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庐江外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

2021-02-22 来源:步旅网
精选高中模拟试卷

庐江县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 已知二次曲线A.[

]

+

=1,则当m∈[﹣2,﹣1]时,该曲线的离心率e的取值范围是( ) ,

]

C.[

]

D.[

]

B.[

2. 已知一三棱锥的三视图如图所示,那么它的体积为( ) A.

12 B. C.1 D.2 33的定义域为( )

C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.(1,2)

3. 函数f(x)=

A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)B.(﹣2,1) 4. 已知函数f(x)=3cos(2x﹣A.导函数为

B.函数f(x)的图象关于直线C.函数f(x)在区间(﹣

),则下列结论正确的是( )

对称 )上是增函数

个单位长度得到

D.函数f(x)的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移5. 不等式x(x﹣1)<2的解集是( )

A.{x|﹣2<x<1} B.{x|﹣1<x<2} C.{x|x>1或x<﹣2} D.{x|x>2或x<﹣1} 6. 已知集合A={0,1,2},则集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1

B.3

C.5

D.9

7. 若集合A={x|﹣2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=( ) A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|0<x<1}

228. 已知函数f(x)3x2axa,其中a(0,3],f(x)0对任意的x1,1都成立,在1

和两数间插入2015个数,使之与1,构成等比数列,设插入的这2015个数的成绩为T,则T( ) A.22015 B.32015 C.3

20152

D.220152

9. 执行如图所示的一个程序框图,若f(x)在[﹣1,a]上的值域为[0,2],则实数a的取值范围是( )

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A.(0,1] B.[1, 10.不等式A.C.

或或

] C.[1,2] D.[,2]

的解集为( )

B.D.

11.常用以下方法求函数y=[f(x)]g(x)的导数:先两边同取以e为底的对数(e≈2.71828…,为自然对数的底

gx

数)得lny=g(x)lnf(x),再两边同时求导,得•y′=g′(x)lnf(x)+g(x)•[lnf(x)]′,即y′=[f(x)]()

{g′(x)lnf(x)+g(x)•[lnf(x)]′}.运用此方法可以求函数h(x)=xx(x>0)的导函数.据此可以判断下列各函数值中最小的是( )

A.h() B.h() C.h() D.h()

12.已知椭圆

(0<b<3),左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|

C.

的最大值为8,则b的值是( ) A.

B.

D.

二、填空题

13.若正方形P1P2P3P4的边长为1,集合M={x|x=①当i=1,j=3时,x=2; ②当i=3,j=1时,x=0;

③当x=1时,(i,j)有4种不同取值; ④当x=﹣1时,(i,j)有2种不同取值; ⑤M中的元素之和为0.

其中正确的结论序号为 .(填上所有正确结论的序号)

14.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxxlnx4的零点在区间

且i,j∈{1,2,3,4}},则对于下列命题:

k1内,则正整数k的值为________. k,15.fx)=已知(

fx﹣2)fx) ≥(,若不等式(对一切x∈R恒成立,则a的最大值为 .

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16.

17.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.

*

在90组数对(xi,yi)(1≤i≤90,i∈N)中,

17.为了近似估计π的值,用计算机分别产生90个在[﹣1,1]的均匀随机数x1,x2,…,x90和y1,y2,…,y90,

经统计有25组数对满足,则以此估计的π值为 .

18.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .

三、解答题

19.已知命题p:“存在实数a,使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”,命题q:“存在实数a,使点(a,1)在椭圆

20.已知函数f(x)=|x﹣m|,关于x的不等式f(x)≤3的解集为[﹣1,5]. (1)求实数m的值;

222

(2)已知a,b,c∈R,且a﹣2b+2c=m,求a+b+c的最小值.

内部”,若命题“p且¬q”是真命题,求实数a的取值范围.

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21.

22.已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过(4,2)点.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;

23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E为PA的中点,M在PD上. (Ⅱ)若

(I)求证:AD⊥PB;

(Ⅱ)若f(x﹣1)>f(5﹣x),求x的取值范围.

,则当λ为何值时,平面BEM⊥平面PAB?

(Ⅲ)在(II)的条件下,求证:PC∥平面BEM.

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24.啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的参数方程为

2

(t为参数),圆C的极坐标方程为p+2psin(θ+

2

)+1=r(r>0).

(Ⅰ)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程; (Ⅱ)若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r值.

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庐江县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)

一、选择题

1. 【答案】C

【解析】解:由当m∈[﹣2,﹣1]时,二次曲线为双曲线, 双曲线

+

=1即为

=1,

222

且a=4,b=﹣m,则c=4﹣m,

即有故选C.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查离心率的范围,属于基础题.

2. 【答案】 B

【解析】解析:本题考查三视图与几何体的体积的计算.如图该三棱锥是边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的一个四面体ACED1,其中ED11,∴该三棱锥的体积为(12)23. 【答案】D

【解析】解:由题意得:解得:1<x<2, 故选:D.

4. 【答案】B

【解析】解:对于A,函数f′(x)=﹣3sin(2x﹣对于B,当x=

时,f(

)=3cos(2×

)•2=﹣6sin(2x﹣

),A错误;

13122,选B. 3)=﹣3取得最小值,

所以函数f(x)的图象关于直线对于C,当x∈(﹣

对称,B正确;

∈(﹣

),

)时,2x﹣

函数f(x)=3cos(2x﹣)不是单调函数,C错误;

个单位长度,

)的图象,

对于D,函数y=3co s2x的图象向右平移得到函数y=3co s2(x﹣

)=3co s(2x﹣

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这不是函数f(x)的图象,D错误. 故选:B.

【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.

5. 【答案】B

【解析】解:∵x(x﹣1)<2, ∴x﹣x﹣2<0,

2

即(x﹣2)(x+1)<0, ∴﹣1<x<2,

即不等式的解集为{x|﹣1<x<2}. 故选:B

6. 【答案】C

【解析】解:∵A={0,1,2},B={x﹣y|x∈A,y∈A}, ∴当x=0,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为0,﹣1,﹣2; 当x=1,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为1,0,﹣1; 当x=2,y分别取0,1,2时,x﹣y的值分别为2,1,0; ∴B={﹣2,﹣1,0,1,2},

∴集合B={x﹣y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个. 故选C.

7. 【答案】D

【解析】解:A∩B={x|﹣2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.故选D.

8. 【答案】C 【解析】

f10试题分析:因为函数f(x)3x2axa,f(x)0对任意的x1,1都成立,所以,解得

f10a3或a1,又因为a(0,3],所以a3,在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数,使之与,构成等

222Ta1a2...a2015,比数列,两式相乘,根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1,

2015132015,

T3

20152

,故选C.

考点:1、不等式恒成立问题;2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 9. 【答案】B

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【解析】解:由程序框图知:算法的功能是求f(x)=的值,

当a<0时,y=log2(1﹣x)+1在[﹣1,a]上为减函数,f(﹣1)=2,f(a)=0⇒1﹣a=,a=,不符合题意;

2

当a≥0时,f′(x)=3x﹣3>⇒x>1或x<﹣1,

∴函数在[0,1]上单调递减,又f(1)=0,∴a≥1; 又函数在[1,a]上单调递增,∴f(a)=a﹣3a+2≤2⇒a≤

3

故实数a的取值范围是[1,故选:B.

].

【点评】本题考查了选择结构的程序框图,考查了导数的应用及分段函数值域的求法,综合性强,体现了分类讨论思想,解题的关键是利用导数法求函数在不定区间上的最值.

10.【答案】A 【解析】 令

,故选A

其对应二次函数开口向上,所以解集为

答案:A

11.【答案】B

x

【解析】解:(h(x))′=x[x′lnx+x(lnx)′] =xx(lnx+1),

令h(x)′>0,解得:x>,令h(x)′<0,解得:0<x<, ∴h(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增, ∴h()最小, 故选:B.

【点评】本题考查函数的导数的应用,极值的求法,基本知识的考查.

12.【答案】D

【解析】解:∵|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,|AF2|+|BF2|的最大值为8, ∴|AB|的最小值为4,

当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值为4,

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=4,解得b2=6,b=

故选:D.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

二、填空题

13.【答案】 ①③⑤

【解析】解:建立直角坐标系如图:

则P1(0,1),P2(0,0),P3(1,0),P4(1,1). ∵集合M={x|x=

对于①,当i=1,j=3时,x=对于②,当i=3,j=1时,x=对于③,∵集合M={x|x=∴∴

=(1,﹣1),•

=1;

•=

=1;

且i,j∈{1,2,3,4}},

=(1,﹣1)•(1,﹣1)=1+1=2,故①正确; =(1,﹣1)•(﹣1,1)=﹣2,故②错误; 且i,j∈{1,2,3,4}}, =(0,﹣1),

==1;

=(1,0), •

=1;

∴当x=1时,(i,j)有4种不同取值,故③正确;

④同理可得,当x=﹣1时,(i,j)有4种不同取值,故④错误;

⑤由以上分析,可知,当x=1时,(i,j)有4种不同取值;当x=﹣1时,(i,j)有4种不同取值,当i=1,j=3时,x=2时,当i=3,j=1时,x=﹣2; 当i=2,j=4,或i=4,j=2时,x=0, ∴M中的元素之和为0,故⑤正确. 综上所述,正确的序号为:①③⑤, 故答案为:①③⑤.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的坐标运算,建立直角坐标系,求得﹣1),

=

=(0,﹣1),

=

难题.

14.【答案】2

=(1,

=(1,0)是关键,考查分析、化归与运算求解能力,属于

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【解析】

15.【答案】 ﹣ .

【解析】解:∵不等式f(x﹣2)≥f(x)对一切x∈R恒成立, ∴若x≤0,则x﹣2≤﹣2.

则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥﹣2x, 即4≥0,此时不等式恒成立, 若0<x≤2,则x﹣2≤0,

2

则不等式f(x﹣2)≥f(x)等价为,﹣2(x﹣2)≥ax+x, 2

即ax≤4﹣3x,

则a≤设h(x)=

=﹣,

2

﹣=4(﹣)﹣9,

∵0<x≤2,∴≥,

则h(x)≥﹣9,∴此时a≤﹣9, 若x>2,则x﹣2>0,

22

则f(x﹣2)≥f(x)等价为,a(x﹣2)+(x﹣2)≥ax+x,

即2a(1﹣x)≥2,

∵x>2,∴﹣x<﹣2,1﹣x<﹣1, 则不等式等价,4a≤即2a≤﹣则g(x)=﹣

在x>2时,为增函数,

=﹣

∴g(x)>g(2)=﹣1, 即2a≤﹣1,则a≤﹣, 故a的最大值为﹣,

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故答案为:﹣

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,利用分类讨论的数学思想,结合参数分离法进行求解即可.

16.【答案】

x

【解析】解:∵f(x)=ag(x)(a>0且a≠1),

>0,

=ax,

又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x), ∴(∴∴a>1, ∵

+)′==ax是增函数,

=.

11

∴a+a﹣=,解得a=或a=2.

综上得a=2. ∴数列{∵数列{

}为{2n}.

}的前n项和大于62,

23n

∴2+2+2+…+2==2n+1﹣2>62,

即2

n+1

6

>64=2,

∴n+1>6,解得n>5. ∴n的最小值为6. 故答案为:6.

【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用,巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起,是一道好题.

17.【答案】

【解析】设A(1,1),B(﹣1,﹣1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1,由图知,

,又

,所以

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【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式,属于中档题.

18.【答案】 50π

【解析】解:长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上, 所以长方体的对角线就是球的直径,长方体的对角线为:所以球的半径为:故答案为:50π.

;则这个球的表面积是:

=50π.

三、解答题

19.【答案】

22

【解析】解:∵直线x+ay﹣2=0与圆x+y=1有公共点 ∴

≤1⇒a2≥1,即a≥1或a≤﹣1,

命题p为真命题时,a≥1或a≤﹣1; ∵点(a,1)在椭圆∴

命题q为真命题时,﹣2<a<2,

由复合命题真值表知:若命题“p且¬q”是真命题,则命题p,¬q都是真命题 即p真q假,则

⇒a≥2或a≤﹣2. 内部,

故所求a的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).

20.【答案】

【解析】解:(1)|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3,由题意得

,解得m=2;

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(2)由(1)可得a﹣2b+2c=2,

2222222

由柯西不等式可得(a+b+c)[1+(﹣2)+2]≥(a﹣2b+2c)=4, 222

∴a+b+c≥

当且仅当,即a=,b=﹣,c=时等号成立,

222

∴a+b+c的最小值为.

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用,属于基础题.

21.【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),

(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;

(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)

【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】概率与统计.

【分析】(1)求解得a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可.

(2)X~B(3,),根据二项分布求解P(X=0),P(X=1),P(X=2)=求解数学期望即可.

【解析】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1 解得a=0.03;

又由最高矩形中点的横坐标为20, 可估计盒子中小球重量的众数约为20, 而50个样本小球重量的平均值为:

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)

,P(X=3),列出分布列,

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故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.

(2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的0.2; 则X~B(3,), X=0,1,2,3; P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=

×()3=×()2×=

; ;

×()×()2=×()3=

∴X的分布列为: X 0 P 即E(X)=0×

1 =.

2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出随机变量的数值,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力

22.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)∵g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(4,2), ∴loga4=2,a=2,则g(x)=log2x.…

∵函数y=f(x)的图象与g(X)的图象关于x轴对称, ∴

.…

,解得1<x<3,

(Ⅱ)∵f(x﹣1)>f(5﹣x), ∴

所以x的取值范围为(1,3)…

【点评】本题考查对数函数的性质的应用,注意真数大于零,属于基础题.

23.【答案】

【解析】(I)证明:∵平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥AD,平面PAB∩平面ABCD=AB,

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∴AD⊥平面PAB.又PB⊂平面PAB, ∴AD⊥PB.

(II)解:由(I)可知,AD⊥平面PAB,又E为PA的中点, 当M为PD的中点时,EM∥AD, ∴EM⊥平面PAB,∵EM⊂平面BEM, ∴平面BEM⊥平面PAB. 此时,

(III)设CD的中点为F,连接BF,FM 由(II)可知,M为PD的中点. ∴FM∥PC.

∵AB∥FD,FD=AB, ∴ABFD为平行四边形. ∴AD∥BF,又∵EM∥AD, ∴EM∥BF.

∴B,E,M,F四点共面.

∴FM⊂平面BEM,又PC⊄平面BEM, ∴PC∥平面BEM.

【点评】本题考查了线面垂直的性质,线面平行,面面垂直的判定,属于中档题.

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)根据直线l的参数方程为消去参数,得 x+y﹣

=0,

=0,

2

)+1=r(r>0).

(t为参数),

直线l的直角坐标方程为x+y﹣

2

∵圆C的极坐标方程为p+2psin(θ+

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∴(x+

2

)+(y+22

)=r(r>0).

2

)+(y+

22

)=r(r>0).

∴圆C的直角坐标方程为(x+(Ⅱ)∵圆心C(﹣圆心C到直线x+y﹣

,﹣

),半径为r,…(5分)

=2,

=0的距离为d=

又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,即d+r=3, ∴r=3﹣2=1.

【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识.

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