2010年浙江省数学高考理科试题第20题之思考

・３８・　中学教研（数学）　２０】０卑　的提高．近几年高考试题开发了研究型、探索型和　开放型等体现数学素质的能力型试题，学生要在主　动探究知识、分析思考和解决问题的过程中，理解　知识，掌握数学思想方法和解决问题的策略，提高　能力．　制难度；掌握层次要求的内容既可以出难题，也可　以出中等题与容易题．作为新的高考热点，当然应　成为复习的重点．　（４）要认真学习《学科指导意见》，确定复习的　内容和重点．只有紧扣《学科指导意见》，才能科学、　合理地安排复习，从而提高效率．以不变应万变，构　（３）合理安排该模块的训练难度，把握复习的　重点和热点．对于了解层次要求的知识点要严格控　建知识网络，集中精力破解学习中的疑难问题．　２　０　１　０年浙江省数学高考理科试题第２０题之思考　●郑明杰　（余杭第二高级中学浙江杭州３１１ｌｏｏ）　２０１０年浙江省数学高考理科立体几何试题的　抽象位置关系与数量关系，实现几何问题代数化．　设计可谓是匠心独具，无论在取材背景还是命题立　命题背景设计体现了公平性原则．　意上都令人耳目一新，体现了重基础、立意高、思路　１．２回归数学本质，解答灵活多样　活、讲公平的命题特征．　试题中探索的结论是求二面角的余弦值，因此　１亮点扫描　首先要明确二面角的含义，即什么是二面角，二面　１．１　凸显课改理念，体现公平原则　角的平面角通常有哪些表现形式？它是如何度量　不难看出，２０１０年浙江省数学高考理科试题　的？只有把握二面角的本质，理解求空问角中向量　第２０题从背景设计到方法的选择，有如下设计痕　的工具性，就不难找到解决的基本线索．　迹：　１．３立足能力立意，突出思想内涵　试题中用取材翻折的方式来考查学生的空间　想象能力是本题的一大亮点．通过对空间图形与平　面图形的对比，实现位置与数量关系的确认，寻找　合适的突破方法．这种问题解决的过程蕴含了解决　立体几何问题的“降维”思想与数形结合思想，体　由此可见，试题的设计方式很好地诠释了新课　现了从平面几何到立体几何的螺旋递进（如图２　程所倡导的动手实践、自主探索，体验数学发现和　所示）；经过２次翻折，使点Ａ　与点ｃ重合后计算　创造的历程理念．同时，考查意图也是围绕课程标　ＭＦ长度的过程，不仅有进一步考查学生的空间想　准要求的“在教学中，鼓励学生灵活运用向量方法　象能力的意图，也包含了对学生的代数运算能力的　与综合方法，从不同角度解决立体几何问题”的教　考查．２种能力的考查交替前行，寓空间想象于运　学要求．　算中．与此同时，计算过程中也凸显了对数学主流　思想方法的考查：求值问题本身就是方程思想的直　接体现．根据展平图（建立平面直角坐标系）易得　ＨＣ＝１０．若设ＨＧ的长为　，则在Ｒｔ△　ＨＧ中，由　，）　ＨＧ　＋Ａ　Ｈ２＝ＡＧ　可解得　＝　．根据平面图可知，　Ｊ　图１　直线ＭＮ的方程为　＝一÷）叶　，＋ｍ，由点Ｆ到直线　此外，折纸实验是学生所熟知的一个数学实验　，，　０１　１　ｌ　背景，其基本原理是通过翻折与展平（如图１所　ＭＮ的距离为　，得　ｚ＝　３１，从而ＭＮ＝一５－．这一计　Ｊ　叶　叶　示），寻找平面图形与空问图形之间的联系，进而　算过程体现了坐标法思想的应用．　第８期　郑明杰：２０１０年浙江省数学高考理科试题第２０题之思考　。３９・　图２　１．４考查理性思维，挑战意志品质　学生很熟悉平面图形翻折，但是经过２次翻　折，确实对学生的空间想象能力提出了挑战同时，　由于翻折的前后２个部分图形不对称，给学生带来　了视觉阻碍．根据Ａ　，Ｃ重合得到ＭＣ＝ＭＡ　实属不　易，这容易使学生在考试中产生焦虑情绪．因此，试　题的“执果索因”的思维方式，即在方程思想（求值　问题）的引领下寻找翻折问题中的不变性（等量关　系）是本题考查的又一亮点．沉着的心态，锐意进　取的勇气，理性地剖析问题本质，灵活、熟练地运用　知识与思想方法的数学素养等等，是突破难点的基　本保障，也是本题在更高层面上的考查，它承载着　选拔优秀人才的功能．　２　２点思考　２．１　颠覆传统视界，回归数学理性　２０１０年高考（理科）命题方式彻底颠覆了传统　的立体几何解答题复习方式，突出了能力考查，彰　显数学理性思维必将是立体几何试题今后的走向．　这无疑是在暗示我们，定势、守旧的立体几何复习　模式已经行不通了，转变观念，让课堂回归理性，突　出能力发展、着意数学思想渗透的课堂教学才是高　考唯一出路，也是切实减轻学生课业负担的正途．　２．２立足数学双基，发展面状思维　综合法与向量法是解决立体几何问题的基本　手段．２０１０年的试题给人以明显的感觉是对２种　工具不再厚此薄彼，表现出综合法的推理与向量工　具的计算存在各自优势的特点．这种变化带给我们　的启示是，立体几何解答题的教学不能仅仅由向量　法一法到底，而是要引导学生在对２种方法的对比　中作出合理选择，促进学生由线性思维向面状思维　发展．　不少教师感到２０１０年数学高考理科立体几何　解答题要难于往年，但仔细分析后不难发现，问题　的切口并不复杂．第（１）小题只要抓住二面角的平　面角的概念核心（棱与平面角所在面垂直），在线　面垂直的暗示下，综合法的形成是自然的；若抓住　二面角与空问向量的联系，产生前面提及的几种方　法也不困难．第（２）小题经过降维处理（展平），转　化为在平面中计算距离问题，则对坐标法的应用亦　是水到渠成的事．当然，这些思路的产生要求学生　有扎实的基础知识与技能．　３　３点建议　３．１　落实主干知识，培养思辨意识　虽然立体几何中涉及的知识点特别多，但是各　知识点之间存在着很强的关联性．在以往快节奏、　高密度操练的复习模式下，存在于学生头脑中的立　体几何知识常常是零散的、缺乏体系的，很难形成　一个网状的知识群．笔者认为，在立体几何复习中，　要充分重视知识落实，尤其要加强对核心概念的解　构．　只有这样，才能使学生领会知识要诣并融会贯　通．也只有这样，才能使学生即遇到陌生背景，也会　从概念本质人手进行信息检索（概念的核心往往　就是检索数学方法的基本出发点），形成思维的发　散．　３．２注重思想渗透，崇尚理性精神　立体几何教学承载着培养学生的运算、空间想　象和推理判断等逻辑思维能力的功能，思维开展过　程中渗透着众多的数学思想方法，譬如数形结合思　想、降维思想、坐标法思想等．因此在教学中要强化　理性思辨，切不可就题论题，只讲过程而无视思想　方法提炼．众所周知，以数学思想引领的解题策略　往往能使思维更简洁、明了．　３．３巧设几何背景，挑战空间想象能力　笔者从考生中了解到，学生之所以感到２０１０　年的立体几何试题特别难，心理暗示起着关键的作　用，看到２次翻折心理就发怵．　因此，在立体几何复习中，要适当安排一些创　新型几何背景的立体几何问题，有助于培养学生的　空间感．例如，安徽省数学高考理科试题第１８题，　几何背景新颖、条件繁杂，但是在结论（证明线面　平行、线面垂直）的暗示下，联系不同维度的线面　位置的相互转化关系．通过运算，能有条理地梳理　条件，从中不仅锻炼学生的推理判断能力，而且还　可提升学生对陌生图形的分析与抽象能力．