知识点 矩形性质与判定的应用
1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．对边分别相等 B．对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )
A．22°，68° B．44°，66° C．24°，66° D．40°，50°
4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为( )
A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.5
图1－2－31
图1－2－32
5．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．
6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点
B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________ cm.
图1－2－33
图1－2－34
7．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．
8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为
E.求证：AE＝CE.
图1－2－35
9．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是( )
1
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
2C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
图1－2－36
图1－2－37
10．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交
DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 3
11．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )
图1－2－38
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
12．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交
AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为
________cm.
图1－2－39
图1－2－40
13．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，
PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．
14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，
AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．
图1－2－41
15．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.
求证：四边形EFPH为矩形．
图1－2－42
16．2016·贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
图1－2－43
17．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形
ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.
(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．
(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：
①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．
图1－2－44
1．D 2.A 3.A 4．D 5．20. 6．5.8. 7．4
8．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠D＋∠DCE＝90°. ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCF＋∠DCE＝90°， ∴∠BCF＝∠D.
在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD， ∴△BCF≌△CDE(AAS)， ∴BF＝CE.
∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE， ∴四边形AEFB是矩形， ∴AE＝BF， ∴AE＝CE. 9．B 10．A . 11．B
12．5 13．2AB＝BC
14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD. ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD，∴AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． (2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B， ∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC. 15．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形， ∴BE∥DP.
∵AD＝BC，DE＝BP， ∴AE＝CP.
又∵AD∥BC，即AE∥CP， ∴四边形AECP是平行四边形， ∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，
AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，
∴CE＝5，同理BE＝2 5， ∴BE＋CE＝BC， ∴∠BEC＝90°， ∴四边形EFPH为矩形．
16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB.
11
由折叠的性质可得：∠ABE＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB，
22∴∠ABE＝∠CDF.
∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，AB＝CD，
∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)， ∴AE＝CF.
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形． 证法二：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.
11
由折叠的性质得∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，
22∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF. 又∵DE∥BF，
2
2
2
∴四边形BFDE为平行四边形． (2)∵四边形BFDE为菱形， ∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°. 在Rt△ABE中，∵AB＝2，
2
2 34＝，BE＝2AE＝ 3，
333
∴AE＝
2 34
∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝＋ 3＝2 3.
3317．解：(1)证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形， ∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°， ∴∠ABC＝∠DBF. 又∵BA＝BD，BC＝BF， ∴△ABC≌△DBF， ∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． (2)①∠BAC＝150° ②AB＝AC≠BC ③∠BAC＝60°
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