等比数列(二)

课题序号 授课班级 授课形式 等比数列（二） 讲练结合 授课时数 2 授课章节 名 称 使用教具 教学目的 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点 等比中项的理解与应用 教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 更新、补全面熟悉数列及其公式，并能灵活运用 充、删节 内 容 见后 课外作业 教学后记

授课主要内容或板书设计

一、复习引入： 首先回忆一下前几节课所学主要内容： 1．等差数列的定义： an－an1=d ，（n≥2，n∈N） 2．等差数列的通项公式： ana1(n1)d (anam(nm)d或an=pn+q (p、q是常数)) 二、讲解新课： 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0） an11“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0 an2 隐含：任一项an0且q0 2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0) 3.等比数列的通项公式2: anamqnm(a1q0) 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．三、例题讲解 四、练习： 五、小结 本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． 六、课后作业：课后练习同步

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课 堂 教 学 安 排

教学 过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比数列的通项公式: 概念导入 an=q（q≠0） an1ana1qn1(a1q0)， anamqnm(amq0) 3．｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0） an “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号） 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则GbG2abGab， aGGb2反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 aG 3

例题讲 解 ∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：ama1qm1 ana1qn1 apa1q222 例题讲解 p1 aka1qk1 amana1qmn2 ，apaka1qpk2 则amanapak 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或01, a1<0,或00时, {an}是递减数列;当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是摆动数列; 三、例题讲解 例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 课堂练习 abcabbcca3,,abc 也成等比数列 33证明：由题设：b2=ac 得： abc3abc33abb2bcabbcca2abcb()3333∴abcabbcca3,,abc 也成等比数列 33例2 已知an,bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列. 4

证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn的第n项与第n+1项分别为： a1q1n1b1q2与a1q1b1q2即为a1b1(q1q2)n1与a1b1(q1q2)n n1nnan1bn1a1b1(q1q2)nq1q2. anbna1b1(q1q2)n1它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列. 例3 (1) 已知{an}是等比数列，且 an0,a2a42a3a5a4a625, 求a3a5 例题讲解 (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，a2,1,c2成等比数列，求解：(1) ∵{an}是等比数列， ∴ a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a5)＝25, 2ac a2c2 又an>0, ∴a3＋a5＝5; (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又a, 1, c成等比数列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1, ac(ac)2ac6 ∴ 2222222 ac1. 223ac051525n15例4 已知无穷数列10,10,10,10 求证：（1）这个数列成等比数列 ,， 1课堂 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， 反思 10 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 5

a10105（常数）∴该数列成等比数列 证：（1）nn2an1105n151 （2）an1011n4101，即：anan5 10an510105n15 （3）apaq10p1510q1510pq25，∵p,qN，∴pq2 ∴pq11且pq1N， ∴10 六、课后作业：课后练习同步 pq251n5（第pq1项） 10，

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