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前 言

本书有两个目的：第一是向读者介绍一些传统的专题如矩阵形式的几何光学、波的传播和衍射以及一些傅里叶光学的知识背景。第二是介绍声—光学要领，同时引导学生用一个常用的软件工具MATLAB对一些原理和应用建模。本书是根据作者自己的一线的课堂教学经验以及在该领域的研究来编写的。

该书的主要特点如下：每个主题是从最重要的原理展开的，例如，几何光学是从费马原理开始的，声—光学和电—光学是从麦克斯韦方程组开始的。MATLAB的例子贯穿全书，包括高斯光束衍射等重要内容的程序，以及在克尔介质这样的不均匀介质中分步光束传播理论，在声—光学中高达10次方的微分方程的数值计算。最后 ，我们重点讲述声—光学中应用，如空间滤波和外差现代应用。该书可作为光学/光学工程类以及声—光类和电—光类高级班学生的通用教材。我们希望这本书能激发读者对光学的阅读兴趣以及提供了一个在声—光学，电—光学重要的知识背景。该书是着眼于一个高级工程师或刚毕业的物理专业的人。这本书适合作为两个学期的课程。该书对那些希望基本了解非均匀介质中光束传播，声光学和电光学知识的科学家和工程师可能也有用。

Ting-Chung Poon (TCP)）要感谢他的妻子Eliza和孩子Christina和Justine的鼓励，耐心TCP想感谢打印部分手稿的Justine Poon，和关爱。此外，正确使用文字处理软件的Bill Davis，以及帮我更好地理解物理光纤光学和非线性光学的Ahmad Safaai-Jazi 、Partha Banerjee，最后，Monish Chatterjee阅读手稿，并提供改进意见和建议表示感谢。

Taegeun Kim还要感谢妻子Sang Min Lee和父母Pyung Kwang Kim、 Ae Sook Park的鼓励，不断的支持和关爱。

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第1章 几何光学

当我们说到光学，进入到我们头脑的第一件事情可能是光。光具有双重性质：光是粒子（称为光子）同时光也是电磁波。当以粒子运动时具有动量p，当以光波传播时具有波长，动量和波长由德布罗意关系给定：



其中h=6.6310同时也是一种波。

-34

h

p

焦耳/秒，是普朗克常数，因此，从上述关系我们可以说，每个粒子

每个粒子或光子具有确定的频率v和给定的能量E，E由下式确定：

Ehv

如果粒子是在自由空间或真空中传播，vc8

，其中c是一个给定常数约为3 10米/

秒，我们把在各向同性均匀的介质中光的传播速度表示为v，这个常数表征一个物理特性或材料的特性，比值

c称为材料的折射率。 v在几何光学中，我们把光看作粒子，这些粒子运动的轨迹我们称之为光线。我们可以用镜子和透镜组成的来描述一个光学系统，通过该系统研究光线。

几何光学是物理光学或波动光学的一种特殊情况，本章其余部分的几何光学将是我们学习的重点。的确，在波动光学中通过采取限制的办法认为光波长趋近零，我们重新认识几何光学。在此极限里，没有光的波动性和衍射。

1.1费马原理

几何光学始于费马原理。事实上，在几何光学中费马原理只是一个简单的原理，其中包含所有的物理定律，如反射定律和折射定律。费马原理指出，光线路径是所有路径中的一个极值。费马原理指出，在所有路径中光线走的路径是一个极值路径。极值可能是最小值、最大值或在光路上固定的变化。但是，它通常是最小值。

我们现在给出费马原理的数学描述。设n（x，y，z）表示两点A和B之间路径C处的折射率，如下图1.1所示：我们定义的光线长度（OPL）为

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OPLn(x,y,z)ds （1.1-1）

c其中ds代表一个无限小的弧长，根据费马原理，连接两个端点A和B许多路径中，光线是一个两点之间OPL为极值的路径，

(OPL)n(x,y,z)ds0 （1.1-2）

c其中表示一个变化量很小的值，换句话说，光线沿着一个以这样的方式即总OPL是一个极值。作为一个极值意味着变化率是零，式（1.1-2）明确表示为

ndsndsnds0 （1.1-3） xyz光以速度vc沿光线传播， ncndsdscdt （1.1-4）

v其中dt是沿路径移动ds所需的时间，我们将式（1.1-4）代入（1.1-2）得：

ndscdt0 （1.1-5）

cc图1.1 光线通过位于A，B两点间路径C

如前所述，极值通常是一个最小值，因此，我们可以重述，费马原理作为一个时间最少原则。在一个均匀的折射率恒定的介质中，光的路径是一个以两个端点之间移动时间最短的直线。

1.2反射和折射

当光线在两个折射率分别为n1和n2的不同介质的分界面时，如图1.2所示，众所周知，部分的光反射回到原来的介质中，而其余的光线折射进入另一个介质。

这些光线的方向描述了反射和折射定律，都是来自费马原理。

接下来，我们利用最小时间原则推导折射定律。考虑如图1.3所示反射面。光在A点从

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反射面反射到B点，形成了入射角i和反射角r，光通过路径AOBO所需的时间由t=(AO+OB)/给定，这里是光在AOB介质中的速度。介质被认为是各向同性和均匀。由几何知识可知，

1121222t(z)([h1(dz)][h2z2]) （1.2-1）

v2

图1.2光在两种介质界面的反射和折射。

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图1.3入射光线（AO）和反射光线（OB）

根据时间最少的原则，光会找到一个路径使得t(z)最小，因此我们令

dt(z)0得 dzdz1h12(dz)22z12h2z22 （1.2-2）

isin或 sinr （1.2-3）

使得

ir （1.2-4）

这就是反射定律。我们随时检查二阶导数的T(z)是否为正值，这样得到的结果相当于时间最少原则。此外，费马原则也指出入射光线，反射光线都在同一平面上，这个平面被称为入射面。

同样，我们可以用最少时间原则推导出折射定律，

n1sinin2sint （1.2.5）

这就是俗称的Snell折射定律，在式（1.2.5）中，i是入射角，t是折射角。这两个角度皆是垂直于表面。同样，反射光线、入射光线、折射光线和所有的入射光线都在同一平面上，Snell定律表明，当光线从一个折射率较小的介质n1向一个折射率较大的n2或光疏介质向光密介质传播，它是正常弯曲。相反，如果光是传播到折射率较低介质，它是非正常弯曲。

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对于后者而言，有可能看到一个现象，即折射光线刚好弯曲90°，在这种情况下，入射角称为临界角c，其中

sincn1 （1.2-6） n2当入射角比临界角越大，原来介质1中的光线是完全反射回介质1，这种现象被称为全 反射。光纤就是利用全反射原理来传输光，以及炎热夏天的海市蜃楼现象，也是同样的原理。

1.3光线在非均匀介质中传播：光线方程

在最后一节里，我们讨论一个介质不均匀最简单的情况：两种不同折射率介质之间的折射。对于一般的非均匀介质n(x,y,z)它具有一个方程式，该方程式可以描述光线轨迹。这样的方程被称为光线方程。光线方程与典型力学中粒子和刚体的运动方程类似，典型力学中粒子和刚体的运动方程可以从基于牛顿定律的牛顿力学到得。另外，运动方程可直接由汉密尔顿的最小时间原理得到。事实上，光学上的费马原理类似于经典力学上的汉密尔顿原理。接下来，我们描述汉密尔顿原理以致得到力学上所谓的拉格朗日方程。然后，我们重新修订拉格朗日方程来推导光线方程。汉密尔顿原理指出，t1和t2粒子轨迹就是这样，该行的固定

t1和t2组成的变化是零

L(qk，qk，t)dt0 （1.3-1）

t1t2.其中L=T - V是被称为拉格朗日函数,T是粒子的动能，V是粒子的势能。qk's称为广义坐标，k= 1，2，3···，同时qk.dqk。广义坐标是任何独立坐标qk的集合（与任何约dt束无关）而这些任何独立的坐标的集合，足以规定唯一的形式。广义坐标的n是自由度数目。例如，一个简单的钟摆有一个自由度，换言之qkq1，其中是钟摆与垂直线之间的夹角。现在，如果单摆是复杂的例如钟摆的线是弹性的，将有两个广义坐标，qkq1，

qkq2x，其中是x线的长度。再看另一个例子，我们考虑一个沿着半径为R的球体表

面运动的质点，坐标(x,y,z)不是相互独立的，因为它们具有约束方程x2y2+z2=R2。质点有两个自由度，两个独立的坐标，只有这样才能指定在球面处确定的位置。这些坐标可作为经度和纬度，我们也可以从球面坐标选择角度和作为一个广义坐标。

现在，如果F是保守力，即F0，在运动过程中总能量E=T+ V是在一个常量，汉密尔顿原理推导出质点运动方程，即为拉格朗日方程：

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dLL(.)dtqqk （1.3-2）

k作为一个简单的例子说明拉格朗日方程的应用，让我们看一个质量为m动能为

1.Tmr，势能V(x,y,z)，其中：

22r(x,y,z)x(t)axy(t)ayz(t)az

ax，ay和az分别是x，y和z方向的单位位置矢量，根据牛顿第二定律，

Fmr （1.3-3）

其中

..r是

..r对时间t的二阶导数，一般所给的力为负值，换言之FV，因此，我

们对粒子的运动矢量方程

mrV （1.3-4）

根据牛顿力学，现在由拉格朗日方程，我们确定

..1.LTVmrV

2由q1x，我们可以得到：

..dL(.)mx 和LV (1.3-5) dtxxx2现在从式（1.3-2）中，并利用上述结果，我们有

mx..V （1.3-6） x同理，对y和z有：q2y，q3z。因此，我们提出了式（1.3-4），这是直接由牛顿力学得到的。因此，我们看到拉格朗日方程可以推导牛顿方程。事实上，两个方程组同样至关重要。然而，拉格朗日在形式上比传统牛顿定理更有优势，这时物理问题已经变成一个纯粹的数学问题。我们只需要找到该系统的T和V，剩下的只是通过用拉格朗日方程数学计算。此外，也没有必要考虑任何牛顿力学向量作为方程拉格朗日方程的标量。事实证明，拉格朗日方程能更好解如在量子力学和广义相对论等领域的复杂问题。

对汉密尔顿原理理解后，以及用拉格朗日方程得到粒子的运动方程，我们现在构造光学拉格朗日方程。同样，我们关注的光学粒子就是光子。由费马原理和式（1.1-2）得：

n(x,y,z)ds0 （1.3-7）

C沿射线路径弧长ds有：

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ds2dx2dy2dz2 （1.3-8）

参照图1.4，这里为简便起见，我们只显示了2 维（x-z）坐标轴。我们定义x'dx 和dzy'dy 我们可以将式（1.3-8）写为 dzdsdz1(x')2(y')2 （1.3-9）

图1.4在连续非均匀介质中光线

将式(1.3-9)代入(1.3-7)得到：

n(x,y,z)1(x')2(y')2dz0 （1.3-10）

C通过将这个方程与式（1.3-1）比较，我们可以定义所谓的光学拉格朗日方程为

L(x,y,x',y',z)n(x,y,z)1(x')2(y')2 （1.3-11）

我们可以看到，汉密尔顿原理是基于时间的最小化函数，而费马原理最大限度地减少了长度的函数z，正如我们假设z如t在拉格朗日力学中发挥同样的作用，我们选择了z方向为光线的传播方向。现在，我们已经建立了光学拉格朗日方程，参照式（1.3-2）我们可以马上写下光学拉格朗日方程：

dLLdLL()() 和 （1.3-12） dzy'ydzx'x从这两个公式，推导所谓的射线方程，它跟踪光线（或光子）的位置，就像在拉格朗日力学中由拉格朗日方程，我们得到的粒子的运动方程。

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由式（1.3-9），（1.3-11）和（1.3-12），经过变换得：

ddynddxn(n) 和(n) （1.3-13）

dsdsydsdsx当然,这样做的目的是，对于给定的n，我们解上述方程我们可以得到xs和

ys.必须指出的是，上述两个公式已经足以确定射线的轨迹。这表明由z构

成的光线方程是比较冗长复杂。事实上下面给出的z相应的方程，可源自x和y的方程

ddzn （1.3-14） ndsdsz现在矢量形式的理想的光线方程可以通过联立公式（1.3-13）和（1.3-14）得到:

ddrnndsds在这里rs表示光线上任意一点的位置矢量。 例1.1 在均匀介质中

此时nx,y,z等于一个固定值，公式（1.3-15）就变成：

d2r0（1.3-16） ds2

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图1.5 光线在均匀介质中沿直线传播

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