是1÷5=3,乙数是1÷8=5。

3

3881(5-5)÷5=24

例4.一次考试,某班学生的平均分数为87分。其中90%的学生达到了80分,他们的平均分数为89分。80分以下的学生的平均分数是多少?

分析与解答:假设全班有40人,则达到80分的学生数是40×90%=36(人),80分以下的学生数为40-36=4(人)。

全班学生总分为87×40=3480(分);达到80分的学生总分为89×36=3204(分);80分以下的学生的总分为3480-3204=276(分),平均分是276÷4=69(分)。

综合算式:(87×40-89×40×90%)÷(40-40×90%)=69(分)

注:如果假设全班有4人,则解法更简便。

这类问题,似乎都缺少一个重要条件,但问题的答案却与这个“重要条件”无关。所以,无论把这个“重要条件”假设为多少,都不影响计算结果,但假设的数据应便于计算。

类似问题;

11.甲乙二人走同一段路,甲所用的时间比乙短11,甲的速度比乙快几分之几?

12.一艘轮船停靠在码头,计划12小时把货卸完。实际卸货的速度提高了5。实际几小时可

以卸完?

4

3.植树节这天,同学们去种树,平均每人应该种2棵。如果只让男同学去种,平均每人应该种3棵。如果只让女同学去种,平均每人应该种几棵?

二、把一般条件假设为特殊条件

例5.一个正方形的面积是20平方分米。在这个正方形内画一个最大的圆,求这个圆的面积。

分析:求圆的面积,一般要先求出圆的半径。在本题中,如果知道了正方形的边长,就可求出圆的半径,但题中只给了正方形的面积。根据正方形的面积求边长,要用开方。对于小学生来说,只有正方形的面积是4、9、16、25……时,才有可能推想出它的边长。用小学知识能不能解这道题呢?

解法1.假设这个正方形的面积是25平方分米,则它的边长是5分米。所以,假设的这个正方形内的最大的圆的直径是5分米,面积是

5(2)2×3.14=19.625(平方分米)

20而原正方形面积是假设的这个正方形面积的25,所求的圆的面积也应该是假设的这个圆面积20的25。

2019.625×25=15.7(平方分米)

解法2.假设正方形的边长是20分米,则它里面最大的圆的直径也是20分米,面积是

5

20(2)2×3.14=314(平方分米)。把面积20平方分米的正方形假设为边长20分米,面积就扩大

了20倍,它里面最大的圆的面积也就扩大了20倍。所以,所求的圆的面积是

314÷20=15.7(平方分米)

注:此题不用假设法也可以解。如图,把正方形平均分成4个小正方形,

每个小正方形的面积都是20÷4=5(平方分米),即r2=5.所以圆的面积是

S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。

类似习题:

1.把一个面积是6.28平方分米的圆形纸片剪成一个最大的正方形。求这个正方形纸片的面积。

2.一个正方体的体积是9立方分米,另一个正方体的棱长是它的2倍。求另一个正方体的体积。

三、把带“铃铛”的分率(倍数)假设为不带“铃铛”

有些问题,给出的两个数量间的倍数关系后面带着具体数量,我们称之为分率(倍数)带“铃铛”。可以假设法(当然,也可以用用画图的方法)把数量进行调整,使分率(倍数)不带“铃铛”。

6

1例6.工人师傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的3多4个,第二天加工了全部零件1的2少1个,还剩16个每加工。这批零件共多少个?

1分析与解答:假设第一天正好完成了全部零件的3,那么剩下的(没加工的)零件就会多14个;假设第二天正好完成了全部零件的2,那么剩下的就会少1个。于是,原题的条件就变11成了“第一天加工了全部零件的3,第二天加工了全部零件的2,还剩(16+44-1)个没加

工”。

11(16+4-1)÷(1―3―2)=114(个)

答:(略)

例7.甲、乙、丙.丁四个数的和是202,乙数比甲数多1,丙数比甲数的2倍少2,丁数

1比甲数的一半多2.求这四个数。

分析与解:假设乙数等于甲数,丙数正好是甲数的2倍,丁数正好是甲数的一半,则四个

1数的和将是(202-1+2―2)。由此可求出甲数,进而求出另外三数。

11甲数 (202-1+2―2)÷(1+1+2+2)=45

乙数 45+1=46

7

丙数 45×2-2=88

11丁数 45÷(1+1+2+2)+2=23

例8.学校买来三种新书共100本,其中文艺书是科技书的3倍,画册比科技书的一半少8本。这三种书各买来多少本?

1解(分析略):(100+8)÷(3+1+2)=24(本) (科技书)

24×3=72(本) (文艺书)

24÷2-8=4(本) (画册)

解法2(分析略):(100+8)÷(2+1+2×3)=4(本) (画册)

(4+8)×2=24(本) (文艺书)

24×3=72(本) (文艺书)

例9.水果店有535千克橘子,第一天卖出8筐又17千克,第二天卖出5筐又11千克,还剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天卖出多少千克?

解(分析略):每筐橘子有多重?

(535―195―17―11)÷(8+5)=24(千克)

8

第一天卖出多少千克?

24×8+17=209(千克)

类似习题:

1.师徒二人加工一批零件。徒弟加工了92个,超额15%完成了自己的任务。他的任务比

3师傅任务的4多32个。师傅加工零件的任务是多少个?

2.车站仓库里原有煤若干吨。第一次运出的比存煤的一半少350吨,第二次运出现有煤的一半有50吨,结果还剩500吨。仓库里原有煤多少吨?

3.小明有人民币若干元。买书用去其中的一半又5角,买文具用去剩下的一半又5角,买本又用去第二次剩下的一半又5角,最后还剩5角。小明原有多少元?

四、虚构、改编情节

例10.一个班有48人。班主任在班会上问:谁做完语文作业?请举手。有37人举手。又问:谁做完数学作业?请举手。有42人举手。最后问:谁语文、数学作业都没做完?没有人举手。你想想看:这个班语文、数学作业都做完的有多少人?

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分析与解法1.全班做完语文数学作业的分别有37人和42人,没有两种作业都没做完的。假设全班学生都正好做完了一种作业,那么全班应该有79人(37+42=79)。但实际上全班只有48人,假设的人数比实际人数多31人(79-48=31)。为什么会多出31人?是因为这31人都举了两次手。

37+42-48=31(人)

分析与解法2.已知有37人做完了语文作业。假设全班48人都做完了数学作业,那么做完语文作业的37人就是两种作业都做完的人数。但是,实际做完数学作业的只有42人,比假设的48人少6人。所以,两种作业都做完的也应该比37人少6人。

37―(48―37)=31(人)

分析与解法3.有37人做完了语文作业。假设全班48人都正好做完了一种作业,没有人做完两种作业,则做完数学作业的应该是11人(48-37=11)。但实际做完数学作业的有42人,比假设的11人多31人(42-11=31)。这31人既做完了数学作业,又做完了语文作业。

42―(48―37)=31(人)

分析4. 假设班主任不是让学生举手,而是让做完作业的学生交作业本——把语文、数学作业本各摆一行,并且同一学生的两个作业本的两个作业本上下对齐摆放(如下图)。

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这样,只要数一数作业本数,就可以知道做完作业的人数。但是,两种作业的总本数比全班人数多,因为两种作业都做完的学生都交了两个本。如果再让全班每个学生都拿回去一个本(共拿回去48本),就只剩下两种作业都做完的人的作业本了(两种作业都做完的人,每人剩一本摆在那里)。这样就可得到解法1。

从上图中也可以得到解法2、解法3,还可以得到解法4。

解法4. 48―(48―37)―(48―37)=31(人)

注:上面的四种解法都可以用其他思考方法得到。

例11.一人骑摩托车从A城去B城。若以每小时30千米的速度行驶,他将迟到2小时;若以每小时48千米的速度行驶,他将早到1小时。AB两城相距多少千米?要准时到达,每小时该行多少千米?

分析1.从A城出发,以每小时30千米的速度行驶,要迟到2小时,即到既定时刻离B城还有60千米的路程(30×2=60);以每小时48千米的速度行驶,将早到1小时。假设他以每小时48千米的速度行驶到B城后没有停下,而是又向前行了1小时,到既定时刻才停下。

用相同的时间,用两种速度行驶的路程相差108千米(60+48=108)。由此可求出行驶的时间,进而就可求出两地距离和应有的速度。

11

解法1.①从出发到既定时刻是几小时?

(30×2+48×1)÷(48-30)=6(小时)

②AB两城相距多少千米?

30×(6+2)=240(千米)或48×(6-1)=240(千米)

③要准时到达,每小时该行多少千米?

240÷6=40(千米)

分析2.假设有两个人分别以每小时30千米和每小时48千米的速度,同时从A城出发驶向B城。当快车提前1小时到达B城时,慢车距B城还有2+1=3小时的路程,即快车比慢车多行了30×3=90千米。由此可求出快车到达B城所用的时间。

解法2. ①每小时行驶48千米,几小时可到达?

30×(2+1)÷(48-30)=5(小时)

②AB两城相距多少千米?

48×5=240(千米)

③要准时到达,每小时该行多少千米?

12

240÷(5+1)=40(千米)

解法3(分析略).①每小时行驶30千米,几小时可到达?

48×(2+1)÷(48-30)=8(小时)

②AB两城相距多少千米?

30×8=240(千米)

③要准时到达,每小时该行多少千米?

240÷(8-2)=40(千米)

例12.一项工作,甲单独做40天可以完成,乙单独做60天可以完成。二人合作,甲因病休息了几天,他们共用了27天才完成。问:甲中途休息了几天?

111分析:甲乙合作,每天可完成这项工作的40+60=24.假设甲中途没有休息,甲乙合作271911天,可完成这项工作的24×27=8,超过任务的8。甲几天可以完成这项工作的8呢?

111解:[(40+60) ×27-1]÷40=5(天)

答:(略)。

本题的另外几种解法:

13

271(1)27―(1―60)÷40=5(天)

40(2)把甲的工效设为“1”:27―(1×40―60×27)÷1=5(天)

60(3)把乙的工效设为“1”: 27―(1×60―1×27)÷40=5(天)

40(4)[(1+60)×27―1×40]÷1=5(天)

6060(5) [(1+40)×27―1×60]÷40=5(天)

11例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的4和大米的3,一共用去48千克。

面粉和大米原来各有多少千克?

11分析1.一天用去了面粉的4和大米的3(共48千克)。假设连用3天,则大米将正好用完,11面粉应该还剩1―4×3=4。连用3天,共用去面粉和大米48×3=144(千克)。还剩168―1144=24(千克)。这24千克都是面粉(是原来面粉重量的4)。

1解法1.(168―48×3)÷(1―4×3)=96(千克) (面粉)

168―96=72(千克) (大米)

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11分析2. 假设连用4天,则面粉将正好用完,面粉就会缺3×4―1=3。连用4天,共应该用

面粉和大米48×4=192(千克),比总数还多192―168=24(千克)。这24千克正好是原来大

1米重量的3。

1解法2.(48×4―168)÷(3×4―1)=72(千克) (大米)

168―72=96(千克) (面粉)

注:本题还有其他假设解法。

例14.一个化肥厂计划14天完成一项任务。由于每天多生产3.5吨,结果9天就完成了任务。原计划每天生产多少吨?

分析1.假设有甲乙两个厂分别按这个厂计划的效率和实际的效率进行生产。则当按实际的效率(每天比甲厂多生产3.5吨)生产9天完成任务时,乙厂比甲厂共多生产31.5吨(3.5×9=31.5)。这时,甲厂还需再生产5天才能完成任务。由此可求出甲厂每天生产多少吨(计划每天生产多少吨).

解法1. 3.5×9÷(14―9)=6.3(吨)

解法2(分析略). 3.5×14÷(14―9)―3.5=6.3(吨)

例15.鸡和兔共43只,它们共有120条腿。鸡和兔各有多少只?

分析与解法1.假设把鸡和兔都砍掉2条腿,则43只鸡和兔就会被砍掉86条腿(2×43=86),

15

只剩下34条(120―86=34)。这34条都是兔腿,因为鸡都没了腿。每只兔只剩2条腿,所以有17只兔。

兔 (120-2×43)÷(4―2)=17(只)

鸡 43―17=26(只)

分析与解法2.假设每只鸡也都有了4条腿(都又“长”出来2条),则43只鸡和兔一共应该有172条腿(43×4=172)。所有的鸡一共“长”出了52条腿(172―120=52)。每只鸡都“长”出来了2条腿,是多少只鸡“长”出来52条腿呢?

鸡 (4×43-120)÷(4―2)=26(只)

兔 43―26=17(只)

分析与解法3.假设把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿(每只鸡只剩一条腿,每只兔剩2条腿,则43只鸡和兔一共剩下60条腿(120÷2=60)。每只鸡和兔都有一个头。把每只鸡和兔都砍掉一半数量的腿后,鸡的腿数和头数同样多,而每只兔的腿数都比头数多1。现在,43只鸡和兔共有43个头、60条腿,腿数比头数多17(60―43=17),所以有17只兔。

(120÷2―1×43)÷(4÷2-1)=17(只)

例16.一次数学竞赛,共20道题。评分标准是:每答对一道,给5分;答错一道,倒扣3分;不答的,给0分。小华参加这次竞赛,全答了,但只得了76分。他答对了多少道?

分析与解:假设把评分标准改为“每答对一道,给8分;答错或不答的不给分也不扣分”

16

(即,只要答了的题,不管对错,每道都比原评分标准多给3分),则小华应比原来多得60分(3×20=60),一共应得136分(76+60=136)。对一道给8分,他对了多少道呢?

(76+3×20)÷(5+3)=17(道)

有些问题,如果虚构、改编一些情节,就有可能使复杂的情节变简单,隐蔽的数量关系变明显。解数学题,重要的是数量关系,而不是情节。在不改变题目的结构、数量关系的前提下假设、虚构一些情节,不会影响计算结果。

类似题目:

1.甲乙二人同时骑车从A城去B城,甲每小时行24千米,乙每小时行18千米。甲在途中因修车停留2小时,结果比乙晚1小时到达B城。A、B两城相距多少千米?

2.某校安排学生住宿。若每间宿舍住6人,则34人无住处;若每间住7人,则空出4间宿舍。有学生多少人?

3.甲乙丙三人共同做一件工作,15天可以完成。但由于甲请了2天假,乙请了3天假,他们一共用了17天才完成。已知甲的工作效率是乙的1.5倍。如果让甲单独做这项工作,多少天可以完成?

4.一个筑路队原计划20天修完一条公路。实际每天比计划多修45米,提前5天完成了任务。这条公路长多少米?

5.一个班有42人。28人参加了数学小组,14人参加了语文小组,10人两个小组都没参加。有几个人两个小组都参加了?

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