精编初中数学 将军饮马问题----两线段和最小值 题型专题训练

【学习目标】

1.利用对称变换、平移变换解决有关最值问题；

2.体会“转化”、“数形结合”的数学思想在解决综合题中的作用. 【学习重、难点】利用对称变换、平移变换解决有关最值问题. 一、问题引入：

【题型一】(“将军饮马”问题)

在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦．有一天，一位将军向他请教了一个问题：如图1，从A地出发到河边饮马，然后再去B地，饮马的地点选在哪，才能使所走的总路程最短？在图2中呢？ 图1

图2

跟踪练习：如图3，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为 ．

【题型二】(“过桥问题”——北师大版数学教材八年级下册第90页第18题改编)

图3

如图4，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两旁A处与B处，现准备合作修建一座桥.桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注意：桥必须与河流两旁垂直，桥宽忽略不计）． l1 l2

图4

跟踪练习：如图5，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，

顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． 若E、F为边OA上的两个动点（E在F左侧），且EF=2，当四边形CDEF的 周长最小时，点E、F的坐标分别为 、 ． 二、问题解决：

如图6，已知抛物线的解析式为y=-x2-2x+8，对称轴

为x=-1，点E(1，5)在抛物线上，抛物线与x轴的交点坐标为：A(2，0)；B(-4，0)． *（1）作点E关于对称轴的对称点F，则点F (填“在”或“不在”)抛物线上，其坐标为 ；

**（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使M E+MC的和最小，求出点此时M的坐标；

***（3）在AB上存在两个动点P、Q(点P在Q的左侧)，且PQ=2，连接QC、FP，当四边形PQCF周长最小时，求点P的坐标；

****（4）若点D是抛物线上的一个动点，连接AD、OD，将△AOD绕OD折叠，使得点A落在A’处，连接CA’求CA’的最大值和最小值. 图6

备用图

【拓展学习】

1.如图7，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，在边BC、CD上分别存在点G、H，则四边形EFGH周长的最小值是 ． 2.如图8，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，

∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ．

三、课堂小结：这节课，你有哪些收获？

四、课后作业

图7

图8 如图9，抛物线y23x2bxc与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），antBAO2.以线段BC为直径作⊙M交AB于点D.过点B作直线l∥AC，与

抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点C的坐标和线段EF的长；

（3）如图10，连接CD并延长，交直线l于点N.点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合）线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出．．此时点P的坐标并直接写出．．．．四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由.

图9

图10