1．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB． （1）证明：BD∥平面CEF；
（2）若PA⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
，设点
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD． （1）证明：SH⊥平面BCDE． （2）求二面角C﹣SB﹣E的余弦值．
3．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱A1A与底面ABC所成角为60°，AA1＝AB＝2，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点G为△
ABC的重心，点E在BC1上，且（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；
．
（Ⅱ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC； （Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．
，G是PB的中点，△PAD
5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，
，点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足
，已知使得异面直
线MN与AC所成角的余弦值为（1）求λ1，λ2的值；
的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．
（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．
1．已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF＝2FB． （1）证明：BD∥平面CEF；
（2）若PA⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
，设点E
【解答】（1）证明：连接PD交CE于G点，连接FG， ∵点E为PA的中点，点D为AC的中点， ∴点G为△PAC的重心，则PG＝2GD， ∵PF＝2FB，∴FG∥BD，
又∵FG⊂平面CEF，BD⊄平面CEF， ∴BD∥平面CEF；
（2）解：∵AB＝AC，PB＝PC，PA＝PA， ∴△PAB≌△PAC，
∵PA⊥AC，∴PA⊥AB，可得PA＝2，
又∵AB⊥AC，则以AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），E（0，0，1），
，
设平面PBC的一个法向量为
，
，
．
由，取z＝1，得．
设直线CE与平面PBC所成角为θ，则
sinθ＝|cos|．
∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD． （1）证明：SH⊥平面BCDE． （2）求二面角C﹣SB﹣E的余弦值．
【解答】（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM， 由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2， 又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．
∵SC＝SD，点M是线段CD的中点，∴SM⊥CD．
又∵HM⊥BC，∴HM⊥CD，从而CD⊥平面SHM，得CD⊥SH， 又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE；
（2）解：（方法一）取BS的中点N，BC上的点P，使BP＝2PC，连接HN，PN，PH， 可知HN⊥BS，HP⊥BE．
由（1）得SH⊥HP，∴HP⊥平面BSE，则HP⊥SB， 又HN⊥BS，∴BS⊥平面PHN，
∴二面角C﹣SB﹣E的平面角为∠PNH． 又计算得NH＝1，
，
，
∴．
（方法二）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交BC于点G，
以点H为坐标原点，HG，HM，HS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，
则点B（1，﹣1，0），C（1，2，0），E（﹣1，1，0），∴
，
，，
．
，
设平面SBE的法向量为
由
设平面SBC的法向量为
，令y1＝1，得
，
．
由
，令z2＝1，得．
∴cos．
∴二面角C﹣SB﹣E的余弦值为．
3．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1⊥底面ABC，侧棱A1A与底面ABC所成角为60°，AA1＝AB＝2，底面△ABC是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，点G为
△ABC的重心，点E在BC1上，且（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；
．
（Ⅰ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：过B作BD⊥A1B1交A1B1于D， ∵AB∥A1B1，∴BD⊥AB，
又侧面A1ABB1⊥底面ABC，∴DB⊥底面ABC，
∴∠A1AB＝60°，得△A1BB1为等边三角形，从而D为A1B1的中点，得
．
以B为原点，分别以BC，AB，BD所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，
由题意得：A（0，﹣2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），
，
由
，得
，
，
，
∴，又，
∴∵
，而
为平面A1ABB1的一个法向量，
，∴GE⊥BC，又GE⊄平面A1ABB1，∴GE∥平面A1ABB1；
（Ⅰ）解：由（Ⅰ）得：，，
，
设
．
是平面B1GE的法向量，
则而
，令，得．
是平面ABC的一个法向量，
记平面B1GE与平面ABC所成锐二面角为θ，
则．
∴平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC； （Ⅰ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．
，G是PB的中点，△PAD
【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB， 设OB交AC于H，连结GH．
∵AD∥BC，，
∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形 ∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC， ∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点， ∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD． PO⊂平面PAD且PO⊥AD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵CD⊂平面ABCD， ∴PO⊥CD，
∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO， ∴GH⊥CD．
又∵GH∩AC＝H，AC，GH⊂平面GAC， ∴CD⊥平面GAC；
（Ⅰ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以
，
，
的方向为x轴、
y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
设AD＝4，则P（0，0，2），A（0，﹣2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，
，）．
（0，2，2），（，，）．
设平面PAG的一法向量（x，y，z）．
由，得，即．令z＝1，则
．
（1，，1）．
由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量
∴二面角P﹣AG﹣C的平面角θ的余弦值cosθ．
5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，
，点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足
，已知使得异面
直线MN与AC所成角的余弦值为（1）求λ1，λ2的值；
的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．
（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）取AB中点O，连结PO，CO，
∵在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC，
，
∴OB、OC、OP两两垂直，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， ∵点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足∴P（0，0，2
），B（2，0，0），C（0，2
，
，0），A（﹣2，0，0）， ，﹣2
），
，0），M（1，
）＝λ（0，2
设N（a，b，c），由解得N（0，2∴
，2
，2
，得（a，b，c﹣2），
），
（﹣1，2（2，2，0），
∵使得异面直线MN与AC所成角的余弦值为
的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．
∴|cos|，
即22λ2﹣29λ+9＝0．解得
，；
（2）当λ＝λ1时，N（0，，），
．
，．
设平面AMN的一个法向量为
由
又平面AMC的一个法向量为
，取z，得．
．
∴cos．
∴二面角N﹣AM﹣C的余弦值为．
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