一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.
已知集合𝐴={1,2，4}，𝐵={𝑥|𝑥2=1}，那么𝐴∪𝐵=( )
A. {1}
2.
−
B. {1,2，4}
−
C. {−1,1，2，4} D. {2,4}
复数z的共轭复数𝑧满足𝑧(𝑙+𝑖)=2𝑖，则|𝑧|=( )
A. 2 B. √2
2 C. √2
D. 2
1
3. 若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )
A. 3
4.
B.
C. 2 D.
“𝑎+𝑐>𝑏+𝑑”是“𝑎>𝑏且𝑐>𝑑”的( )
A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
5.
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
若某多面体的三视图如图所示，则此多面体外接球的表面积是( )
A. 6
√14
B. 18+4
C. 12𝜋 D. 3𝜋
6.
已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=
𝑥2−1𝑒𝑥
，则𝑓(𝑥)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若双曲线于( )
2 A. √2
𝑥2𝑎2
−
𝑦2𝑏2
则此双曲线的离心率等=1(𝑎>0,𝑏>0)的渐近线与圆(𝑥−2)2+𝑦2=2相切，
B. √2 C. √3 D. 2
8.
𝑎
已知∣∣∣𝑐46∣∣1214∣20122014∣𝑏∣∣∣=𝑎𝑑−𝑏𝑐++⋯+∣，则∣∣∣∣∣∣810∣∣1618∣∣20162018∣∣=( ) 𝑑∣
A. −2008
9.
B. 2008 C. 2010 D. −2016
如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=2，E为边AB的中点，沿DE将△𝐴𝐷𝐸折起，点A折至𝐴1处(𝐴1∉平面𝐴𝐵𝐶𝐷)，若M为线段𝐴1𝐶的中点，则在△𝐴𝐷𝐸折起过程中，下列说法错误的是( )
A. 始终有𝑀𝐵//平面𝐴1𝐷𝐸
B. 不存在某个位置，使得𝐴1𝐶⊥平面𝐴1𝐷𝐸
2
C. 三棱锥𝐴1￣𝐴𝐷𝐸体积的最大值是2√3
D. 一定存在某个位置，使得异面直线BM与𝐴1𝐸所成角为30˚
10. 函数
的最大值是( )
A. B.
C.
D.
二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）
𝑓(𝑚+𝑛)=𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)，𝑓(1)=2，11. 已知函数𝑓(𝑥)满足：则
𝑓2(1005)+𝑓(2010)
𝑓(2009)
𝑓2(1)+𝑓(2)
𝑓(1)
+
𝑓2(2)+𝑓(4)
𝑓(3)
+
𝑓2(3)+𝑓(6)
𝑓(5)
+⋯+
=______．
12. 若直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0(𝑎>0,𝑏>0)把圆(𝑥+4)2+(𝑦+1)2=16分成面积相等的两部分，则
+取得最小值时，b的值为______．
2𝑎𝑏
13. 已知𝑎>0，若(𝑥2+1)(𝑎𝑥+1)6的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中𝑥2项的系数为
______ ．
14. (1)设数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=𝑛2+2020，则𝑎3的值为______． (2)不等式𝑥−2>2的解集是______．
B、C的对边分别为a、b、c，(3)在锐角𝛥 𝐴𝐵𝐶中，已知内角A、且𝑎=√7, 𝑏=3, sin𝐴+√7sin𝐵=2 √3，
则𝛥 𝐴𝐵𝐶的面积______．
1
1
2
(4)已知函数𝑓(𝑥)={
的和为______．
1𝑥2+2𝑥 , 𝑥≤0
，当𝑥∈[0,100]时，关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑥−5的所有解
𝑓(𝑥−1)+1 ,𝑥>0
15. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数，则𝐷(𝑌)=______． 16. 设当𝑥=𝜃时，函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥取得最大值，则𝑐𝑜𝑠𝜃= ．
2𝜋
⃗ 与⃗ ⃗ |=1，|⃗ 17. 平面向量𝑎𝑏的夹角为3，|𝑎𝑏|=1，则|3𝑎⃗ −2⃗ 𝑏|=______．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. (本小题满分13分)
19. 如图(1)所示，五边形ABEDC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°，M，P分别是线段DE，BC
的中点，且𝐵𝐸=𝑃=3𝐶𝐷=1，现沿BC翻折，使得∠𝑀𝑃𝐴=90°，得到的图形如图(2)所示．
1
(𝐼)证明：𝐷𝐸⊥平面APE；
(𝐼𝐼)若平面ADE与平面ABC所成角的平面角的余弦值为4，求AP的值．
1
20. 已知数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛与前n项和公式𝑆𝑛之间满足关系𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛．
(1)求𝑎1；
(2)求𝑎𝑛与𝑎𝑛−1(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)的递推关系； (3)求𝑆𝑛与𝑆𝑛−1(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)的递推关系．
21. 已知椭圆C：2+𝑦2=1的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2．
(1)若点P在椭图C上，且𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，求点P的坐标；
(2)直线𝑦=𝑘(𝑥−1)与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，当△𝑂𝑀𝑁的面积为3时，求k
的值．
2
𝑥2
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=2−𝑥(𝑎为实数)．
(Ⅰ)当𝑎=1时，求函数𝜙(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的最小值；
(Ⅱ)若方程𝑒2𝑓(𝑥)=1.5𝑔(𝑥)(其中e为自然对数的底数)在区间[0.5,2]上有解，求实数a的取值范围； (Ⅲ)若𝑢(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥2+2𝑚𝑥，当𝑦=𝑢(𝑥)存在两个极值时，求m的取值范围，并证明两个极值之
和小于 𝑇𝑛=
(2𝑛−1)⋅3𝑛−1
2
𝑎
,𝑛∈𝑁∗．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：因为集合𝐴={1,2，4}，𝐵={𝑥|𝑥2=1}={−1,1}， 所以𝐴∪𝐵={−1,1，2，4}． 故选：C．
通过解方程求出集合B，然后利用并集的运算法则求出𝐴∪𝐵即可． 本题考查集合的并集的求法，集合的基本知识，考查计算能力．
2.答案：B
解析：解：由𝑧(𝑙+𝑖)=2𝑖，得𝑧=1+𝑖=(1+𝑖)(1−𝑖)=1+𝑖， ∴|𝑧|=|𝑧|=√2． 故选：B．
把已知等式变形，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
−
−
−
2𝑖
2𝑖(1−𝑖)
3.答案：C
解析：可行域为直角三角形，其面积为𝑆=
×2
×
=2．
4.答案：A
解析：取𝑎=5，𝑏=−1，𝑐=2，𝑑=6，满足𝑎+𝑐>𝑏+𝑑.但推不出𝑎>𝑏且𝑐>𝑑; 而若𝑎>𝑏且𝑐>𝑑
𝑎+𝑐>𝑏+𝑑，故“𝑎+𝑐>𝑏+𝑑”是“𝑎>𝑐且𝑐>𝑑”的必要不充分条件．
5.答案：D
解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体(红颜色)． ∴此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3． 因此其球的表面积是4𝜋(√)2=3𝜋．
2故选：D．
由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线√3.即可得出．
3
本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.答案：C
解析：解：根据题意，函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，即函数𝑓(𝑥)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，
当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=
𝑥2−1𝑒𝑥，则区间(0,1)上，𝑓(𝑥)<0，在区间(1,+∞)上，𝑓(𝑥)>0，排除D，
当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，排除A， 故选：C．
根据题意，由𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)可得函数𝑓(𝑥)为偶函数，排除B，再分析𝑓(𝑥)>0与𝑓(𝑥)<0的区间，排除D，又由当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)→0，排除A，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．
7.答案：B
解析：
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于基础题．
求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率． 解析：
解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：𝑏𝑥+𝑎𝑦=0， 圆(𝑥−2)2+𝑦2=2的圆心(2,0)，半径为√2， 双曲线可得：𝑥2
−𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的渐近线与圆(𝑥−2)2+𝑦2=2相切， 𝑎2|2𝑏|√𝑎2+𝑏2𝑦2
=√2，
可得𝑎2=𝑏2，𝑐=√2𝑎， 𝑒=𝑎=√2． 故选B．
𝑐
8.答案：D
2𝑛2𝑛+2∣
解析：解：∵∣∣∣2𝑛+42𝑛+6∣∣=2𝑛(2𝑛+6)−(2𝑛+2)(2𝑛+4)=−8． 又2012=4+8(𝑛−1)，解得𝑛=252． ∴∣∣∣
46∣∣1214∣20122014∣∣++⋯+∣∣∣∣∣20162018∣∣=(4×10−6×8)+(12×18−16×14)+⋯+(2012×810∣∣1618∣
2018−2014×2016)
=−8×252 =−2016． 故选：D．
2𝑛2𝑛+2∣
利用∣∣∣2𝑛+42𝑛+6∣∣=2𝑛(2𝑛+6)−(2𝑛+2)(2𝑛+4)=−8.即可得出．
本题考查了行列式的计算、等差数列的通项公式、乘法公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.答案：D
DE交于H，解析：解：对于A，延长CB，连接𝐴1𝐻，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，
𝐵𝑀⊄平面𝐴1𝐷𝐸，𝐴1𝐻⊂平面𝐴1𝐷𝐸，又M为𝐴1𝐶的中点，可得𝐵𝑀//𝐴1𝐻，则𝐵𝑀//平面𝐴1𝐷𝐸，故A正确；
AC与DE不垂直，𝐴1𝐶在平面ABCD中的射影为AC，不论𝐴1在何位置，则DE与𝐴1𝐶不垂直，可得𝐴1𝐶与平面𝐴1𝐷𝐸不垂直，故B正确；
对于C，设O为DE的中点，连接𝑂𝐴1，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得𝑂𝐴1=√2， 当平面𝐴1𝐷𝐸⊥平面ADE时，三棱锥𝐴1−𝐴𝐷𝐸的体积最大，最大体积为𝑉=3𝑆△𝐴𝐷𝐸⋅𝐴1𝑂=
1
1
×2×22×√2=3
1
2√2
，故3
C正确；
对于D，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=4，过E作𝐸𝐺//𝐵𝑀，𝐺∈平面𝐴1𝐷𝐶，则∠𝐴1𝐸𝐺是异面直线BM与𝐴1𝐸所成的角或所成角的补角，
且∠𝐴1𝐸𝐺=∠𝐸𝐴1𝐻，在△𝐸𝐴1𝐻中，𝐸𝐴1=2，𝐸𝐻=𝐷𝐸=2√2，𝐴1𝐻=√22+2×22−2×2×2√2×𝑐𝑜𝑠135°=2√5，
则∠𝐸𝐴1𝐻为定值，即∠𝐴1𝐸𝐺为定值，∴不存在某个位置，使得异面直线BM与𝐴1𝐸所成角为30˚，故D错误． 故选：D．
对于A，延长CB，DE交于H，连接𝐴1𝐻，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得𝐵𝑀//平面𝐴1𝐷𝐸，即可判断A；
对于B，不论𝐴1在何位置，𝐴1𝐶在平面ABCD中的射影为AC，由AC与DE不垂直，得DE与𝐴1𝐶不垂直，从而可得𝐴1𝐶与平面𝐴1𝐷𝐸不垂直，由此判断B；
对于C，由题意知平面𝐴1𝐷𝐸⊥平面ADE时，三棱锥𝐴1−𝐴𝐷𝐸的体积最大，求出即可；
对于D，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，求出异面直线所成的角，说明D错误．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
10.答案：B
解析：试题分析：根据均值不等式：故选B．
考点：1.均值不等式．
，
，则
，
11.答案：4020
解析：解：∵𝑓(𝑚+𝑛)=𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)， ∴𝑓(2𝑛)=𝑓(𝑛)𝑓(𝑛)，即𝑓(2𝑛)=𝑓2(𝑛)， 且有：𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)𝑓(1)=2𝑓(𝑛)，即∴则
𝑓2(1)+𝑓(2)
𝑓(1)
𝑓(𝑛+1)𝑓(𝑛)
=2
+
𝑓2(2)+𝑓(4)
𝑓(3)
+
𝑓2(3)+𝑓(6)
𝑓(5)
+⋯+
𝑓2(1005)+𝑓(2010)
𝑓(2009)
=
2𝑓(2)2𝑓(4)2𝑓(2010)
++⋯+ 𝑓(1)𝑓(3)𝑓(2009)=2×2+2×2+⋯+2×2=4×1005=4020． 故答案为4020．
由题中条件：“𝑓(𝑚+𝑛)=𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)”利用赋值法得到子即得．
本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
𝑓(𝑛+1)𝑓(𝑛)
=2和𝑓(2𝑛)=𝑓2(𝑛)，后化简所求式
12.答案：2 解析：解：直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0(𝑎>0,𝑏>0)把圆(𝑥+4)2+(𝑦+1)2=16分成面积相等的两部分， 故直线过圆心(−4,−1)点，代入得−4𝑎−𝑏+1=0，即4𝑎+𝑏=1， (2𝑎+𝑏)(4𝑎+𝑏)≥(√2+√2)2=8，当且仅当𝑏=4𝑎=2成立， 故答案为：2．
根据题意得4𝑎+𝑏=1，代入利用柯西不等式求出即可． 考查直线与圆的位置关系，柯西不等式的应用，基础题．
1
1
2
1
1
13.答案：61
解析：
本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．
根据展开式中各项系数的和求出a的值，再由通项公式𝑇𝑟+1求出展开式中𝑥2项的系数． 解：根据题意，展开式中各项系数的和是(12+1)(𝑎+1)6=1458， ∴𝑎=2，
𝑟
⋅(2𝑥)𝑟， (2𝑥+1)6的通项公式是𝑇𝑟+1=𝐶6
2∴展开式中𝑥2项的系数是1+𝐶6×4=61．
故答案为：61．
14.答案：(1) 5
(2){𝑥|2<𝑥<2} (3)
3√3 2
5
(4)10000
解析：
(1)
本题考查数列的前n项和的概念，属基础题． 解：因为𝑆𝑛=𝑛2+2020，
所以𝑎3=𝑆3−𝑆2=2020+9−(2020+4)=5， 故答案为5．
(2)
本题考查分式不等式的解法，属基础题． 注意不能直接去分母． 解：将𝑥−2>2变形为：
2𝑥−5
1
2(𝑥−2)−1𝑥−2
<0，
5
即𝑥−2<0，即(2𝑥−5)(𝑥−2)<0，解得2<𝑥<2， 所以原不等式的解集为{𝑥|2<𝑥<2}， 故答案为{𝑥|2<𝑥<2}．
(3)
本题考查三角形的正弦定理、面积公式，三角形内三角函数问题，属中档题．
5
5
灵活运用正弦定理是关键，由正弦定理得𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵，代入sin𝐴+√7sin𝐵=2√3，进而求出𝑠𝑖𝑛𝐴=
√3，𝑠𝑖𝑛𝐵2
=27 ，𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)=
√𝑎
𝑏
3√3√3，即可求面积． √7解：由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵⇒𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵，因为𝑎=√7,𝑏=3, 则sin𝐴+√7sin𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=4𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=2√3， 所以𝑠𝑖𝑛𝐴=√，又𝛥𝐴𝐵𝐶锐角三角形，所以𝑐𝑜𝑠𝐴=2，
231
代入sin𝐴+√7sin𝐵=2√3， 解得𝑠𝑖𝑛𝐵= ,𝑐𝑜𝑠𝐵=27， 27√√3√31所以𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=所以𝑆=𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=×3×√7×
22故答案为
3√3． 21
1
√3√7√3 √7=
3√3， 2
(4)
本题考查分段函数、函数的解析式和方程的根的和，涉及一元二次方程的根的韦达定理属难题． 根据函数解析式求分段函数在各段上的根的和，找出规律即可．
解：当𝑥∈[0,1) 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2+2(𝑥−1)+1=𝑥2，令𝑓(𝑥)=𝑥−5， 得𝑥2−𝑥+5=0，所以𝑥1+𝑥2=1;
当𝑥∈[1,2) 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2+1，令𝑓(𝑥)=𝑥−5，得𝑥3+𝑥4=3， 当𝑥∈[2,3) 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−2)2+2，令𝑓(𝑥)=𝑥−5，𝑥5+𝑥6=5，
........
当𝑥∈[𝑛,𝑛+1) 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑛)2+𝑛，令𝑓(𝑥)=𝑥−5，𝑥2𝑛+1+𝑥2𝑛+2=2𝑛+1; 当𝑥∈[99,100) 时，𝑓(𝑥)=(𝑥−99)2+99，令𝑓(𝑥)=𝑥−5，𝑥199+𝑥200=199， 关于x的方程𝑓(𝑥)=𝑥−5的所有解的和1+3+5+⋯+199=故答案为10000．
1
100(199+1)
2
1111
1
1
=10000，
15.答案：9 解析：解：设失败率为p，则成功率为2p． “𝑌=0”表示试验失败，“𝑌=1”表示试验成功，
2
由𝑝+2𝑝=1得𝑝=3， ∴𝑃(𝑌=0)=．
3𝑃(𝑌=1)=，
3∴𝑌的分布列为： Y P 𝐸(𝑌)=0×+1×=，
333
𝐷(𝑌)=(0−)2×+(1−)2×=． 33339故答案为：9．
设失败率为p，则成功率为2𝑝.由𝑝+2𝑝=1得𝑝=3，从而𝑃(𝑌=0)=3.𝑃(𝑌=1)=3，由此能求出𝐷(𝑌)．
本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
5 16.答案：√5
1
1
2
22
1
2
2
2
1
2
2
21
1
0 1 31 2 3解析：
本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．
根据三角函数的诱导公式进一步分析得𝑐𝑜𝑠𝜃=−𝑠𝑖𝑛𝛼，从而求出𝑐𝑜𝑠𝜃的值即可． 解：函数𝑓(𝑥)=−2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=−√5(√5𝑠𝑖𝑛𝑥−√5𝑐𝑜𝑠𝑥)=−√5sin(𝑥+𝛼)， (其中，𝑐𝑜𝑠𝛼=5，𝑠𝑖𝑛𝛼=−5)，
√√当𝑥=𝜃时，函数𝑓(𝑥)取得最大值−√5sin(𝜃+𝛼)， ∴𝜃+𝛼=2𝑘𝜋−，𝑘∈𝑍，即𝜃=2𝑘𝜋−−𝛼，𝑘∈𝑍， 22∴𝑐𝑜𝑠𝜃=cos(2𝑘𝜋−−𝛼)=cos(+𝛼)=−𝑠𝑖𝑛𝛼=
2
2
𝜋
𝜋
√5， 5
𝜋
𝜋
2121故答案为：√．
5
517.答案：√19 2𝜋1
⃗ ⋅⃗ 𝑏=−2， ⃗ 与⃗ ⃗ |=1，|⃗ 解析：解：根据题意，平面向量𝑎𝑏的夹角为3，|𝑎𝑏|=1，则𝑎
2
则|3𝑎⃗ −2⃗ 𝑏|2=9𝑎⃗ +4⃗ 𝑏−12𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=19，
2
则|3𝑎⃗ −2⃗ 𝑏|=√19； 故答案为：√19
2⃗ =−，又由|3𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ |2=9𝑎⃗ −12𝑎⃗ ，计算可根据题意，由数量积的计算公式可得𝑎⃗ −2𝑏⃗ +4𝑏⃗ ⋅𝑏2
1
2
得|3𝑎⃗ −2⃗ 𝑏|2的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．
18.答案：(1)∵向量
。
(2)由(1)知：𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥
。
∵𝑥∈
，
∴
，
∴𝑓(𝑥)的单调区间：
单调减区间为
，
单调增区间为
，
最小值为
。
解析：(1)∵向量
。
(2)由(1)知：𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥
。
∵𝑥∈
，
∴
，
∴𝑓(𝑥)的单调区间：
单调减区间为
，
单调增区间为
，
最小值为
。
19.答案：证明：(1)如图，连结PD，
∵∠𝑀𝑃𝐴=90°，且∠𝑀𝑃𝐴是二面角的平面角， ∴平面𝐴𝐵𝐶⊥平面BCDE，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，P为线段BC的中点，∴𝐴𝑃⊥𝐵𝐶， ∵平面𝐴𝐵𝐶∩平面𝐵𝐶𝐷𝐸=𝐵𝐶，𝐴𝑃⊂平面ABC， ∴𝐴𝑃⊥平面BCDE，
∵𝐷𝐸⊂平面BCDE，∴𝐴𝑃⊥𝐷𝐸，
∵𝐵𝐸=1，𝐵𝐶=2，𝐶𝐷=3，∴𝐷𝐸=2√2，𝐸𝑃=√2，𝐷𝑃=√10， ∴𝐷𝐸2+𝐸𝑃2=𝐷𝑃2，∴𝐷𝐸⊥𝐸𝑃， ∵𝐴𝑃∩𝐸𝑃=𝑃，∴𝐷𝐸⊥平面APE． 解：(Ⅱ)∵𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，∴𝑃𝑀⊥𝐵𝐶，
由(Ⅰ)知𝐴𝑃⊥平面BCDE，∴𝑃𝐵，PA，MP两两垂直， 如图建立空间直角坐标系𝑃−𝑥𝑦𝑧，
设𝐴𝑃=𝑡，(𝑡>0)，则𝐴(0,t，0)，𝐷(−1,0，3)，𝐸(1,0，1)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−𝑡,3)，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2)， 则𝐴𝐷
⃗⃗⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面ADE的法向量𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝑥−𝑡𝑦+3𝑧=0⃗⃗⃗ ⋅⃗𝑚𝐴𝐷
⃗⃗⃗ =(𝑡,2，𝑡)， 则{，令𝑥=𝑡，得𝑚
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⋅𝐷𝐸=2𝑥−2𝑧=0𝑚⃗ =(0,0，1)是平面ABC的一个法向量， 𝑛
∵平面ADE与平面ABC所成角的平面角的余弦值为4， ∴|𝑚=⃗⃗⃗ |⋅|𝑛⃗⃗ |
|𝑚⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗⃗ |
|𝑡|√2𝑡2+41
=4，
14
14
7
7
1
由𝑡>0，解得𝑡=√，故A𝑃=√．
(1)连结PD，𝐴𝑃⊥𝐵𝐶，𝐴𝑃⊥平面BCDE，𝐴𝑃⊥𝐷𝐸，𝐷𝐸⊥𝐸𝑃，解析：推导出平面𝐴𝐵𝐶⊥平面BCDE，由此能证明𝐷𝐸⊥平面APE．
(Ⅱ)由𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，得𝑃𝑀⊥𝐵𝐶，PB，PA，MP两两垂直，建立空间直角坐标系𝑃−𝑥𝑦𝑧，利用向量法能求出AP的值．
本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.答案：解：(1)根据题意，数列{𝑎𝑛}满足𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛，
当𝑛=1时，有𝑆1=𝑎1=2−3𝑎1， 解可得𝑎1=2；
(2)根据题意，数列{𝑎𝑛}满足𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛，① 当𝑛≥2时，有𝑆𝑛−1=2−3𝑎𝑛−1，②，
①−②可得：𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1−3𝑎𝑛，变形可得：𝑎𝑛=4𝑎𝑛−1， 即𝑎𝑛与𝑎𝑛−1的递推关系为𝑎𝑛=4𝑎𝑛−1，(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗) (3)数列{𝑎𝑛}满足𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛，则有𝑆𝑛=2−3(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)， 变形可得：𝑆𝑛=
3𝑆𝑛−1+2
4
3
3
1
，(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)，
3𝑆𝑛−1+2
4
即𝑆𝑛与𝑆𝑛−1的递推关系为𝑆𝑛=，(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)
解析：(1)根据题意，在𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛中，令𝑛=1可得𝑆1=𝑎1=2−3𝑎1，解可得𝑎1的值，即可得答案；
(2)根据题意，有𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛变形可得𝑆𝑛−1=2−3𝑎𝑛−1，两式相减，变形可得答案； (3)根据题意，分析可得𝑆𝑛=2−3(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)，对此变形即可得答案． 本题考查数列的递推公式以及前n项和性质的应用，注意𝑆𝑛=2−3𝑎𝑛的变形．
21.答案：解：(1)设𝑃(√2𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼)，∵𝐹1(−1,0)，𝐹2(1,0)，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，∴(√2𝑐𝑜𝑠𝛼+1)(√2𝑐𝑜𝑠𝛼−1)+𝑠𝑖𝑛𝛼⋅𝑠𝑖𝑛𝛼=0(√2𝑐𝑜𝑠𝛼−1)+𝑠𝑖𝑛𝛼⋅∴⃗𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0，𝑠𝑖𝑛𝛼=0，
∴2𝑐𝑜𝑠2𝛼−1+sin2𝛼=0，∴𝑐𝑜𝑠𝛼=0，𝑠𝑖𝑛𝛼=±1，
∴𝑃(0,±1)
𝑦=𝑘(𝑥−1)(𝑘≠0)12
(2)联立{2消去x得(𝑘2+2)𝑦2+𝑘𝑦−1=0， 2
𝑥+2𝑦=2设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，
则𝑦1+𝑦2=−
1+2𝑘22𝑘
=−1+2𝑘2，𝑦1𝑦2=−
2𝑘
1
1+2𝑘2=−
1+2𝑘2，
𝑘2
𝑆△𝑂𝑀𝑁
=2
1114𝑘24𝑘2
2 =|𝑂𝐹2||𝑦1−𝑦2|=√(𝑦1+𝑦2)−4𝑦1𝑦2=√+
222(1+2𝑘2)21+2𝑘2=
√4𝑘2(2+2𝑘2)2(1+2𝑘2)
1√4𝑘2+4𝑘2(1+2𝑘2)1+2𝑘2=3，化简得𝑘4+𝑘2−2=0，
2
解得，𝑘2=1，∴𝑘=±1．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析：(1)设𝑃(√2𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼)，根据⃗𝑃𝐹1⋅𝑃𝐹2=0可解得；
(2)联立直线与椭圆，消去x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理以及𝑆△𝑂𝑀𝑁=2|𝑂𝐹||𝑦1−𝑦2|=3解方程可得．
本题考查了椭圆的性质，属中档题．
1
2
22.答案：解：(Ⅰ)当𝑎=1时，𝜙(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)=𝑙𝑛𝑥+𝑥−2，则𝜙′(𝑥)=𝑥−𝑥2=
∵在区间(0,1]上，𝜑′(𝑥)≤0，在区间[1,+∞)上，𝜑′(𝑥)≥0 ∴𝜑(𝑥)在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增 ∴𝜑(𝑥)的最小值为𝜙(1)=0．
(Ⅱ)∵方程𝑒2𝑓(𝑥)=2𝑔(𝑥)在区间[2,2]上有解 即𝑒2𝑙𝑛𝑥=3−2𝑥在区间[2,2]上有解， 即𝑎=2𝑥−3𝑥3在区间[2,2]上有解， 令ℎ(𝑥)=2𝑥−3𝑥3，𝑥∈[2,2]，
∴ℎ′(𝑥)=2−2𝑥2=2(1−𝑥)(1+𝑥)
∵在区间[2,1]上，ℎ′(𝑥)≥0，在区间[1,2]上，ℎ′(𝑥)≤0 ∴ℎ(𝑥)在区间[2,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减， 又ℎ(2)=12,ℎ(1)=3,ℎ(2)=−3∴ℎ(2)≤ℎ(𝑥)≤ℎ(1) 即−3≤ℎ(𝑥)≤3∴𝑎∈[−3,3]，
(Ⅲ)∵𝜇(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥2+2𝑚𝑥=𝑙𝑛𝑥+𝑥2+2𝑚𝑥 ∴𝜇′(𝑥)=𝑥+2𝑥+2𝑚=
1
2𝑥2+2𝑚𝑥+1
𝑥
4
4
44
1
11
4
4
1
1
2
1
2
1
3𝑎
13
1
111𝑥−1𝑥2 ，
2
∴当{△=4𝑚−8>0即𝑚∈(−∞,−√2)时，𝑦=𝜇(𝑥)存在极值，
−𝑚>0
设函数𝑦=𝜇(𝑥)的极值点为𝑥1，𝑥2则𝑦=𝜇(𝑥)的极值为𝜇(𝑥1)，𝜇(𝑥2) 则𝑥1+𝑥2=−𝑚,𝑥 1𝑥2=2，
22
∴𝜇(𝑥1)+𝜇(𝑥2)=𝑙𝑛𝑥1+𝑥1+2𝑚𝑥1+𝑙𝑛𝑥2+𝑥2+2𝑚𝑥2
1
=𝑙𝑛𝑥1𝑥2+(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2+2𝑚(𝑥1+𝑥2) =−𝑙𝑛2+𝑚2−1−2𝑚2
=−𝑚2−1−𝑙𝑛2<−3−𝑙𝑛2．
解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值单调性，最值，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
(Ⅰ)利用𝑎=1，求出函数𝜙(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值； (Ⅱ)方程𝑒2𝑓(𝑥)=1.5𝑔(𝑥)(其中e为自然对数的底数)在区间[0.5,2]上有解，转化为𝑎=2𝑥−3𝑥3在区间[2,2]上有解，
构造新函数，利用函数的导数求出函数的最值，即可求实数a的取值范围；
(Ⅲ)𝜇(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥2+2𝑚𝑥=𝑙𝑛𝑥+𝑥2+2𝑚𝑥，求出导数，利用两个极值点，列出不等式组，设函数𝑦=𝜇(𝑥)的极值点为𝑥1，𝑥2，
𝑦=𝜇(𝑥)的极值为𝜇(𝑥1)，𝜇(𝑥2)，通过韦达定理以及𝜇(𝑥1)+𝜇(𝑥2)化简即可．
1
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