2010年 浙江省高考(理科)数学试题及详细答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题

纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) VSh

h表示柱体的高 如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，

P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n V1Sh 3h表示锥体的高 次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，

kkPn(k)CnP(1P)nk(k0,1,2,,n) 球的表面积公式

台体的体积公式 S4R

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

21Vh(S1S1S2S2) 球的体积公式

343其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积 VR

3h表示台体的高 其中R表示球的半径

一项是符合题目要求的．

（1）设P{x|x4},Q{x|x24}

（A）PQ （D）QCRP

（B）QP

（C）PCRQ（2）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为

（A）k4? （C）k6?

（B）k5? （D）k7?

（3）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2a50，则

（A）11 （C）-8

（B）5 （D）-11

S5 S2（4）设0x2，则“xsinx1”

2是“xsinx1”的

（A）充分而不必不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（5）对任意复数zxyi(x,yR),i为虚数单位，则下列结论正确的是

（A）|zz|2y （B）z2x2y2 （C）|zz|2x （D）|z||x||y|

（6）设l,m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是

（A）若lm,m,则l （C）若l//,m,则l//m

（B）若l,l//m,则m （D）若l//,m//,则l//m

x3y30,（7）若实数x,y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实数m

xmy10,

（A）-2

（B）-1

（C）1

（D）2

x2y2（8）设F1，F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点。若在双曲线右支上

ab存在点P，满足|PF2||F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为

（A）3x4y0 （B）3x5y0 （C）4x3y0 （D）5x4y0

（9）设函数f(x)4sin(2x1)x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是 ．

（A）[-4，-2]

（B）[-2，0]

（C）[0，2]

（D）[2，4]

（10）设函数的集合P{f(x)log2(xa)b|a,0,集合Q{(x,y)|x131,1;b1,0,1}，平面上点的211,0,,1;y1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)22的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 ．．

（A）4

（B）6

（C）8

（D）10

绝密★考试结束前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

非选择题部分（共100分）

注意事项：

1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 （11）函数f(x)sin(2x4)22sin2x的最小正周期是 。

（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，

则此几何体的体积是 cm3.

（13）设抛物线y2px(p0)的焦点为F，点

2A(0,2)。若线段FA的中点B在抛物线上，

则B到该抛物线准线的距离为 。

（14）设n2,nN,(2x)(3x)

=a0a1xa2x2anxn，将ak(0kn)的最小值记为Tn，则

12n13nT20,T31111,T0,T,,Tn,其中Tn 。 4533552323（15）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足

S5S6150则d的取值范围是 。

（16）已知平面向量a,(a0,a)满足

1,且a与a的夹角为120°则

。 a的取值范围是（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、

“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 （用数字作答）。

三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （18）（本题满分14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C. （I）求sinC的值；

（II）当a=2，2sinAsinC时，求b及c的长.

（19）（本题满分14分）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，

已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖.

（I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，

记随机变量为获得k(k1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望E.

（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随

机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P（2）.

14

（20）（本题满分15分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，

AE=EB=AF=

2FD4.沿直线EF将AEF翻折成A'EF,使平面A'EF平面BEF. 3 （I）求二面角A'FDC的余弦值；

（II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C

与A'重合，求线段FM的长.

m2x20,椭圆C:2y21,F1,F2 （21）（本题满分15分）已知m1，直线l:xmy2m分别为椭圆C的左、右焦点.

（I）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（II）设直线l与椭圆C交于A，B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G，H.若原

点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

（22）（本题满分

14

分）已知

a

是给定的实常数，设函数

f(x)(xa)2(xb)ex,bR,xa是f(x)的一个极大值点.

（I）求b的取值范围;

（II）设x1,x2,x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4R，使得

x1,x2,x3,x4的某种排列xi,xi2,xi3,xi4（其中{i1,i2,i3,i4}{1,2,3,4}）依次成等

差数列？若存在，示所有的b及相应的x4;若不存在，说明理由.

参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 （1）B （6）B

（2）A （7）C

（3）D （8）C

（4）B （9）A

（5）D （10）B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。 （11）

（12）144

（13）32 40,（14）11,23（16）(0,当n为偶数时当n为奇数时

（15）d22或d22 23] 3（17）264

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

（18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：因为cos2C12sinC

及0C 所以sinC21， 410. 4 （Ⅱ）解：当a2,2sinAsinC时，

由正弦定理

ac，得 sinAsinC1,及0C得 4c4.

由cos2C2cosC12

cosC6. 4222

由余弦定理cab2abcosC，得

b26b120

解得b所以6或26 b6,b26或

c4c4.（19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同

时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。 （Ⅰ）解：由题意得的分布列为



P

50% 70% 90%

33 168337350%70%90%. 则E1681647 16 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为

339. 168169) 1691701292. 则P(2)C1()(1)16164096由题意得B(3,（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同

时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结AH

因为AEAF及H是EF的中点， 所以AHEF

又因为平面AEF平面BEF，及AH平面AEF. 所以AH平面BEF。

如图建立空间直角坐标系Axyz.

则A(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).

故FN(2,2,22),FD(6,0,0) 设n(x,y,z)为平面AFD的一个法向量

所以2x2y22z0

6x0

取z2,则n(0,2,2)

又平面BEF的一个法向量m(0,0,1) nm3故cosn,m 3|n||m|所以二面角的余弦值为

3. 3 （Ⅱ）解：设FMx£¬则M(4x,0,0)

因为翻折后，C与A重合，所以CM=AM 故(6x)28202(2x)222(22)2， 得x21 421. 4经检验，此时点N在线段BG上 所以FM方法二：

（Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结AG，NH，GH

因为AEAF及H是EF的中点， 所以AH//EF。

又因为平面AEF平面BEF， 所以AH`平面BEF， 又AF平面BEF， 故AHAF，

又因为G，H是AF，EF的中点， 易知GH//AB， 所以GHAF， 于是AF面AGH

所以AGH为二面角A—DF—C的平面角，

在RtAGH中，AH22,GH2,AG23 所以cosAGH

3. 33。 3

故二面角A—DF—C的余弦值为

（Ⅱ）解：设FMx，

因为翻折后，G与A重合， 所以CMAM，

而CM2DC2DM282(6x)2

AM2AH2MH2AH2MG2GH2(22)2(x2)222

得x21 421. 4经检验，此时点N在线段BC上， 所以FM（21）本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考

查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分

m20经过F2(m21,0) （Ⅰ）解：因为直线l:xmy2

m2,得m22 所以m122又因为m1. 所以m2.

故直线l的方程为x2y10.

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，

m2xmy,2由2消去x得

x2y12m

m22ymy10

42

m21)m280， 则由m8(42

知m8

2

mm21. 且有y1y2,y1y2282由于F1(c,0),F2(c,0) 故O为F1F2的中点，

由AG2GO,BH2HO，

x1y1x2y2可知G(,),H(,)

3333(x1x2)2(y1y2)2|GH|.

992

设M是GH的中点，则M(x1x2y1y2,) 66

由题意可知，2|MO||GH|

x1x22y1y22(x1x2)2(y1y2)2)()]好4[( 6699即x1x2y1y20.

m2m2)(my2)y1y2 而x1x2y1y2(my122m21(m1)(),

822

m210. 所以

82即m4.

又因为m1且0.

2

所以1m2.

所以m的取值范围是（1，2）。

（22）本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时

考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14分。 （Ⅰ）解：f(x)c2(xa)[x2(3ab)x2baba]

令g(x)x2(3ab)x2baba

则(3ab)24(2baba)(ab1)280. 于是可设x1,x2是g(x)0的两实根，且x1,x2

（1）当x1a或x2a时，则xa不是f(x)的极值点，此时不合题意 （2）当x1a且x2a时，由于xa是f(x)的极大值点， 故x1ax2.

即g(a)0

即a2(3ab)a2baba0 所以ba

所以b的取值范围是（-∞，a）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b及xb满足题意，则 （1）当x2aax1时，则x42x2a或x42x1a

于是2x1x2ab3. 即ba3.

2此时x42x2aab3(ab1)8aa26 2或x42x1aab3(ab1)8aa26.

（2）当x2aax1时，则x2a2(ax1)或(ax2)2(x2a)

①若x2a2(ax1),则x2ax2 2

3(ab3)(ab1)28于是3a2x1x2 22即(ab1)83(ab3)

于是ab1913 2

此时x2ax22a(ab3)3(ab3)113b3a. 242ax1 2

②若ax12(x2a),则x2

3(ab3)(ab1)28于是3a2x2x1 22即(ab1)83(ab3)

于是ab1913. 2

此时x2ax12a(ab3)3(ab3)113b3a. 242综上所述，存在b满足题意 当ba3时,x4a26 当ba

713113时,x4a 22713113时,a4a. 22

当ba