立体几何大题训练及答案

直角三角形，ABAE2,FAFE,AEF45 （1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，

求证：PM//平面BCE；

（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值.

E F M A . B

D

. P

C

解：（1）取AB的中点为N，连MN,PN,则MN//EB,PN//BC

面

PMNEBCPM//平面BCEFEEBCFCECFBCEAB//DE(1)求证：AO平面CDE；

(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值

A B tanFCEFEEC66C O D

E

3、如图，在△ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB上，PE//BC交AC于

E，PF//AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A'PE，使平面A'PE平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B'PF，使平面B'PF平面ABC．

（1）求证：B'C//平面A'PE；

（2）若AP2PB，求二面角A'PCE的平面角的正切值．

CEAA'B'FB

CEAPFBP解：（1）因为FC//PE，FC平面A'PE，所以FC//平面A'PE．

因为平面A'PE平面PEC，且A'EPE，所以A'E平面ABC． …2分 同理，B'F平面ABC，所以B'F//A'E，从而B'F//平面A'PE． …4分 所以平面B'CF//平面A'PE，从而B'C//平面A'PE． （2）因为ACBC3a，AP2BP，

所以CEa，EA2a，PE2a，PC5a． 过E作EMPC，垂足为M，连结AM．

…8分

…6分

A'B'FB

CE

MP

（第20题）

A

由（1）知A'E平面ABC，可得AEPC， 所以PC面AEM，所以AMPC．

所以A'ME即为所求二面角A'PCE的平面角，可记为． 在Rt△PCE中，求得EM所以tan25a， 5 …12分

AE2a5． EM25a5 …15分

4、如图，DA平面ABC，ED平面BCD，DE=DA=AB=AC.BAC1200，M为BC中点. (1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值； (2)P为线段DM上一点，且APDM，求证：AP 解：(1) E

D P A C

M

ED平面BCD，DM为EM与平面BCD为EM在平面BCD

上的射影， B

EMD分

所成角． ……………………2

QDA平面ABC，DAAB,DAAC， 设ABEa，又QDAABAC，DC120，BCDB3a，

2a．D 在△ABC中，QBAC 又QM BM为BC中点，DMBC，

P13BCa，DM2252a．…5分

BAMC 在Rt△EDM中，EM sinEMDDE2DM2

3a， 2

DEa2． EM3a32………………………7分

（2）ABAC，M为BC中点，BCAM．又DA平面ABC，

BCDA，BC

……………………9分

平面DAM．

又AP 又 又平面DAM，BCAP，

……………………11分

APDM，AP平面BCD． ……………………13分

……………………14分

ED平面BCD，AP//DE．

5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CEAF(1)． （1）证明：BD⊥EF；

（2）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值

为

32，求的值． 10E F

A

B C 解：（1）连结BD、AC，交点为Ｏ．∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ……2分 ∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ……4分 ∴BD⊥平面ACEF ……6分 ∴BD⊥EF ……7分

（2）连结OE，由（1）知，BD⊥平面ACEF，

所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角． ……10分 ∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF ，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC， ∵BC =1，AF＝1，则CE＝，BE＝12，BO＝

2， 2D ∴Rt△BEO中， sinBEOBO232， …13分 BE21210因为1，解得

4． ……15分 36、如图，在几何体中，AA1平面ABC，ABBC,CC1//AA1,ABBCAA12, CC11,D,E分别是AB,AA1的中点. (1)求证：BC1//平面CDE；

(2)求二面角EDCA的平面角的正切值.

A1

E A D

B

C1

C

解：（1）连接ACR1R交EC于点F，由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点，

连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABCR1R的中位线，

∴ BCR1R 7分 (2) 作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE， ∵ AAR1R⊥平面ABC，∴ AAR1R⊥DC，

∴ CD⊥平面AHE， ∴ CD⊥EH，

∴ AHE是二面角E – CD – A的平面角. 11分 ∵ D是AB的中点，

∴ AH等于点B到CD的距离，

在△BCD中，求得：AH＝

25， 5AE5 AH2 在△AEH中， tanAHE即所求二面角的正切值为

5. 27、如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC, （1）求证：PA//平面QBC；

（2）若PQ平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值.

解：（1）证明：过点Q作QDBC于点D，

∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD平面ABC……2分 又∵PA⊥平面ABC

Q P

C B

A

∴QD∥PA, ………………2分 又∵QD平面QBC

∴PA∥平面QBC ………………6分

（2）∵PQ平面QBC

∴PQBPQC90，又∵PBPC,PQPQ

∴PQBPQC ∴BQCQ ………………8分 ∴点D是BC的中点，连结AD，则ADBC ∴AD平面QBC ∴PQ∥AD，ADQD

∴四边形PADQ是矩形 ………………10分 设PAABAC2a 得：PQADo2a，PD6a

又∵BCPA,BCPQ，∴BC平面PADQ，

从而平面PBC平面PADQ，过Q作QHPD于点H，则：QH平面PBC ∴QCH是CQ与平面PBC所成角 ………………………………………………12分

∴QH22a23a，CQBQ6a

36QH2312 CQ3362…………………………14分 3sinQCH∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为

8、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，ACB900，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心. (1)求证：DE

A1

B1

E A

B

C1

D

C

9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，

B1

A1

C1

∠B=90°,

D为棱BB1的中点。

（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C； （2）若

AA12，求二面角A—A1D—C的大小。 AB

10、如图，在四棱锥

P-ABCD

中，PA⊥平面

ABCD，

P M D C D

E

A

E

F

G

B

P

G

D A C F C B

AB

ABCDAB//DCEFABDEABCFABCF3,EFFB2GFBAEtADE,BCFDE,CFABPPEFCD（1）求证：PD//平面EGC；

（2）当EG面PFC时,求DG与平面

PED所成角的正切值.

（1）证明：连接DF交EC于点M，连接MG

DMCM,G为中点 PD//MG 又PD面EGC

MG面EGC PD//平面EGC———5分

（2）当EG面PFC时, EGPF 又G为FB的中点， EFNEFEP2，t2—————7分

过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为N，连接DN.

GPDE面PEF 面PED面PEF GN面PED

GDN即为DG与平面PED所成角.——————11分

易求得GN

12、如图，在四边形ABCD中，ABAD4，BCCD3217,所以DG与平面PED所成角的正切值为.——14分 ,DN2277，点E为线段AD上的

一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC平面ABCE，连接PA，

PB.

(1)证明：BD平面PAC；

(2)若BAD60，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.

解：(1)连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中， ∵ABAD4，BCCDP D C

E A

B

7

∴ABCADC，∴DACBAC,∴ACBD

又∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC ∴BD平面PAC………… 6分

(2)如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC

并取AO中点F，连接EF，

∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC，PHAC ∴PH平面ABCE，∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角， 由(Ⅰ)可知，ACBD，且AO23，CO又PE2，PC3，

7，设CHx，则有

PH7x2，EHPE2PH2x23

又∵F为AO的中点，在RtEFH中，FH23x，EF1

22由勾股定理得，(23x)1x3，解得x43， 3∴EH253，PH3 33EH3. PE3∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即sinPEH

13、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=AA1 =2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，∠AA1C1=∠BAC1=60°，

设AC1与AC相交于点O，如图． （1）求证：BO⊥平面AA1C1C； （2）求二面角B1—AC1—A1的大小。

B B1

C A O A1

C1

14、如图1，四面体PABC中，BC=BP=1，AC=AP=3，AB=2，将PAB沿直线AB翻折至P1AB，使点A,P1,B,C在同一平面内(如图2)，点M为PC中点. (1)求证：直线PP1//平面MAB； (2) 求证：PCAB；

(3)求直线PA与平面P1PC所成角的大小.

P

A M

C

B

C

P

A

P1

B

答案：（3）、

 3