乘法公式、指数基本运算与多项式

乘法公式、指數基本運算與多項式

§§乘法公式、指數基本運算與多項式 壹、本節重點 1.乘法公式： (1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a-b)2 =a2-2ab+b2

(3)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (4)(a+b)(a-b)=a2-b2 (5)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (6)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

(7)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3= a3+b3+3ab(a+b) (8)(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3= a3-b3-3ab(a-b) (9)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (10)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

(11)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=a3+b3+c3-3abc 2.指數律： (1)am×an=am+n

(4)(ab)=ab (7)a

1

n(2)am÷an=am-n---a0

ana(5)n---b0

bb1nnn(3)(am)n=am×n (6)a≠0a0=1

mnnnn

1n---a0 a(8)aa---a>0 (9)a=nam---a>0

3.求值公式：

[型一]已知a+b和ab之值：

(1)a2+b2=(a+b)2-2ab (3)a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2 [型二]已知a-b和ab之值：

(1)a2+b2=(a-b)2+2ab (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab

[型三]分式型，已知x或x之值：

11(1)x2x2

xx22(2)a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab

(2)a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)

1x1x11(2)x2x2

xx2211(3)xx4

xx32211(4)xx4

xx3221111113(5)x33x3x (6)x3x3x

xxxxxx4.商高定理(畢氏定理)：ABC中，C=90，則ACBCAB， 即直角三角形兩股長的平方和等於斜邊的平方。 常見的直角三角形三邊長：

A B C

0

22(1)四類型：(3，4，5)、(5，12，13)、(7，24，25)、(8，15，17)。 (2)將五類型的三邊按一定比例放大或縮小也可成為直角三角形。例：(3，4，5)(6，8，10)(9，12，15)……。 5.坐標平面上兩點間的距離及中點坐標求法：

設坐標平面上相異兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，O為原點，則： (1)ABx1x22y1y22 (2)AB中點M的坐標為

2

x1x2y1y2, 226.多項式的基本概念： (1)多項式的判別：

多項式為一有限項的代數式之和，且未知數不可在 分母根號內絕對值內指數上。 (2)多項式的次數：

單一文字以最高次項之次數為其次數。 多文字以各項次數和最高者為其次數。 例：x3-2x4-7x+5為x的四次多項式。

x4-4x2y3-x2y4+3y5-9為x、y的六次多項式。

(3)升羃排列：將文字之次數由左而右，由小而大排列。 降羃排列：將文字之次數由左而右，由大而小排列。 (4)常數多項式：不含文字的多項式。

零次多項式：除常數項0外，其餘各項係數皆為0。 零多項式：各項係數皆為0。※無次數可言。 (5)多項式的值：

多項式f(x)中，若x以某一數(式)代入，所得結果即為其值。 7.多項式的加減法：

(1)法則：將同類項的係數相加(減)，不是同類項無法合併，以加(減)

號連接。

(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n，則： 若m＞nAB為m次多項式。 若m＜nAB為n次多項式。

若m=nAB其次數不大於m或無次數可言。 (3)若ax2+bx+c=px2+qx+ra=p，b=q，c=r。

3

8.多項式的乘法：

(1)法則：運用分配律及指數律和乘法公式。

分離係數法(依降羃排列，缺項補0)

(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、nA×B之次數為m+n。 (3)設A、B、C三多項式之係數和分別為S1、S2、S3，若A×B=C，則S1×S2=S3。

(4)第xp項係數的求法：所有xa×xb=xp中之係數乘積之和， 即為xp項之係數。 9.多項式的除法：

(1)法則：長除法；分離係數法(依降羃排列，缺項補0) (2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n(m≧n)，則： A除以B之次數為m-n。餘式的次數必小於除式的次數。 (3)除法關係式：設A、B表兩多項式且A除以B，商為Q，餘式為R。則：A=BQ+R。(4)若A=BQ+R，則： aA=B×aQ+ar；

即被除式變a倍，而除式不變，則商變a倍，餘式變a倍。 A=aB×+R；

即被除式不變，而除式變a倍，則商變倍，餘式不變。 10.餘式定理：

(1)f(x)除以(x-k)的餘式是f(k)；若f(x)能被(x-k)整除，則f(k)=0。 (2)f(x)除以(ax+b)的餘式為f(-)。

4

ARQ。 BBQa1aba貳、例題 例1.求下列各式的值：(1)(32)2-(28)2 (2)532452 解：

例2.求19992-2×19982+19972之值。 解：

例3.設a+b=5、ab=3，求(1)a2+b2 (2)a-b (3)3a2+4ab+3b2 (4)a3+b3

之值。 解：

5

1414【答：(1)242；(2)28】

【答：2】

【答：(1)19 (2)13 (3)69 (4)80】

例4.在ΔABC中，BCx+2，CA=2x-3，AB=3x-7，若周長為16，

求ΔABC的面積。 解：

例5.(1)已知A(-2，6)，B(4，-2)兩點，求AB的長。

(2)坐標平面上A(2，-1)，B(a，3)，若AB=5，求a。 解：

例6.若f(x)=3x3+mx2-nx+4，且f(-1)= -1，f(2)=2，求m、n的值。 解：

6

【答：12平方單位】

【答：(1)10 (2)5或-1】

【答：m= -5，n=3】

例7.有一數學題目：「二多項式A、B，B為6x3+5x2+7x-3，試求A-B」。

小山誤將「A-B」看成「A+B」，結果求出答案是「3x2-5x+9」，請問A-B的正確答案是多少？ 解：

例8.若多項式2x3+3x2+kx-3與(2x+3)(ax2+b)相等，其中a、b、k為

常數，求k的值。 解：

4x23x132x1例9.設f(x)為一多項式，且，求f(x)。

f(x)f(x)【答：-12x3+13x2-19x+15】

【答：-2】

解：

7

【答：2x2-x+2】

例10.多項式A被x-1除，得餘式為1，求多項式A與(x+1)的乘積

被(x-1)除所得的餘式。 【答：2】

解：

例11.利用公式(x±1)2=x2±2±1xx2，求下列各數： (1)51149 (2)79181 【答：(1)717解： 8

(2)889】

參、習題 1.求下列各式的值：(1)1998×2002 (2)(1006-11)2-(1001-16)2 解：

2.求10012+9992-2×1002×998之值。 解：

3.設a-b=7，ab=1，求(1)a2+b2 (2)a+b 解：

9

(3)a2-b2 (4)a3-b3之值。

4.若直角三角形的兩股和為23公分，斜邊長為17公分，求三角形的面積。 解：

5.坐標平面上兩點A(-5，6)，C(1，-2)，若A、C為長方形ABCD的兩個頂點，且AB平行x軸，AD平行y軸，求長方形ABCD的對角線長。 解：

6.設f(x)=x2+ax-b，3f(2)-4f(1)=7，f(3)=5，求a+b的值。 解：

10

7.兩多項式A、B，已知B為2x+1，欲求A+B，但小晴將A+B看成A÷B，得結果是4x2-2x+1，求A+B之正確答案。 解：

8.若2x2+3x+7=a(x+1)(x-1)+b(x+2)(x-2)+(x+2)(x+1)，求a+b的值。 解：

9.設f(x)=x3+ax2+bx+5能被x+1整除，且被x-2除，所得餘式為-9，求(1)f(x) (2)f(x)除以(2x-1)的餘式。 解：

11

10.若f(x)被x+2除餘3，被x-3除餘4，求f(x)除以(x+2)(x-3)的餘式。 解：

11.利用公式(x±)2=x2±2±(1)83解：

1x1，求下列各數： x211 (2)119 81121肆、習題簡答

1.(1)399996 (2)19800 2.10 3.(1)51；(2)53 (3)753 (4)364 4.60平方公分 5.10 6.0 7. 8x3+2x+2 8.1 9.(1)f(x)=x3-5x2-x+5 (2)

27110117 10.x 11.(1)9 (2)10 55891112