高中数学《排列组合二项定理》重要公式

1.排列数公式

n！Anm=n(n1)(nm1)=(nm)！.(n，m∈N*，且mn)．

注:规定0!1.

2.排列恒等式

mm1A(nm1)Ann(1）;

（2）

mAnnmAn1nm;

mm1AnAnn1; （3）

nn1nnAAAnn1n（4）;

mmm1AAmAn1nn（5）.

(6) 1!22!33!nn!(n1)!1.

3.分类计数原理（加法原理）

Nm1m2mn.

4.分步计数原理（乘法原理）

Nm1m2mn.

5.组合数公式

Anmn(n1)(nm1)n！mmCnA(nm)！12mm===m！(n∈N*，mN，且mn).

6.组合恒等式

nm1m1Cnm;

（1）

mCn（2）

mCnnmCn1nm;

（3）

mCnnm1Cn1m;

（4）r0Cnrn=2;

n（5）

rr1CrrCrr1Crr2CnCn1.

(6)

012rnCnCnCnCnCn2n.

(7)

135024CnCnCnCnCnCn2n1.

(8)

123nCn2Cn3CnnCnn2n1.

(9)

r0r110rrrCmCnCmCnCmCnCmn.

(10)

021222n2n(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

7.组合数的两个性质

mnmCC(1)n=n ;

mm1mCCCnnn(2) +=1.

0Cn注:规定1.

8.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn .

9．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

m1mm11m1AAAAAn1（补集思想）n1n1①某（特）元必在某位有n1种；②某（特）元不在某位有nm1m1AAAn1m1n1（着眼元素）种. （着眼位置）

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

kmk②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

nk1k③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一

hkAh组互不能挨近的所有排列数有Ah1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn1Cm1nA当nm1时，无解；当nm1时，有n种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

nCmn.

10．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![1112!3!4!(1)n1]n!.

推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!p(1)pCm(np)!m(1)mCm(nm)!

1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnpCm(1)pAnpmCm(1)m]An.

m11．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有

nnnnnNCmnCmnnCmn2nC2nCn(mn)!(n!)m.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnNm!m!(n!)m.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有

nmn1n2NCpCpn1...Cnmm!p!m!n1!n2!...nm!.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有

Nnmn1n2CpCpn1...Cnmm!a!b!c!...

p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，n2，…，

nm件无记号的m堆，n2，nm这m个数彼此不相等，且n1，…，则其分配方法数有

Np!n1!n2!...nm!.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，

n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，

则其分配方法数有

Np!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，

n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2NCpCpn1...Cnmp!n1!n2!...nm!.

12.二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;

二项展开式的通项公式

rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n).

13．不定方程x1+x2++xnm的解的个数

(1)方程

x1+x2++xnmCn,mN（）的正整数解有m1个.

n1(2) 方程

x1+x2++xnm1Cnnn,mNm1个. （）的非负整数解有

(3) 方程

n1Cm1(n2)(k1)x1+x2++xnmn,mN（）满足条件xik(kN,2in1)的非负整数解有

个.

(4) 方程

x1+x2++xnmn,mN（）满足条件xik(kN,2in1)的正整数解有

n12n1n2n2n1Cnnm11C1CCC(1)Cn2Cm1(n2)kn2mnk2n2mn2k3个.