常微分方程解题方法总结

来源：文都教育

复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题体系，建议将知识点进行分类系统总结书要“由薄到厚、由厚到薄

. 接下来，如何将零散的知. 为了加强记忆，使知识自成

. 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读

.

一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、

遇到具体的题. 下面以表格的形.

”，对同学们的复习尤为重要

以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、高阶线性微分方程等内容，

在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，

目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询

常微分方程

通解公式或解法

(名称、形式)

当g(y)0时，得到

dyg(y)

f(x)dx，

可分离变量的方程

dydx

f(x)g(y)

两边积分即可得到结果；当解.

g(

0

)0时，则y(x)

0

也是方程的

解法：令u

齐次微分方程

yx

dydx

g()

x

y

，则dyxduudx，代入

得到x

dudx

ug(u)化为可分离变量方程

一阶线性微分方程

dydx

P(x)yQ(x)

y(e

P(x)dx

Q(x)dxC)e

P(x)dx

伯努利方程

解法：令

u

dudx

y

1n

，有

du(1n)ydy，

(1n)Q(x)

n

dydx

P(x)yQ(x)y（n≠0,1）

n

代入得到

(1n)P(x)u

求解特征方程：三种情况：(1)两个不等实根：通解：

2

pq0

1

,

2

二阶常系数齐次线性微分方程

y

c1e

1x

c2e

1

2x

ypxyqxy0

(2)两个相等实根：通解：

2

y

c1c2xe

x

(3)一对共轭复根：通解：

i,

ye

x

c1cosxc2sinx

通解为

ypxyqxy

qxy0的通解与

ypxyf(x)的特解之和.

常见的f(x)有两种情况：（1）

二阶常系数非齐次线性微分方程

若

f(x)

ePm(x)

x

不是特征方程的根，令特解

x

ypxyqxyf(x)

y

解

Qm(x)e；若y

x

是特征方程的单根，令特

是特征方程的重根，

x

xQm(x)e；若y

*

令特解

（

xQm(x)e；

2

）

2

f(x)

当

e[Pm(x)cosx

i

不是

x

pn(x)sin

x]

令

特征值时，

y

*

e[Qn(x)cosxQn(x)sin

1

2

x

x]，当

，

令

i

是

x

特征值时

y

*

xe[Qn(x)cosxQn(x)sin

x]

以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的

这也是复习中比较

形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，实用的方法.