图解法分析动态平衡问题

图解法分析动态平衡问题

【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均

为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( )

A．增大 B．先减小，后增大

C．减小 D．先增大，后减小

解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．

方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：

FABcos 60°＝FB Csin θ，

FABsin 60°＋FB Ccos θ＝FB，

联立解得FBCsin(30°＋θ)＝FB/2，

显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．

答案：B

变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β ＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是( )

A .F逐渐增大，T逐渐 减小，FN逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐减小，FN逐渐增大

C．F逐渐增大，T先减小后增大，FN逐渐增大 D．F逐渐减小，T先减小后增大，FN逐渐减小

解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力FN′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝FN″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力FN＝G＋FN″·cos θ，故FN逐渐增大．

答案：C

利用相似三角形相似求解平衡问题

【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( )

A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变

C．F先减小，后增大 D．F始终不变

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的

绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．

如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得 ，FN＝ G，F＝ G 式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小．

答案：B

变式2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( )

A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1解析：两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时， 小球B受力如右图所示，弹簧的弹力F与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确．

答案：B

平衡物体中的临界与极值问题

临界问题 某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，

平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．

【例4】如图2－4－8所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡 方程求解．

用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示．

由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力．

F≤Fmax＝μFNB.由平衡条件有：

1对球有：GA＝FNcos 45°① FNA＝FNsin 45°②

2对三角劈有 FNB＝G＋FN′sin 45°③ F＝FN′cos 45°④ F≤μFNB，⑤ ∵FN＝FN′⑥

由①～⑥式解得：GA≤ G.

答案：球的重力不得超过 G

变式4－1如图2－4－9所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求： (1)小环对杆的压力； (2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？

解析：(1)整体法分析有：2FN＝(M＋2m)g，即FN＝ Mg＋mg

由 牛顿第三定律得：小环对杆的压力FN′＝Mg＋mg.

(2)研究M得2FTcos 30°＝Mg

临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有FTsin 30°＝μFN′

解得：动摩擦因数μ至少为

μ＝

答案：(1) Mg＋mg (2)