一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是( )
A. 5
2.
1
B. 5
2
C. 5
3
D. 5
4
甲袋中装有形状、大小与质地都相同的红球3个，乙袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是( )
A. 从甲袋中随机摸出1个球，是黄球 B. 从甲袋中随机摸出1个球，是红球 C. 从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球 D. 从乙袋中随机摸出1个球，是黄球
3.
7.把抛物线为【 】
先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式
A. C.
4.
B. D.
一个不透明的袋子中有2个红球、2个白球，这些球除颜色外其它都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球颜色不同的概率是( )
A. 2 5.
1
B. 3 1
C. 3 2
D. 4
1
中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为( )
A. 24%
6.
B. 40% C. 2.4 D. 60%
如图，已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，过𝐴𝐷中点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，交对角线𝐵𝐷于点𝑀，交𝐵𝐶的延长线于点𝐹.连接𝐷𝐹，若𝐶𝐹=2，𝐵𝐷=4，则𝐷𝐹的长是( )
A. 4
7.
B. 4√3 C. 2√7 D. 5√3
如图，半圆𝑂的直径𝐴𝐵=4，与半圆𝑂内切的动圆𝑂1与𝐴𝐵切于点𝑀，设⊙𝑂1的半径为𝑦，𝐴𝑀=𝑥，则𝑦关于𝑥的函数关系式是( )
A. 𝑦=−4𝑥2+𝑥 B. 𝑦=−𝑥2+𝑥 C. 𝑦=−4𝑥2−𝑥 D. 𝑦=4𝑥2−𝑥
8.
小明从二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象(如图)中观察得出了下面五条信息：
①𝑐<0；②𝑎𝑏𝑐>0；③𝑎−𝑏+𝑐>0；④2𝑎−3𝑏=0；⑤𝑐−4𝑏>0．你认为其中正确的信息是( )
11
1
A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤
9.
如图，𝐴在𝑂正北方向，𝐵在𝑂正东方向，且𝐴、𝐵到点𝑂的距离相等，甲从𝐴出发，以每小时60千米的速度朝正东方向行驶，乙从𝐵出发，1小时后，以每小时40千米的速度朝正北方向行驶，位于点𝑂处的观察员发现甲乙两人之间的夹角为45°，此时甲乙两人相距( )千米．
A. 80
100
B. 50√2 C. 100√2 D.
10. 图象经过点𝑃(𝑐𝑜𝑠60°,−𝑠𝑖𝑛30°)的反比例函数的表达式为( )
A. 𝑦=−𝑥
4
B. 𝑦=𝑥
4
C. 𝑦=−4𝑥
1
D. 𝑦=4𝑥
1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某校办工厂，今年年产值15万元，今后计划每年在去年的基础上增加3%，年产值𝑦万元与年数𝑥
的函数关系式为______ ．
12. 若抛物线𝑦=(𝑚−2)𝑥2开口向下，请写出一个符号条件的𝑚的值______． 13. 方程𝑥2−5𝑥=0的解是______．
14. 九年级(1)班部分学生去秋游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片
36张，则同去秋游的人数是______人．
15. 如图，在△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸中，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=90°，𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐶𝐷=𝐶𝐸，点𝐴在边𝐷𝐸上，若
𝐷𝐸=23，𝐴𝐷=8，则𝐴𝐶=______．
𝐵两16. 如图，抛物线的顶点𝑀在𝑦轴上抛物线与直线𝑦=𝑥+1相交于𝐴，
点，且点𝐴在𝑥轴上，点𝐵的横坐标为2，那么抛物线的函数关系式为______．
三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）
𝐵．17. 如图，已知一次函数𝑦=−𝑥+8和反比例函数𝑦=𝑥图象在第一象限内有两个不同的公共点𝐴、
𝑘
(1)求实数𝑘的取值范围；
(2)若△𝐴𝑂𝐵的面积𝑆=24，求𝑘的值．
四、解答题（本大题共8小题，共65.0分）
18. 解下列方程：
(1)𝑥2+𝑥=0； (2)𝑥2−4𝑥−1=0．
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点上，在
建立平面直角坐标系后，点𝐴的坐标为(−6,1)，点𝐵的坐标为(−3,1)，点𝐶的坐标为(−3,3)． (1)将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶沿𝑥轴正方向平移8个单位得到𝑅𝑡△𝐴1𝐵1𝐶1，试在图上画出的图形𝑅𝑡△𝐴1𝐵1𝐶1的图形，
并写出点𝐴1的坐标；
(2)将原来的𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转90°得到𝑅𝑡△𝐴2𝐵2𝐶2，试在图上画出𝑅𝑡△𝐴2𝐵2𝐶2的图形．并
求点𝐵经过的路径长．(结果保留𝜋)
20. 如图．有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四张完全相同的卡片，上面分別写有−2，√3，7，𝜋四个实数，将这四张
卡片放在不透明的箱子中．小红从中任意抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法求小红抽到的两张卡片上的两个数都是无理数的概率．
5
21. 已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题：
(1)确定自变量的取值范围； (2)求当𝑦=0，𝑥的值是多少？
(3)当𝑥取何值时𝑦的值最大？当𝑥取何值时𝑦的值最小？
(4)当𝑥的值在什么范围内是𝑦随𝑥的增大而增大？当𝑥的值在什么范围内时𝑦随𝑥的增大而减小？
22. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂分别交𝐵𝐶、𝐴𝐶边
于点𝐷、𝐹.过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐶𝐹于点𝐸． (1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；
(2)𝐴𝐹−𝐷𝐸=2，𝐸𝐹=2，求⊙𝑂的半径．
23. 为改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长16𝑚 )的空地上修建一个矩形绿化带𝐴𝐵𝐶𝐷，
绿化带一边靠墙，另三边用总长为40𝑚的栅栏围住(如图).若设绿化带的𝐵𝐶边长为𝑥𝑚，绿化带的面积为𝑦𝑚².
(1)求𝑦与𝑥的函数关系式，并写出自变量𝑥的取值范围； (2)当𝑥为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
24. 如图，将两个全等的直角三角形△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐶𝐸拼在一起(图1).△𝐴𝐵𝐷不动，
(1)若将△𝐴𝐶𝐸绕点𝐴逆时针旋转，连接𝐷𝐸，𝑀是𝐷𝐸的中点，连接𝑀𝐵、𝑀𝐶(图2)，证明：𝑀𝐵=𝑀𝐶． (2)若将图1中的𝐶𝐸向上平移，∠𝐶𝐴𝐸不变，连接𝐷𝐸，连接𝑀𝐵、𝑀𝐶(图3)，且𝑀𝐵//𝐴𝐸，𝑀𝐶//𝐴𝐷，
请判断并说明𝑀𝐵、𝑀𝐶的数量关系
(3)若将图1中的𝐶𝐸向上平移，若∠𝐶𝐴𝐸的大小改变(图4)，连接𝐷𝐸，𝑀是𝐷𝐸的中点，𝑀𝐶(图连接𝑀𝐵、
4)，请判断并说明𝑀𝐵、𝑀𝐶的数量关系．
25. 定义：函数𝑙与𝑙′的图象关于𝑦轴对称，点𝑃(𝑡,0)是𝑥轴上一点，将
函数𝑙′的图象位于直线𝑥=𝑡左侧的部分，以𝑥轴为对称轴翻折，得到新的函数𝑤的图象，我们称函数𝑤是函数𝑙的对称折函数，函数𝑤
的图象记作𝐹1，函数𝑙的图象位于直线𝑥=𝑡上以及右侧的部分记作𝐹2，图象𝐹1和𝐹2合起来记作图象𝐹．
例如：如图，函数𝑙的解析式为𝑦=𝑥+1，当𝑡=1时，它的对称折函数𝑤的解析式为𝑦=𝑥−1(𝑥<1)． (1)函数𝑙的解析式为𝑦=2𝑥−1，当𝑡=−2时，它的对称折函数𝑤的解析式为______ ；
(2)函数𝑙的解析式为𝑦=2𝑥2−𝑥−1，当−4≤𝑥≤2且𝑡=0时，求图象𝐹上点的纵坐标的最大值和最
小值；
(3)函数𝑙的解析式为𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)．
①若𝑎=1，直线𝑦=𝑡−1与图象𝐹有两个公共点，求𝑡的取值范围；
②当−5≤𝑥≤3，且𝑡=2时，图象𝐹上有4个点到𝑥轴的距离等于2，直接写出𝑎的取值范围．
1
参考答案及解析
1.答案：𝐶
解析：
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，
∴从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：5． 故选C．
3
2.答案：𝐷
解析：
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 解：𝐴、从甲袋中随机摸出1个球，是黄球是不可能事件； B、从甲袋中随机摸出1个球，是红球是必然事件； C、从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件； D、从乙袋中随机摸出1个球，是黄球是随机事件， 故选D．
3.答案：𝐶
解析：本题主要考查二次函数图象与平移变换．根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
解：根据题意，原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(1,2)，
∴平移后抛物线解析式为：．
故选C．
4.答案：𝐶
解析：解：根据题意画树状图如下：
由树形图可知所有可能情况共12种，其中2个球颜色不同的数目有8种， 所以这两个球颜色不同的概率是=12=3； 故选：𝐶．
画出树形图，得到所有等可能的结果数，找到2个球颜色不同的数目，即可求出其概率．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，然后根据概率公式求出事件𝐴或𝐵的概率．同时本题还考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8
2
5.答案：𝐵
解析：解：设该地区居民年人均收入平均增长率为𝑥， 依题意得：20000(1+𝑥)2=39200，
解得：𝑥1=0.4=40%，𝑥2=−2.4(不合题意，舍去)． 故选：𝐵．
设该地区居民年人均收入平均增长率为𝑥，根据该地区居民2016年及2018年的人均年收入，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.答案：𝐶
解析：解：设𝐶𝐷与𝐸𝐹的交点为𝐻，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐵， ∵点𝐸是𝐴𝐷中点， ∴𝐴𝐸=𝐷𝐸=𝐴𝐷，
21
在△𝐷𝐸𝑀和△𝐷𝐻𝑀中， ∠𝐸𝐷𝑀=∠𝐻𝐷𝑀{𝐷𝑀=𝐷𝑀， ∠𝐸𝑀𝐷=∠𝐷𝑀𝐻=90°∴△𝐷𝐸𝑀≌△𝐷𝐻𝑀(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐻， ∴𝐷𝐻=𝐶𝐻， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐻∽△𝐶𝐹𝐻， ∴
𝐷𝐸𝐶𝐹
=
𝐷𝐻𝐶𝐻
=1，
∴𝐷𝐸=𝐶𝐹=2， ∴𝐴𝐷=4=𝐶𝐷=𝐵𝐶， ∴𝐵𝐹=6， ∵𝐵𝐷=4， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐵𝐷， ∴△𝐵𝐶𝐷是等边三角形， ∴∠𝐷𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐵𝐹𝑀=30°，
∴𝐵𝑀=𝐵𝐹=3，𝑀𝐹=√3𝐵𝑀=3√3，
2∴𝐷𝑀=1，
∴𝐷𝐹=√𝑀𝐹2+𝐷𝑀2=√27+1=2√7， 故选：𝐶．
先证明△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，可求出𝐵𝑀的长，𝑀𝐹的长，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
1
7.答案：𝐴
解析：解：连接01𝑀，𝑂𝑂1，可得到直角三角形𝑂𝑂1𝑀， 依题意可知⊙𝑂的半径为2，
则𝑂𝑂1=2−𝑦，𝑂𝑀=2−𝑥，𝑂1𝑀=𝑦．
在𝑅𝑡△𝑂𝑂1𝑀中，由勾股定理得(2−𝑦)2−(2−𝑥)2=𝑦2， 解得𝑦=−4𝑥2+𝑥． 故选A．
连接01𝑀，𝑂𝑂1，可得到直角三角形𝑂𝑂1𝑀，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得． 作连心线，连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法是本题的考查对象．
1
8.答案：𝐴
解析：解：①因为函数图象与𝑦轴的交点在𝑦轴的负半轴可知，𝑐<0，故此选项正确； ②由函数图象开口向上可知，𝑎>0，由①知，𝑐<0，
由函数的对称轴在𝑥的正半轴上可知，𝑥=−2𝑎>0，故𝑏<0，故𝑎𝑏𝑐>0；故此选项正确； ③把𝑥=−1代入函数解析式，由函数的图象可知，𝑥=−1时，𝑦>0即𝑎−𝑏+𝑐>0；故此选项正确；
④因为函数的对称轴为𝑥=−2𝑎=3，故2𝑎=−3𝑏，即2𝑎+3𝑏=0；故此选项错误； ⑤当𝑥=2时，𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐=2×(−3𝑏)+2𝑏+𝑐=𝑐−4𝑏， 而点(2,𝑐−4𝑏)在第一象限， ∴⑤𝑐−4𝑏>0，故此选项正确． 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：𝐴．
由抛物线的开口方向判断𝑎与0的关系，由抛物线与𝑦轴的交点判断𝑐与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与𝑥轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2𝑎与𝑏的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
𝑏
1
𝑏
9.答案：𝐷
解析：解：将△𝑂𝐵𝐷顺时针旋转270°，则𝐵𝑂与𝐴𝑂重合， 由题意可得：𝐴𝐵′=𝐵𝐷=40千米，𝐴𝐶=60千米， 在△𝐶𝑂𝐷和△𝐵′𝑂𝐶中，
𝐷𝑂=𝑂𝐵′
∵{∠𝐶𝑂𝐷=∠𝐵′𝑂𝐶， 𝐶𝑂=𝐶𝑂∴△𝐶𝑂𝐷≌△𝐵′𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)，
则𝐷𝐶=𝐵′𝐶=40+60=100(千米)， 故选：𝐷．
利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出△𝐶𝑂𝐷≌△𝐵′𝑂𝐶(𝑆𝐴𝑆)，则𝐵′𝐶=𝐷𝐶，进而求出即可．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出△𝐶𝑂𝐷≌△𝐵′𝑂𝐶是解题关键．
10.答案：𝐶
解析：解：∵点𝑃(𝑐𝑜𝑠60°,−𝑠𝑖𝑛30°)， ∴𝑃(2,−2)，
∵点𝑃在反比例函数𝑦=𝑥的图象上， ∴𝑘=2×(−2)=−4，
∴此反比例函数的解析式为：𝑦=−4𝑥． 故选：𝐶．
先根据特殊角的三角函数值求出𝑃点坐标，再根据反比例函数中𝑘=𝑥𝑦的特点求出𝑘的值，进而可得出反比例函数的解析式．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
1
1
1
1
𝑘
1
1
11.答案：𝑦=15(1+3%)𝑥
解析：
此题考查函数解析式的求法．增长率问题是一重要的模型．本题主要考查建立函数关系，用数学知识解决实际问题的能力．根据成本每年比上一年增长3%，可以先算出第一年产量是𝑦=15(1+3%)，依此类推，找出规律，可以算出年产量随经过年数变化的函数关系． 解：设年产值经过𝑥年增加到𝑦元， 第一年为 𝑦=15(1+3%)，
第二年为 𝑦=15(1+3%)(1+3%)=15(1+3%)2， 第三年为 𝑦=15(1+3%)(1+3%)(1+3%)=15(1+3%)3，
…
则随着年数𝑥变化的函数关系式是𝑦=15(1+3%)𝑥． 故答案为：𝑦=15(1+3%)𝑥．
12.答案：1(答案不唯一)
解析：解：∵抛物线𝑦=(𝑚−2)𝑥2开口向下， ∴𝑚−2<0， 解得：𝑚<2， ∴𝑚<2的数均可， 故答案为：1(答案不唯一)．
根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，写出即可． 本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．
13.答案：𝑥1=0，𝑥2=5
解析：
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
在方程左边两项中都含有公因式𝑥，所以可用提公因式法． 解：直接因式分解得𝑥(𝑥−5)=0，解得𝑥1=0，𝑥2=5． 故答案为𝑥1=0，𝑥2=5．
14.答案：9
解析：解：设同去春游的人数是𝑥人， 依题意，得：2𝑥(𝑥−1)=36， 解得：𝑥1=9，𝑥2=−8(舍去)． 故答案是：9．
设同去春游的人数是𝑥人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
√215.答案：172
1
解析：
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是找到𝐴𝐸2+𝐴𝐷2=2𝐴𝐶2． 连接𝐵𝐸，根据题意可以证明△𝐴𝐸𝐵是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明𝐴𝐸2+𝐴𝐷2=2𝐴𝐶2，即可求𝐴𝐶的值． 解：连接𝐵𝐸，
∵△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐶𝐸=𝐶𝐷，
∴∠𝐸𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐸𝐶𝐵=90°，∠𝐶𝐸𝐴=∠𝐶𝐷𝐸=45°，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=45°， ∴∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐵，且𝐶𝐸=𝐶𝐷，𝐶𝐴=𝐶𝐵， 在△𝐷𝐶𝐴与△𝐸𝐶𝐵中， 𝐶𝐸=𝐶𝐷
{∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐴， 𝐶𝐵=𝐶𝐴
∴△𝐷𝐶𝐴≌△𝐸𝐶𝐵(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐸，∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐶𝐷𝐴，
∴∠𝐵𝐸𝐴=∠𝐶𝐸𝐵+∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐸𝐴+∠𝐶𝐷𝐴=90°， ∴△𝐴𝐸𝐵是直角三角形， ∴𝐴𝐸2+𝐵𝐸2=𝐴𝐵2，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=2𝐴𝐶2=𝐴𝐵2， ∴2𝐴𝐶2=𝐴𝐸2+𝐵𝐸2， 即𝐴𝐸2+𝐴𝐷2=2𝐴𝐶2； ∵𝐴𝐷=8，𝐷𝐸=23，
∴𝐴𝐸=𝐷𝐸−𝐴𝐷=23−8=15， ∴𝐴𝐶=
17√2， 2
17√2． 2
故答案为
16.答案：𝑦=𝑥2−1
解析：解：把𝑥=2代入𝑦=𝑥+1得，𝑦=2+1=3，
∴点𝐵(2,3)
当𝑦=0时，即0=𝑥+1，解得，𝑥=−1， ∴点𝐴(−1,0)
由于抛物线的顶点在𝑦轴上，因此对称轴为𝑦轴，设抛物线的关系式为：𝑦=𝑎𝑥2+𝑐， 把𝐴(−1,0)、𝐵(2,3)代入得，
𝑎+𝑐=0{，解得，𝑎=1，𝑐=−1， 4𝑎+𝑐=3
∴抛物线的关系式为：𝑦=𝑥2−1， 故答案为𝑦=𝑥2−1．
求出点𝐴、𝐵的坐标，设出抛物线的关系式代入求出待定系数即可．
考查二次函数的图象和性质，根据对称性可求出抛物线的对称轴，把点的坐标代入是常用的方法也是基本方法．
17.答案：解：(1)∵{𝑦=𝑘
𝑥
𝑦=−𝑥+8
∴(𝑥−4)2=16−𝑘 整理得𝑥2−8𝑥+𝑘=0
∵图象在第一象限内有两个不同的公共点𝐴、𝐵． ∴△=64−4𝑘>0 解得：𝑘<16， ∴0<𝑘<16；
(2)∵令一次函数𝑦=−𝑥+8中𝑥=0，解得𝑦=8，故𝑂𝐶=8， ∴𝑆△𝐶𝑂𝐵=𝑂𝐶𝑥2，𝑆△𝐶𝑂𝐴=𝑂𝐶𝑥1，
2
2
1
1
𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐶𝑂𝐵−𝑆△𝐶𝑂𝐴=𝑂𝐶(𝑥2−𝑥1)=24
2
1
∴24=4(𝑥2−𝑥1)，∴(𝑥2−𝑥1)2=36， ∴(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=36，
∵一次函数𝑦=−𝑥+8和反比例函数𝑦=𝑥图象在第一象限内有两个不同的公共点， ∴−𝑥+8=𝑥， ∴𝑥2−8𝑥+𝑘=0
设方程𝑥2−8𝑥+𝑘=0的两根分别为𝑥1，𝑥2， ∴根据根与系数的关系得：𝑥1+𝑥2=8，𝑥1⋅𝑥2=𝑘．
𝑘
𝑘
∴64−4𝑘=36 ∴𝑘=7．
解析：(1)解由它们组成的方程组，得关于𝑥的二次方程，运用根与系数关系求实数𝑘的取值范围； (2)𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐶𝑂𝐵−𝑆△𝐶𝑂𝐴，据此得关系式求解．
此题把函数与一元二次方程根与系数关系联系起来，重点在运用一元二次方程根与系数关系解题．
18.答案：解：(1)分解因式得：𝑥(𝑥+1)=0，
𝑥=0，𝑥+1=0， 解得：𝑥1=0，𝑥2=−1． 解：(1)𝑥2−4𝑥−1=0 𝑥2−4𝑥=1 𝑥2−4𝑥+22=1+22 (𝑥−2)2=5 ∴𝑥−2=±√5，
∴𝑥1=2+√5，𝑥2=2−√5，
解析：(1)分解因式得出𝑥(𝑥+1)=0，推出𝑥=0，𝑥+1=0，求出方程的解即可． (2)根据配方法进行解答即可．
本题考查解一元二次方程−配方法和因式分解法，解题的关键是明确怎么应用配方法和因式分解法解答方程．
19.答案：解：(1)𝐴1(2,1)；
(2)点𝐵经过的路径其长度为：
90×𝜋×3180
=𝜋.
2
3
解析：(1)把𝐴、𝐵、𝐶三点向右平移8个单位后，顺次连接得到的关键点即可；
(2)把𝐵、𝐶两点绕点𝐴顺时针旋转90°得到𝐵2，𝐶2，
顺次连接𝐴，𝐵2，𝐶2三点即为得到的图形，点𝐵经过的路径长为圆心角为90°，半径为3的弧长． 考查平移作图，旋转作图及相关的一些运算；注意图形的变换，看关键点的变换即可．
20.答案：解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小红抽到的两张卡片上的两个数都是无理数的结果有2个， ∴小红抽到的两张卡片上的两个数都是无理数的概率=12=6．
解析：画出树状图，共有12个等可能的结果，小红抽到的两张卡片上的两个数都是无理数的结果有2个，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果𝑛，再从中选出符合事件𝐴或𝐵的结果数目𝑚，然后利用概率公式计算事件𝐴或事件𝐵的概率．
2
1
21.答案：解：(1)由图示知，自变量的取值范围是−4≤𝑥≤4；
(2)由图示知，当𝑦=0时，𝑥=−3、−1或4．
(3)由图示知，当𝑥=1.5时𝑦的值最大；当𝑥=−2时𝑦的值最小；
(4)由图示知，当−2<𝑥<1.5时，𝑦随𝑥的增大而增大；当−4<𝑥<−2和1.5<𝑥<4时，𝑦随𝑥的增大而减小．
解析：根据函数图象与坐标轴的交点以及函数的增减性回答问题． 此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．
22.答案：(1)证明：连接𝑂𝐷，
∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐸𝐹=90°． ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐵， ∵𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∴∠𝑂𝐷𝐵=∠𝐵， ∴∠𝐶=∠𝑂𝐷𝐵． ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶，
∴∠𝑂𝐷𝐸=∠𝐷𝐸𝐶=90°， ∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸，
又𝑂𝐷为⊙𝑂的半径． ∴𝐷𝐸是⊙𝑂的切线．
(2)解：过点𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐹于点𝐺，
∴∠𝑂𝐺𝐸=∠𝑂𝐺𝐴=90°，𝐴𝐺=𝐺𝐹=2𝐴𝐹， 又∵∠𝐷𝐸𝐺=∠𝑂𝐷𝐸=90°， ∴四边形𝑂𝐺𝐸𝐷为矩形， ∴𝑂𝐺=𝐷𝐸，𝑂𝐷=𝐺𝐸，
设𝐴𝐺=𝐺𝐹=𝑥，则𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝐺𝐸=𝐺𝐹+𝐸𝐹=𝑥+2，𝑂𝐺=𝐷𝐸=𝐴𝐹−2=2𝑥−2． 在𝑅𝑡△𝑂𝐴𝐺中，𝐴𝐺2+𝑂𝐺2=𝑂𝐴2， 即𝑥2+(2𝑥−2)2=(𝑥+2)2， 解得𝑥1=3，𝑥2=0(舍去)， ∴𝑂𝐷=3+2=5， 即⊙𝑂的半径为5．
解析：(1)连接𝑂𝐷，由等腰三角形的性质证得∠𝐶=∠𝑂𝐷𝐵.得出𝑂𝐷//𝐴𝐶，由平行线的性质得出𝑂𝐷⊥𝐷𝐸，则可得出答案；
(2)过点𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐹于点𝐺，证明四边形𝑂𝐺𝐸𝐷为矩形，由矩形的性质得出𝑂𝐺=𝐷𝐸，𝑂𝐷=𝐺𝐸，设𝐴𝐺=𝐺𝐹=𝑥，𝑂𝐺=𝐷𝐸=2𝑥−2.由勾股定理得出𝑥2+(2𝑥−2)2=(𝑥+则𝑂𝐴=𝑂𝐷=𝐺𝐸=𝑥+2，2)2，解方程可得出答案．
本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
1
23.答案：(1)：∵𝐵𝐶=𝑥，∴𝐶𝐷=
∵0<𝑥≤16且0<∴0<𝑥≤16
<40
∴𝑦=𝐵𝐶−𝐶𝐷=
(2)
∵
，∴开口向下，当𝑥<20时，𝑦随𝑥的增大而增大
有∵0<𝑥≤16，∴当𝑥=16时，
解析：试题分析：本题考查二次函数的实际应用问题。 解(1)：∵𝐵𝐶=𝑥，∴𝐶𝐷=
∴𝑦=𝐵𝐶−𝐶𝐷=
<40∴0<𝑥≤16，则
∵0<𝑥≤16且0<(2)
∵
，∴开口向下，当𝑥<20时，𝑦随𝑥的增大而增大
。
又∵0<𝑥≤16，∴当𝑥=16时，考点：二次函数
24.答案：证明：(1)如图2，连接𝐴𝑀，由已知得△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷=𝐴𝐸，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， ∵𝑀𝐷=𝑀𝐸， ∴∠𝑀𝐴𝐷=∠𝑀𝐴𝐸，
∴∠𝑀𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐷=∠𝑀𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐸， 即∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑀， 在△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝐶𝑀中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
{∠𝑀𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝑀， 𝐴𝑀=𝐴𝑀
∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝑀(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐵=𝑀𝐶． (2)结论：𝑀𝐵=𝑀𝐶． 理由如下：如图3，
∵𝑀𝐵//𝐴𝐸′， ∴∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐶𝐴𝐸， ∵𝑀𝐶//𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， ∴∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝑀， ∴𝑀𝐵=𝑀𝐶． (3)𝑀𝐵=𝑀𝐶还成立． 如图4，延长𝐵𝑀交𝐶𝐸于𝐹．
∵𝐶𝐸//𝐵𝐷，
∴∠𝑀𝐷𝐵=∠𝑀𝐸𝐹，∠𝑀𝐵𝐷=∠𝑀𝐹𝐸， 又∵𝑀是𝐷𝐸的中点， ∴𝑀𝐷=𝑀𝐸， 在△𝑀𝐷𝐵和△𝑀𝐸𝐹中， ∠𝑀𝐷𝐵=∠𝑀𝐸𝐹{∠𝑀𝐵𝐷=∠𝑀𝐹𝐸， 𝑀𝐷=𝑀𝐸
∴△𝑀𝐷𝐵≌△𝑀𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐵=𝑀𝐹， ∵∠𝐴𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐵𝐶𝐹=90°， ∴𝑀𝐵=𝑀𝐶．
解析：(1)证明△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝑀(𝑆𝐴𝑆)，即可解决问题．
(2)结论：𝑀𝐵=𝑀𝐶.想办法证明∠𝑀𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝑀，即可解决问题．
(3)结论：𝑀𝐵=𝑀𝐶.证明△𝑀𝐷𝐵≌△𝑀𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)，推出𝑀𝐵=𝑀𝐹，即可解决问题．
本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.答案：𝑦=2𝑥+1(𝑥<−2)
解析：解：(1)∵函数𝑙的解析式为𝑦=2𝑥−1，函数𝑙与𝑙′的图象关于𝑦轴对称， ∴函数𝑙′的解析式为𝑦=−2𝑥−1，
∴𝑡=−2时，它的对称折函数𝑤的解析式为𝑦=2𝑥+1(𝑥<−2)． 故答案为：𝑦=2𝑥+1(𝑥<−2)； (2)由题意得𝐹的解析式为：
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𝑦={1，
2
−2𝑥−𝑥+1(𝑥<0)∴当𝑥=−4时，𝑦=−3； 当𝑥=−1时，𝑦=2； 当𝑥=1时，𝑦=−2； 当𝑥=2时，𝑦=1，
∴图象𝐹上的点的纵坐标的最大值为𝑦=2，最小值为𝑦=−3； 𝑥2−2𝑥−3(𝑥≥𝑡)
． (3)①当𝑎=1时，图象𝐹的解析式为：𝑦={2
−𝑥−2𝑥+3(𝑥<𝑡)ⅰ：当𝑡−1=−4时，𝑡=−3，
∴当𝑡=−3时，直线𝑦=𝑡−1与图象𝐹有两个公共点；
ⅰ：当点(𝑡,𝑡−1)落在𝑦=𝑥2−2𝑥−3(𝑥≥𝑡)上时，𝑡−1=𝑡2−2𝑡−3，解得𝑡1=当点(𝑡,𝑡−1)落在𝑦=−𝑥2−2𝑥+3(𝑥<𝑡)上时，𝑡−1=−𝑡2−2𝑡+3， 解得𝑡3=−4(舍)，𝑡4=1， ∵𝑡−1=4， ∴𝑡=5； ∴当
3−√172
3−√172
3
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𝑥2−𝑥−1(𝑥≥0)
，𝑡2=
3+√172
，
<𝑡≤1或
3+√172
<𝑡<5时，直线𝑦=𝑡−1与图象𝐹有两个公共点；
<𝑡≤1或
3+√172
综上所述：当𝑡=−3，
3−√172
<𝑡<5时，直线𝑦=𝑡−1与图象𝐹有两个公共点；
𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑡≥2)
， ②图象𝐹的解析式为：𝑦={
−𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+3𝑎(𝑡<2)∵当𝑥=3时，𝑦=0，𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎的对称轴为𝑥=1， ∴𝑦=−𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+3𝑎的对称轴为𝑥=−1， 当𝑎>0时，
当𝑥=2时，𝑦=−3𝑎>−2，解得𝑎<3； 当𝑥=−1时，𝑦=4𝑎>2，解得𝑎>2； 当𝑥=−5时，𝑦=−12𝑎<−2，解得𝑎>6； ∴2<𝑎<3； 当𝑎<0时，
1
2
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当𝑥=2时，𝑦=−3𝑎<2，解得𝑎>−3； 当𝑥=−1时，𝑦=4𝑎<−2，解得𝑎<−2； 当𝑥=−5时，𝑦=−12𝑎>2，解得𝑎<−6； ∴−3<𝑎<−2；
综上所述2<𝑎<3或−3<𝑎<−2．
(1)先由函数𝑙与𝑙′的图象关于𝑦轴对称，写出函数𝑙′的解析式，再根据对称折函数的定义写出对称折函数𝑤的解析式即可；
(2)由题意得𝐹的解析式，由自变量的取值范围−4≤𝑥≤2，结合二次函数的性质分段可得出图象𝐹上点的纵坐标的最大值和最小值；
(3)①先写出当𝑎=1时，图象𝐹的解析式，分两种情况计算：ⅰ：当𝑡−1=−4时，𝑡=−3，ⅰ：当点(𝑡,𝑡−1)落在𝑦=𝑥2−2𝑥−3(𝑥≥𝑡)上时，𝑡−1=𝑡2−2𝑡−3，即可求得𝑡的取值范围；②写出图象𝐹的解析式，再分两种情况分别求解：当𝑎>0时，当𝑎<0时，当𝑥=2时、当𝑥=−1时、当𝑥=−5时，根据图象𝐹上有4个点到𝑥轴的距离等于2，分别得出关于𝑎的不等式，求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、函数的对称变换、一元一次不等式及一元二次方程等知识点，读懂定义、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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