八年级数学下册 第18章《平行四边形》专题训练（六）平行四边形中的动态问题 （新版）新人教版
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八年级数学下册 第18章《平行四边形》专题训练（六）平行四边形中的动态问题 （新版）新人教版
专题训练（六） 平行四边形中的动态问题
—-教材P68习题第13题的变式与应用
【例】 （人教版八年级下册教材第68页第13题）
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,AB＝8 cm,AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发,以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD,分别需经过多少时间？为什么?
【解答】①设经过t s时，四边形PQCD是平行四边形， ∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t， ∴DP＝CQ.∴24－t＝3t。
∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ＝CD. ②设经过t s时，PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形， ∵AP＝t，BQ＝26－3t， ∴t＝26－3t＋2,t＝7。
综上所述当t＝6 s或7 s时，PQ＝CD。
【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6,BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
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八年级数学下册 第18章《平行四边形》专题训练（六）平行四边形中的动态问题 （新版）新人教版
解:由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝错误!BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间,如图甲．此时,PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t得t＝2。
当8〈2t〈16，且t〈6，即4〈t<6时，点Q在B、E之间，如图乙．此时,PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由6－t＝2t－8得t＝错误!.
∴当运动时间为2s或错误!s时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
图甲 图乙
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝25 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止,点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
（1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD？
（2）试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
解：（1）设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，
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八年级数学下册 第18章《平行四边形》专题训练（六）平行四边形中的动态问题 （新版）新人教版
∴AB∥CD，即AP∥DQ。 ∵PQ∥AD,
∴四边形APQD是平行四边形． ∴AP＝DQ。
∴3x＝25－2x.解得x＝5.
答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD.
（2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米， ∵BP＝25－3a，CQ＝2a， ∴根据梯形面积公式得:
错误!（25－3a＋2a）·8＝84.解得a＝4。
答:P,Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
3．如图,平行四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1 cm的速度沿射线AC移动,点Q从点C出发以每秒1 cm的速度沿射线CA移动．
(1)经过几秒,以P，Q，B,D为顶点的四边形为矩形？ （2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．
解：（1）当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形． 理由如下：当t＝7秒时,PA＝QC＝7， ∵AC＝6, ∴CP＝AQ＝1。 ∴PQ＝BD＝8.
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∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6, ∴AO＝CO＝3. ∴BO＝DO＝4. ∴OQ＝OP＝4。
∴四边形BPDQ为平形四边形． ∵PQ＝BD＝8，
∴四边形BPDQ为矩形． （2)由（1)得BO＝4，CQ＝7， ∵BC⊥AC， ∴∠BCA＝90°. ∴BC＋CQ＝BQ. ∴BQ＝错误!＝2错误!.
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4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°,AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动,当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
（2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？
(3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在,请说明理由．
备用图
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解:(2)如图1，由题意得:AP＝t，DP＝12－t,CQ＝2t,BQ＝18－2t。
要使四边形PQBA是矩形,已有∠B＝90°,AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此，当t＝6秒时,四边形PQBA是矩形．
(3)不存在，理由：
如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ， 只需满足DP＝CQ即12－t＝2t， ∴t＝4时,四边形PQCD是平行四边形， 但DP＝12－t＝8≠10,即DP≠DC，
∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．
5．如图，已知矩形ABCD,AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1）求证:四边形PMEN是平行四边形;
(2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能,请说明理由．
解：（1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线． ∴ME∥PC，EN∥PD.
∴四边形PMEN是平行四边形．
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(2)当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，错误! ∴△PAD≌△PBC（SAS)． ∴PD＝PC.
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴NE＝PM＝错误!PD，ME＝PN＝错误!PC. ∴PM＝ME＝EN＝PN。 ∴四边形PMEN是菱形． （3)四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°。 设PA＝x,PB＝10－x， 则DP＝错误!，CP＝错误!。 ∵DP2
＋CP2
＝DC2
，
即16＋x2
＋16＋（10－x)2
＝102
, ∴x2
－10x＋16＝0。 解得x＝2或x＝8。
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．
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