微分算子法

微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法

摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999

高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。

1.求方程y2y3y0的通解. 解 记y(n)Dny，将方程写成 D3y2D2y3Dy0

或(D32D23D)y0

我们熟知，其实首先要解特征方程

D32D23D0

得D0,1,3故知方程有三特解

1,ex,e3x，由于此三特解为线性

无关，故立得通解 yCx1C2eC3x3e

注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是

)dnydn1Lydyn(ydxna1(x)dxn1Lan1(x)dx

an(x)yf(x)其中系数a1(x),L,an(x)是某区间

(a,b)上的连续函数，上述方

程又可写成

L1n(y)(Dna1(x)DnLa(x))y

f(x)

可以把上面括号整体看作

一种运算，常称为线性微分

算子。本题中各ai(x)均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 y6y11y6y0 解

写

成

(D36D211D6)y0

从特征方程 0D36D211D6

(D1)(D2)(D3)

解得 D1,2,3共三实根，故可立即写成特解 yCx3x1eC2e2xC3e

3.求解 y3y9y13y0 解 写成 (D33D29D13)y0

或 (D1)(D24D13)y0

特征方程 (D1)(D24D13)0有根

D1,23i，故对应的特解是

ex，e2xcos3x，

e2xsin3x 从而通解是

yCx1eCx2e2cos3xC2x3esin3x

4.求y(4)4y5y4y4y0之通

解.

解 写成

(D44D35D24D4)y0

或 (D2)2(D21)y0 特征根是D2,2,i，对应的

特解应是e2x,xe2x,cosx,sinx，故写

成通解

y(x)e2x(C1C2x)C3cosxC4sinx

5.求yy(cosx)1的通解

解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程yy0的通解，写成(D21)y0，可知特征根为i，相应的通解为y1C1cosxC2sinx

设原方程有特解形为 y*C1(x)cosxC2(x)sinx

其中C1,C2为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组

C1(x)cosxC2(x)sinx0

C)(cosx)C11(x2(x)(sinx)(cosx) 或

C1(x)cosxC2(x)sinx0

Cx)sinxC11(2(x)cosx(cosx) (方程组右端为原方程非

齐次项(cosx)1)，解得

C1(x)sinxcosx，C2(x)1 或 C1(x)lncosx，C2(x)x

最后得通解为 y(x)y1(x)y*(x)

C1cosxC2sinxcosxlncosx　　xsinx

注 对常系数方程，在应用

上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程

(1)y(4)2y4y2y5y0 (2)4y8y5y0 解 (1)yCexCex12

ex(C3cos2xC4sin2x)

(2)yex(C1cosx2C2sinx2) 7.求解下列cauchy问题

(1)y3y3yy0;

y(0)1,y(0)2,y(0)3

(2)yy0;y(0)1,y(0)0,y(0)1 解 (1) yex(1x)

(2) yxex

8.求解非齐次方程

y2xyy1x(x0)

解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程y2xyy0的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解

y1sinxcosxx,y2x 令

y(x)C1(x)sinxxCcosx2(x)x

考虑方程组 C1(x)sinxC2(x)cosx

0xxC(x)(sinx)C(x)(cosx

1x2x)1x最后解得

C1(x)sinx，C2(x)cosx 故原方程的通解为

y(x)Csinx1xCcosx2x1x 注 我们说过，高阶方程中

最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐

次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元

的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法

9.求解

y5y6yx2 解 写成 (D2)(D3)yx2 故对应齐次方程(D2)(D3)y0的通解为

y(x)Ce2xCe3x112

今用下法求原方程的一个特解y*(x)，显然y*(x)满足 (D2)(D3)y*x2 今用下法求出y*(x)

y*(x)12(D2)(D3)x (121D3)x2D12x21D3x2D11x211x221D321D312(1DD224L)x2　　1(1DD2L)x23３９12(1D2D24)x2　　1DD223(1３９)x12(x212(x2)14(x2))　　13(x213(x2)19(x2))

1112x22(x2x2)3(x239)

16x251918x108通解为

y(x)y1(x)y*(x)C1e2xC3x1519

2e6x218x108注 本题所用的方法即微分

算子法，此法核心内容是将求导运算D同时当作数与运

算来处理，上法中1(D2)(D3)视为(D2)(D3)的逆运算，经分层部分分式后，又将D作为数，将11D展开或读作除数，最后，又将D,D2,L恢复其

运算功能。至此，积分微分方程问题已变为求导问题。 上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。 10.给定一个微分算子 LDnaDn1n1Lan1Dan (ai,i1,2,L,n为常数)

则对任一有n次导数的函数g(x)，得到唯一的函数f(x) Ln(g(x))f(x)

今定义逆运算1L(f(x))g(x) ng恰为微分方程Ln(g(x))f(x)的

一个特解。

证明下列事实：

(1)给定f后，g不唯一 (2)对任一常数a,b及连续函数h(x),g(x)，有下式成立

1L(ah(x)bg(x))a11L(h(x))b(g(x))nnLn

(3)设有另一微分算子LmDmaDm11Lam，则

11LL(g(x))11(g(x))nmLmL

n (4)有下式成立

1L(g(x))1(g(x))n(D1)1L(Dk)k

证明 (1)设g1(x)是方程Ln(y)0的特解，则有

Ln(g(x)g1(x))Ln(g(x))f(x) 故

1L(f(x))g(x)g1(x) n (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出

11.给定Ln如上题，证明下列性质： (1)设F(k)0，此处F()nan11Lan1an为多项式(与Ln对应)，则 1kxkxLe1nF(k)e 当k时 1kxDe1kxke (2)1ekx1Lgf(x)ekxf(x) n(D)Ln(Dk)特别 1(D)mekxgf(x)ekx1(D)mf(x) (3)当F()为偶次多项式，

F(ik)0，则 ，其中(D)ekx 1(f(x))ekxf(x)Dk i111sinkxsinkxLn(D)F(ik) 或 11e(f(x))ef(x) 对coskx也有类似公式 Dk(D) 特别，对一般的L(D)，一般公式可由此逐当F(ik)0时， 步推出 11sinkxL(D)sinkx (3)因L(D)L(ik)L(ik)证明 (1)因D(sinkx)(ik)sinkx，故 (D)e(k)e，故有 (D)sinkx((ik))sinkx e e(k)(D1)从而 于是 1sinkx((ik))sinkx D 11当F()为偶多项式时 eeL(D)(D)L(D) L(D)(D)L(Dk)， 1　　　　　e(D)L(D)(k)故一般公式由上式逐步推1　　　　　Le出 F(k)1注 (1)还有另一性质，我 Lkxkxnnnnn22kxkxkxkx2222kxkxn1n22kxn11n1nkx(2)(D)e ekx[Dg(x)(k)g(x)]e(Dk)g(x)kxkxg(x) n们述而不论： 1mm1(xbxL1nn1Da1DLan1Danbm1xbm)(iDi)(xmLbm)i0kekxg(x)ekxg(x)ekxg(x)g 今令 (f(x)) g(x)D1k则(Dk)(g(x))f(x)，代入上式得 iDi(xmLbm)r0m如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》 (2)当F(ik)0时，此时宜用Euler公式 ecoskxisinkx ikx

(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础

由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。

12.求下面方程的特解

d2yy6e2xdx2 解

y(x)1D21(6e2x)612x2x221e2e

13.求方程y4y4y2e2x的一个特解

解 y(x)12xD24D42e 2

1

(D2)

2

e2x 2e2x1

(D22)2g1

2e2x1

D2g1

设

12D2g1g(x)，则Dg(x)1，

即可知

g(x)122x故最后可得

y(x)x2e2x

也可以直接安照文登考研书的解法即

y(x)142e2xD24D

　　　21D2)e2x(2

　　　2x21e2xx2e2x214.解yyex

解 y(x)1x11xD21e(D1)(D1)e

11ex2D112ex11Dg12xex得通解为

y(x)1xex2C1exC2ex

15.求下面方程特解 y5y5x22x

解 y(x)1(5x2D25D2x)

11DD5(5x22x)(1)11(5x25D2x)1D5(15)1D[1D5(D5)2](5x22x)(15)1D[5x22x15(10x2)

　125(10)](1)1[5x25D]1Dx213x316.求y6y5y3ex5x2 解 显然y(x)y1(x)y2(x)

其中y(x)1(3ex1D26D5)

1 (D1)((3e) D5)x[(D)2D1]1(D)2D11(5x) y(x)(D1)(D5)22今有

11x11xe(3)eD1D5D115y1(x)(3)

1　　2(13)sin2xDD11[D2D1]4(13)sin2xDD211(13)(D2D1)sin2x4231ex3ex1g13xex4D14D4

y1112(x)4(D1D5)(5x2)

1(111D5)(5x241D51)1(1DD1(1DD22))(5x245525)

6212255xx2最后得

y(x)3xex46225125xx2

17.求yy6cos2x3sin2x的特解 解 y(x)y1(x)y2(x) 1D216cos2x1D213sin2x61(2i)21cos2x31(2i)21sin2x 2cos2xsin2x18.求下面方程的特解 yyy13sin2x 解y(x)1D2D1(13sin2x)

(2i)(2i)1(D2D1)sin2x3sin2x2cos2x19.求下面方程的特解 y4y4ycos2x 解 y(x)[(D2)2]

g11(D2)2(D2)2cosx (D2)21(D24)2cos2x

(D2)2cosx((2i)24)218sin2x

20.求yy2sinx的特解

解 因(i)210，上法无效，今取 sinx1ixix2i[ee] (*) 则特解 y(x)1[eixixD21(1ie])

111([2eix2eix])iD1D1111ix[eixg1eg1]i(Di)21(Di)2111111[eixg1eixg1]iD2iDD2iD111[eixxeixx]iD2iD2i12lm[eixx]D2ie(1i)xgx22iD21D2i12i1122ie(1i)x[x]2i12i111412ex(cosxisinx)[(x)i(2x)]55512i11

lmz表示复数zi虚部，今

111xex eDD2i2iixix故

x1422 y(x)e[(5)cosx(x)sinx] 25525x12i22.求解方程

y3y3yye(x5)

1e(x5)e(x5) 解 y(x)(D11)Dxxx33

1ixD11e[1]xeix(x)2i2i2i2i1x1cosxsinxi(xcosxsinx)4221设g(x)D3(x5)，则Dg(x)x53

故知

x5x g(x)24643 故

sinx y(x)xcosx1221.求下面方程的特解 yyecosxgx 解 今有

(xexe) egxgcosx12x

最后得通解

x3xy(x)C1eC2xeC3xee(x20)24xx2x

x(1i)x(1i)x注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。

Re(xe) (Rez表示复数z的实部)故可写成

y(x)Re(D11egx)

(1i)x(1i)x2而D11e2(1i)xgxe(1i)x1gx(D1i)21

e(1i)x1gx2D2(1i)D(2i1) 红色部分是怎么来的，可以参看我在豆丁网上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》