庐江县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知二次曲线A.[
,
]
+
=1,则当m∈[﹣2,﹣1]时,该曲线的离心率e的取值范围是( ) ,
]
C.[
,
]
D.[
,
]
B.[
2. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( ) A.
12 B. C.1 D.2 33的定义域为( )
C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.(1,2)
3. 函数f(x)=
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)B.(﹣2,1) 4. 已知函数f(x)=3cos(2x﹣A.导函数为
B.函数f(x)的图象关于直线C.函数f(x)在区间(﹣
,
),则下列结论正确的是( )
对称 )上是增函数
个单位长度得到
D.函数f(x)的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移5. 不等式x(x﹣1)<2的解集是( )
A.{x|﹣2<x<1} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|x>1或x<﹣2} D.{x|x>2或x<﹣1} 6. 已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1
B.3
C.5
D.9
7. 若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}
228. 已知函数f(x)3x2axa,其中a(0,3],f(x)0对任意的x1,1都成立,在1
和两数间插入2015个数,使之与1,构成等比数列,设插入的这2015个数的成绩为T,则T( ) A.22015 B.32015 C.3
20152
D.220152
9. 执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在[﹣1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是( )
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A.(0,1] B.[1, 10.不等式A.C.
或或
] C.[1,2] D.[,2]
的解集为( )
B.D.
11.常用以下方法求函数y=[f(x)]g(x)的导数:先两边同取以e为底的对数(e≈2.71828…,为自然对数的底
gx
数)得lny=g(x)lnf(x),再两边同时求导,得•y′=g′(x)lnf(x)+g(x)•[lnf(x)]′,即y′=[f(x)]()
{g′(x)lnf(x)+g(x)•[lnf(x)]′}.运用此方法可以求函数h(x)=xx(x>0)的导函数.据此可以判断下列各函数值中最小的是( )
A.h() B.h() C.h() D.h()
12.已知椭圆
(0<b<3),左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|
C.
的最大值为8,则b的值是( ) A.
B.
D.
二、填空题
13.若正方形P1P2P3P4的边长为1,集合M={x|x=①当i=1,j=3时,x=2; ②当i=3,j=1时,x=0;
③当x=1时,(i,j)有4种不同取值; ④当x=﹣1时,(i,j)有2种不同取值; ⑤M中的元素之和为0.
其中正确的结论序号为 .(填上所有正确结论的序号)
14.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxxlnx4的零点在区间
且i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:
k1内,则正整数k的值为________. k,15.fx)=已知(
fx﹣2)fx) ≥(,若不等式(对一切x∈R恒成立,则a的最大值为 .
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16.
17.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.
*
在90组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N)中,
17.为了近似估计π的值,用计算机分别产生90个在[﹣1,1]的均匀随机数x1,x2,…,x90和y1,y2,…,y90,
经统计有25组数对满足,则以此估计的π值为 .
18.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .
三、解答题
19.已知命题p:“存在实数a,使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”,命题q:“存在实数a,使点(a,1)在椭圆
20.已知函数f(x)=|x﹣m|,关于x的不等式f(x)≤3的解集为[﹣1,5]. (1)求实数m的值;
222
(2)已知a,b,c∈R,且a﹣2b+2c=m,求a+b+c的最小值.
内部”,若命题“p且¬q”是真命题,求实数a的取值范围.
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21.
22.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过(4,2)点.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E为PA的中点,M在PD上. (Ⅱ)若
(I)求证:AD⊥PB;
(Ⅱ)若f(x﹣1)>f(5﹣x),求x的取值范围.
,则当λ为何值时,平面BEM⊥平面PAB?
(Ⅲ)在(II)的条件下,求证:PC∥平面BEM.
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24.啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的参数方程为
2
(t为参数),圆C的极坐标方程为p+2psin(θ+
2
)+1=r(r>0).
(Ⅰ)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r值.
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庐江县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】解:由当m∈[﹣2,﹣1]时,二次曲线为双曲线, 双曲线
+
=1即为
﹣
=1,
222
且a=4,b=﹣m,则c=4﹣m,
即有故选C.
,
【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查离心率的范围,属于基础题.
2. 【答案】 B
【解析】解析:本题考查三视图与几何体的体积的计算.如图该三棱锥是边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的一个四面体ACED1,其中ED11,∴该三棱锥的体积为(12)23. 【答案】D
【解析】解:由题意得:解得:1<x<2, 故选:D.
4. 【答案】B
【解析】解:对于A,函数f′(x)=﹣3sin(2x﹣对于B,当x=
时,f(
)=3cos(2×
﹣
)•2=﹣6sin(2x﹣
),A错误;
,
13122,选B. 3)=﹣3取得最小值,
所以函数f(x)的图象关于直线对于C,当x∈(﹣
,
对称,B正确;
∈(﹣
,
),
)时,2x﹣
函数f(x)=3cos(2x﹣)不是单调函数,C错误;
个单位长度,
)的图象,
对于D,函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2(x﹣
)=3co s(2x﹣
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这不是函数f(x)的图象,D错误. 故选:B.
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
5. 【答案】B
【解析】解:∵x(x﹣1)<2, ∴x﹣x﹣2<0,
2
即(x﹣2)(x+1)<0, ∴﹣1<x<2,
即不等式的解集为{x|﹣1<x<2}. 故选:B
6. 【答案】C
【解析】解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A}, ∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2; 当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1; 当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0; ∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},
∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个. 故选C.
7. 【答案】D
【解析】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选D.
8. 【答案】C 【解析】
f10试题分析:因为函数f(x)3x2axa,f(x)0对任意的x1,1都成立,所以,解得
f10a3或a1,又因为a(0,3],所以a3,在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数,使之与,构成等
222Ta1a2...a2015,比数列,两式相乘,根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1,
2015132015,
T3
20152
,故选C.
考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 9. 【答案】B
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【解析】解:由程序框图知:算法的功能是求f(x)=的值,
当a<0时,y=log2(1﹣x)+1在[﹣1,a]上为减函数,f(﹣1)=2,f(a)=0⇒1﹣a=,a=,不符合题意;
2
当a≥0时,f′(x)=3x﹣3>⇒x>1或x<﹣1,
∴函数在[0,1]上单调递减,又f(1)=0,∴a≥1; 又函数在[1,a]上单调递增,∴f(a)=a﹣3a+2≤2⇒a≤
3
.
故实数a的取值范围是[1,故选:B.
].
【点评】本题考查了选择结构的程序框图,考查了导数的应用及分段函数值域的求法,综合性强,体现了分类讨论思想,解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值.
10.【答案】A 【解析】 令
得
,
;
或
,故选A
其对应二次函数开口向上,所以解集为
答案:A
11.【答案】B
x
【解析】解:(h(x))′=x[x′lnx+x(lnx)′] =xx(lnx+1),
令h(x)′>0,解得:x>,令h(x)′<0,解得:0<x<, ∴h(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增, ∴h()最小, 故选:B.
【点评】本题考查函数的导数的应用,极值的求法,基本知识的考查.
12.【答案】D
【解析】解:∵|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,|AF2|+|BF2|的最大值为8, ∴|AB|的最小值为4,
当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值为4,
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∴
=4,解得b2=6,b=
.
故选:D.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、填空题
13.【答案】 ①③⑤
【解析】解:建立直角坐标系如图:
则P1(0,1),P2(0,0),P3(1,0),P4(1,1). ∵集合M={x|x=
对于①,当i=1,j=3时,x=对于②,当i=3,j=1时,x=对于③,∵集合M={x|x=∴∴
=(1,﹣1),•
=1;
•=
=1;
且i,j∈{1,2,3,4}},
=(1,﹣1)•(1,﹣1)=1+1=2,故①正确; =(1,﹣1)•(﹣1,1)=﹣2,故②错误; 且i,j∈{1,2,3,4}}, =(0,﹣1),
•
==1;
=(1,0), •
=1;
∴当x=1时,(i,j)有4种不同取值,故③正确;
④同理可得,当x=﹣1时,(i,j)有4种不同取值,故④错误;
⑤由以上分析,可知,当x=1时,(i,j)有4种不同取值;当x=﹣1时,(i,j)有4种不同取值,当i=1,j=3时,x=2时,当i=3,j=1时,x=﹣2; 当i=2,j=4,或i=4,j=2时,x=0, ∴M中的元素之和为0,故⑤正确. 综上所述,正确的序号为:①③⑤, 故答案为:①③⑤.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的坐标运算,建立直角坐标系,求得﹣1),
=
=(0,﹣1),
=
难题.
14.【答案】2
=(1,
=(1,0)是关键,考查分析、化归与运算求解能力,属于
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【解析】
15.【答案】 ﹣ .
【解析】解:∵不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立, ∴若x≤0,则x﹣2≤﹣2.
则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥﹣2x, 即4≥0,此时不等式恒成立, 若0<x≤2,则x﹣2≤0,
2
则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥ax+x, 2
即ax≤4﹣3x,
则a≤设h(x)=
=﹣,
2
﹣=4(﹣)﹣9,
∵0<x≤2,∴≥,
则h(x)≥﹣9,∴此时a≤﹣9, 若x>2,则x﹣2>0,
22
则f(x﹣2)≥f(x)等价为,a(x﹣2)+(x﹣2)≥ax+x,
即2a(1﹣x)≥2,
∵x>2,∴﹣x<﹣2,1﹣x<﹣1, 则不等式等价,4a≤即2a≤﹣则g(x)=﹣
在x>2时,为增函数,
=﹣
∴g(x)>g(2)=﹣1, 即2a≤﹣1,则a≤﹣, 故a的最大值为﹣,
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故答案为:﹣
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,利用分类讨论的数学思想,结合参数分离法进行求解即可.
16.【答案】
x
【解析】解:∵f(x)=ag(x)(a>0且a≠1),
>0,
∴
=ax,
又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x), ∴(∴∴a>1, ∵
+)′==ax是增函数,
=.
11
∴a+a﹣=,解得a=或a=2.
综上得a=2. ∴数列{∵数列{
}为{2n}.
}的前n项和大于62,
23n
∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2>62,
即2
n+1
6
>64=2,
∴n+1>6,解得n>5. ∴n的最小值为6. 故答案为:6.
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用,巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起,是一道好题.
17.【答案】
.
【解析】设A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1,由图知,
,又
,所以
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【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题.
18.【答案】 50π
【解析】解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为:所以球的半径为:故答案为:50π.
;则这个球的表面积是:
=50π.
,
三、解答题
19.【答案】
22
【解析】解:∵直线x+ay﹣2=0与圆x+y=1有公共点 ∴
≤1⇒a2≥1,即a≥1或a≤﹣1,
命题p为真命题时,a≥1或a≤﹣1; ∵点(a,1)在椭圆∴
命题q为真命题时,﹣2<a<2,
由复合命题真值表知:若命题“p且¬q”是真命题,则命题p,¬q都是真命题 即p真q假,则
⇒a≥2或a≤﹣2. 内部,
,
故所求a的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).
20.【答案】
【解析】解:(1)|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3,由题意得
,解得m=2;
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(2)由(1)可得a﹣2b+2c=2,
2222222
由柯西不等式可得(a+b+c)[1+(﹣2)+2]≥(a﹣2b+2c)=4, 222
∴a+b+c≥
当且仅当,即a=,b=﹣,c=时等号成立,
222
∴a+b+c的最小值为.
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用,属于基础题.
21.【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),
(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计.
【分析】(1)求解得a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可.
(2)X~B(3,),根据二项分布求解P(X=0),P(X=1),P(X=2)=求解数学期望即可.
【解析】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1 解得a=0.03;
又由最高矩形中点的横坐标为20, 可估计盒子中小球重量的众数约为20, 而50个样本小球重量的平均值为:
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)
,P(X=3),列出分布列,
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故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.
(2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的0.2; 则X~B(3,), X=0,1,2,3; P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=
×()3=×()2×=
; ;
;
×()×()2=×()3=
,
∴X的分布列为: X 0 P 即E(X)=0×
1 =.
2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出随机变量的数值,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力
22.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)∵g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(4,2), ∴loga4=2,a=2,则g(x)=log2x.…
∵函数y=f(x)的图象与g(X)的图象关于x轴对称, ∴
.…
,
,解得1<x<3,
(Ⅱ)∵f(x﹣1)>f(5﹣x), ∴
即
所以x的取值范围为(1,3)…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用,注意真数大于零,属于基础题.
23.【答案】
【解析】(I)证明:∵平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥AD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
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∴AD⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB, ∴AD⊥PB.
(II)解:由(I)可知,AD⊥平面PAB,又E为PA的中点, 当M为PD的中点时,EM∥AD, ∴EM⊥平面PAB,∵EM⊂平面BEM, ∴平面BEM⊥平面PAB. 此时,
.
(III)设CD的中点为F,连接BF,FM 由(II)可知,M为PD的中点. ∴FM∥PC.
∵AB∥FD,FD=AB, ∴ABFD为平行四边形. ∴AD∥BF,又∵EM∥AD, ∴EM∥BF.
∴B,E,M,F四点共面.
∴FM⊂平面BEM,又PC⊄平面BEM, ∴PC∥平面BEM.
【点评】本题考查了线面垂直的性质,线面平行,面面垂直的判定,属于中档题.
24.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)根据直线l的参数方程为消去参数,得 x+y﹣
=0,
=0,
2
)+1=r(r>0).
(t为参数),
直线l的直角坐标方程为x+y﹣
2
∵圆C的极坐标方程为p+2psin(θ+
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∴(x+
2
)+(y+22
)=r(r>0).
2
)+(y+
22
)=r(r>0).
∴圆C的直角坐标方程为(x+(Ⅱ)∵圆心C(﹣圆心C到直线x+y﹣
,﹣
),半径为r,…(5分)
=2,
=0的距离为d=
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,即d+r=3, ∴r=3﹣2=1.
【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识.
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