高中数学 必修 1 知识点
第一章 聚集与函数观点
〖 1.1 〗聚集
【 1.1.1 】聚集地寄义与表现
〔1〕聚集地观点
聚集中地元素具有确定性、互异性与无序性 〔 2〕常用数集及其记法
.
N 表现天然数集， N
〔 3〕聚集与元素间地干系
或 N 表现正整数集，
Z 表现整数集， Q 表现有理数集， R 表现实数集 .
东西 a 与聚集 M 地干系为 a 〔 4〕聚集地表现法
M ，大概 a M ，两者必居其一 .
.
.
①天然语言法：用笔墨表达地情势来形貌聚集
②枚举法：把聚集中地元素逐一枚举出来，写在大括号内表现聚集 ③形貌法： { x | x 具有地性子 } ，此中 x为聚集地代表元素 . ④图示法：用数轴或韦恩图来表现聚集
〔 5〕聚集地分类
①含有有限个元素地聚集叫做有限集 叫做空集 (
).
.
. ②含有无穷个元素地聚集叫做无穷集 . ③不含有任何元素地聚集
【 1.1.2 】聚集间地基础干系
〔 6〕子集、真子集、聚集相称 名称
暗号
意义
(1)A
A 中地任一元素都属 于 B
(2) (3) 假设
A
性子
表示图
A
子集
B
〔或
B
A
真子集
〔或 B
A)
B
(4) 假〔1〕
A A B 且 B A B 且 B
A(B)
C ，那A C
么 A ，那
B A
或
A B ，且 B 中至
(2) 假设
A〔 A 为非空子集〕
B
A
A 〕
少有一元素不属于 A
A
聚集 相称
A 中地任一元素都属
B 且 B C ，那么 C
A
A(B)
A B
于 B ，B 中地任一元素 都属于 A
(1)A (2)B
B A
〔 7〕聚集
n(n 1) 个元素，那么它2 A 有 2 非空真子集 .
n
个子集，它有
2
n
1 个真子集，它有 2
n
1 个非空子集，
它有
2
n
【 1.1.3 】聚集地基础运算
1
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〔 8〕交集、并集、补集
名称
暗号
意义
性子
〔1〕 A 〔2〕 A 〔3〕 A
表示图
交集
A B
{ x | x A, 且
x B} { x | x A, 或
x B}
A A B B
A
A
B
并集
A B
A
〔1〕 A 〔2〕 A 〔3〕 A
A
1 A (eU A)
B A A
A B A B
B
2 A (eU A) U
A B
补集
eU A
{ x | x U , 且
x
A}
痧( A B) ( U A) (? U U B) 痧( A B) ( U A) (?B) U U
【增补知识】含绝对值地不等式与一元二次不等式地解法
〔 1〕含绝对值地不等式地解法
不等式
解集
| x | a(a 0) | x | a(a 0)
把 ax
{ x | a x a} x | x
a 或 x a}
b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x | a ，
| ax b | c,| ax b | c(c 0)
| x | a(a 0) 型不等式来求解
〔 2〕一元二次不等式地解法
鉴别式
b
2
4ac
0 0 0
二次函数
y ax
2
bx c(a 0)
O
舆图象
一元二次方程
ax
2
x1,2
bx c 0(a 0)
地根
b
b4ac
2a
2 1
x1 x2
b 2a
无实根
〔此中 x
x2 )
{ x | x
} 2a b
ax
2
bx c 0(a 0)
地解集
{ x| x x1 或 x x2} { x | x1
x x2}
2
R
ax
2
bx c 0(a 0)
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地解集
〖 1.2 〗函数及其表现 【 1.2.1 】函数地观点
〔 1〕函数地观点
①设 A、 B 为两个非空隙数集， 假如凭据某种对应法那么 中都有唯一确定地数
f ，对付聚集 A 中任何一个数 x ，在聚集 B
f ( x) 与它对应， 那么如许地对应 〔包罗聚集 A ，B 以及 A 到 B 地对应法那f 〕
叫做聚集
A到 B 地一个函数，记
f : A
B ．
②函数地三要素 : 界说域、值域与对应法那么．
③只有界说域雷同，且对应法那么也雷同地两个函数才为同一函
数．
〔 2〕区间地观点及表现法
①设 a, b 为两个实数，且
a b ，满意 a x b 地实数 x 地聚集叫做闭区间，记做 [a, b] ；满意
a x b 地实数 x 地聚集叫做开区间，记做 (a,b) ；满意 a x b ，或 a x b 地实数 x 地
聚集叫做半开半闭区间，分别记做
[ a, b) ， (a,b] ；满意 x a, x a, x b, x b 地实数 x 地集 合分别记做 [a, ),( a, ),(
, b],(
, b) ．
留意： 对付聚集 { x | a x b} 与区间 (a,b) ，前者 a 可以大于或即是 b ，尔后者必须
a b ．
〔 3〕求函数地界说域时，一样平常遵照以下原那么：
① f ( x) 为整式时，界说域为全体实数．
② f ( x) 为分式函数时，界说域为使分母不为零地统统实数．
③ f ( x) 为偶次根式时，界说域为使被开方法为非负值时地实数地聚集．
④对数函数地真数大于零，当对数或指数函数地底数中含变量时，底数须大于零且不即是 1．
⑤ y
tan x 中， x k
2
( k Z ) ． ⑥零〔负〕指数幂地底数不能为零． ⑦假为由有限个基础初等函数地四那么运算而合成地函数时，那么其界说域一样平常为各基础
设
f ( x) 初等函数
地界说域地交集．
⑧对付求复合函数界说域题目， 一样平常步调为： 假
设 f (x) 地界说域为 [ a,b] ，其复合函数 f [ g( x)]
地界说域应由不等式
a g ( x) b 解出．
⑨对付含字母参数地函数，求其界说域，凭据题目详细环境需对字母参数举行分类讨论． ⑩由现实题目确定地函数，其界说域除使函数故意义外，还要切合题目地现实意义．
3
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〔 4〕求函数地值域或最值
求函数最值地常用要领与求函数值域地要领基础上为雷同地．究竟上，假如在函数地值域中存在一个 最小〔大〕数，这个数就为函数地最小〔大〕值．因此求函数地最值与值域，实在质为雷同地，只为 提问地角度差别．求函数值域与最值地常用要领：
①视察法：对付比较简朴地函数，我们可以通过视察直接得到值域或最值．
②配要领：将函数剖析式化成含有自变量地平方法与常数地与，然后凭据变量地取值范畴确定函数地 值域或最值． ③鉴别式法：假设函
数
y
f ( x) 可以化成一个系数含有 y 地关于 x 地二次方程
a( y) x
2
b( y) x c( y) 0 ，那么a( y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须有
b ( y) 2
4a( y) c( y) 0，从而确定函数地值域或最值．
④不等式法：利用基础不等式确定函数地值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易地目地，三角代换可将代数函数地最值题目转化为
三角函数地最值题目．
⑥反函数法：利用函数与它地反函数地界说域与值域地互逆干系确定函数地值域或最值． ⑦数形结正当：利用函数图象或多少要领确定函数地值域或最值． ⑧函数地单调性法．
【 1.2.2 】函数地表现法
〔 5〕函数地表现要领
表现函数地要领，常用地有剖析法、列表法、图象法三种．
剖析法：就为用数学表达式表现两个变量之间地对应干系．列表法：就为列出表格来表现两个变量之间 地对应干系．图象法：就为用图象表现两个变量之间地对应干系． 〔 6〕映射地观点
①设 A、 B 为两个聚集， 假如凭据某种对应法那f ，对付聚集 A 中任何一个元素， 在聚集 B 中都有
唯一地元素与它对应， 那么如许地对应 〔包罗聚集
A ， B 以及 A 到 B 地对应法那f 〕叫做聚集 A
B 地映射，记作 f : A
B ．
②给定一个聚集
A 到聚集 B 地映射，且 a A,b B ．假如元素 a 与元素 b 对应，那么我们把元素
b 叫做元素 a地象，元
a叫做元素 b 地原
〖 1.3 〗函数地根天性子 【1.3.1 】单调性与最大〔小〕值
〔 1〕函数地单调性
①界说及判定要领 函数地 性 质
界说
图象
判定要领
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假如对付属于界说域 I 内某 〔 1〕利用界说
个区间上地恣意两个自变量
1 2 时，都 地值 x1 、x2 , 当 x < x ． ．． ．．12有 f．(x) y y=f(X) f(x2 ) f(x1 ) 〔 2〕利用函数地 单调性 〔 3〕利用函数图象 〔在 某个区间图 ． f(x) 在这个区间上为 增函数．．． o 函数地 单调性 假如对付属于界说域 I 内某 x1 x2 x 象上升为增〕 〔 4〕利用复合函数 〔 1〕利用界说 y f(x ) 1y=f(X) 〔 2〕利用函数地 单调性 〔 3〕利用函数图象 〔在 个区间上地恣意两个自变量 时，都 地值 x 1、 x2 ，当 x < x 2 1 ．．． ． ． 有 f．(x1)>f(x2)， 那 么 就 说 ．．．．．．．．．． f(x) 在这个区间上为 减函数．．．． f(x ) 2 某个区间图 象降落为 2 o x1 x x 减〕 〔 4〕利用复合函数 ②在大众界说域内，两个增函数地与为增函数，两个减函数地与为减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③ 对 于 复 合 函 数 y f [ g( x)] ， 令 u g(x) ， 假y 设 f (u) 为 增 ， u g( x) 为 增 ， 那 么 y f [ g (x)] 为增；假y g( x) 为 减 ， 那么 y f (u) 为减， u g (x) 为减，那么 y f [ g( x)] 为 减 ；假设 y f [ g (x)] 为增；假设 y f (u) 为 增 ， u f (u) 为 减， u g( x) 为 增， 那 y f [ g (x)] 为减． f ( x) x , a (a 0) 舆图象与性子 x a ] 、 [ a , ) 上为增函数，分别在 o x 〔 2〕打\"√〞函数 f ( x) 分别在 ( [ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数． 〔 3〕最大〔小〕值界说 ①一样平常地，设 函数 对付恣意地 y f ( x) 地界说域为 I ，假如存在实数 M 满意：〔1〕 x I ，都有 f ( x) M ； 〔 2〕存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M ．那么，我们称 M 为函数 f (x) 地最大值，记作 fmax ( x) M ． ②一样平常地，设函数 y 1〕对付恣意地 x I ，都有 f ( x) 地界说域为 I ，假如存在实数 m 满意：〔 f ( x) m ；〔 2〕存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) m ．那么，我们称 m 为函数 f (x) 地最小值，记作 fmax (x) m ． 5 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 5 页，共 40 页 【 1.3.2 】奇偶性 〔 4〕函数地奇偶性 ①界说及判定要领 函数地 界说 图象 判定要领 性 质 假如对付函数 f(x) 界说域内 〔 1〕利用界说〔要先 恣意一个 x，都有 ．f(．－．x．)=．．－．判定界说域为否关于 f．(．x)．． ,那么函数 f(x) 叫做 原点对称〕 数． ． 〔 2〕利用图象〔图象 关于原点对称〕 函数地 奇偶性 假如对付函数 f(x) 界说域内 〔 1〕利用界说〔要先 恣意一个 x，都有 ．f．( －．x．)=．．f．(x．)．．, 判定界说域为否关于 那么函数 f(x) 叫做 偶．函．数．． 原点对称〕 〔 2〕利用图象〔图象 关于 y 轴对称〕 ②假设函 为奇函数，且在 数 f ( x) x 0 处有界说，那f (0) 0 ． ③奇函数在 y 轴两侧相对称地域间增减性雷同，偶函数在 y 轴两侧相对称地域间增减性相反． ④在大众界说域内，两个偶函数〔或奇函数〕地与〔或差〕仍为偶函数〔或奇函数〕 ，两个偶函数〔或 奇函数〕地积〔或商〕为偶函数，一个偶函数与一个奇函数地积〔或商〕为奇函数． 〖增补知识〗函数舆图象 〔 1〕作图 利用描点法作图： ①确定函数地界说域； ②化解函数剖析式； ③讨论函数地性子〔奇偶性、单调性〕 ； ④画出函数舆图象． 利用基础函数图象地变更作图： 要正确影象一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等种种基础 初等函数舆图象． ①平移变更 y f ( x) h 0,左移 h个单位 h 0,右移 | h|个单位 y f (x h) y f ( x) k 0,上移 k个单位 k 0,下移 | k|个单位 y f (x) k ②伸缩变更 y f ( x) 0 1,伸 1,缩 y f ( x) y f ( x) 0 A 1,缩 A 1,伸 y Af ( x) ③对称变更 y f ( x) x轴 y f (x) y f (x) y轴 y f ( x) 6 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 6 页，共 40 页 y f ( x) 原点 y f ( x) y f ( x) 直线 y x y f 1( x) y f ( x) 去掉 y轴左边图 象 y轴对称图 y f (| x |) 生存 y轴右边图象，并作其关于 y f ( x) 生存 x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上 y | f ( x) | 〔 2〕识图 对付给定函数舆图象，要能从图象地左右、上下分别范畴、变革趋势、对称性等方面研究函数地界说 域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数剖析式中参数地干系． 〔 3〕用图 函数图象形象地表现了函数地性子，为研究数量干系题目提供了\"形〞地直观性，它为探求解题途径， 得到题目效果地紧张东西．要器重数形联合解题地头脑要领． 第二章 基础初等函数 (Ⅰ ) 〖 2.1 〗指数函数 【 2.1.1 】指数与指数幂地运算 〔 1〕根式地观点 ①假如 x n a, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 地 n 次方根．当 n 为奇数时， a 地 n 次方根用标记 n a 表现；当 n 为偶数时，正数 a 地正地 n 次方根用标记 n a 表现，负地 n次 根用标记 n a 表现； 0 地 n 次方根为 0；负数 a没有 n 次方 ②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为恣意实数；当 n 为偶数时， a 0 ． ③ 根 式 地 性 质 ： (n n a ) n a ； 当 n 为 奇 数 时 ， a n a ； 当 n 为 偶 数 时 ， n a n | a | a (a 0) ． a (a 0) 〔 2〕分数指数幂地观点 m ①正数地正分数指数幂地意义为： a n n a m (a 0,m, n N , 且 n 1) ．0 地正分数指数 幂即是 0． m m ②正数地负分数指数幂地意义为： a n ( 1 n n a ) ( 1 a ) m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 地负分数指数幂没故意义． 留意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 〔 3〕分数指数幂地运算性子 ① ar a s a r s (a 0, r , s R) ② (a r ) s ars (a 0,r, s R) ③ ( ab)r r r a b (a 0,b 0,r R) 【 2.1.2 】指数函数及其性子 7 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 7 页，共 40 页 〔 4〕指数函数 函数名称 界说 函数 y x 指数函数 a ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数 0 a 1 y a x a 1 y 图象 y a x y y 1 (0,1) y 1 (0,1) O 界说域 值域 x R (0, ) O x 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点 (0,1) ，即当 x 非奇非偶 在 R 上为增函数 0 时， y 1 ． 在 R 上为减函数 a 函数值地 变革环境 x x 1 ( x 0) 1 ( x 0) 1 ( x 0) a a a x x 1 (x 0) 1 ( x 0) 1 ( x 0) a a x x a 变革对 图象地影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低． 〖 2.2 〗对数函数 【 2.2.1 】对数与对数运算 〔 1〕对数地界说 ①假 设 a x N 叫做真数． N(a 0,且 a 1)，那么 x 叫做以 a 为N 地对数，记作 x log a N ，此中 a 叫做底数， ②负数与零没有对数． ③对数式与指数式地互化： 〔 2〕几个紧张地对数恒等式 x log a N a x N ( a 0, a 1, N 0) ． loga 1 0 ， loga a 〔 3〕常用对数与天然对数 1 ， log a a b b ． 常用对数： lg N ，即 log 10 N ；天然对数： ln N ，即 loge N 〔此中 e 2.71828 〕． 8 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 8 页，共 40 页 〔 4〕对数地运算性子 假如 a 0, a 1,M 0, N 0 ，那么 ②减法： log a M ④ a log a N ①加法： log a M loga N loga (MN ) a log a N log a M N ③数乘： n log M log a M n ( n R ) N log b N (b 0, 且 log b a b ⑤ log b a M n n log a M (b 0, n R) b ⑥换底公式： log a N 1) 【 2.2.2 】对数函数及其性子 〔 5〕对数函数 函数 名称 界说 函数 y 对数函数 loga x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数 0 a 1 a 1 y x 1 y log a x y x 1 y log a x 图象 (1,0) O (1,0) x O x 界说域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, (0, ) R 图象过定点 (1,0) ，即当 x 非奇非偶 1 时， y 0 ． ) 上为增函数 在 (0, ) 上为减函数 log a x 0 (x 1) 函数值地 变革环境 log a x 0 (x 1) log a x 0 ( x 1) log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) a 变革对 图象地影响 在第一象限内， a越大图象越靠低；在第四象限a 越大图象越靠高． ( y) ．如 (6) 反函数地观点 设函数 y f (x) 地界说域为 A ，值域为 C ，从式子 y f ( x) 中解出 x ，得式子 x 9 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 9 页，共 40 页 果对付 y 在 C 中地任何一个值，通过式子 x ( y) ， x 在 A 中都有唯一确定地值与它对应，那么式 ( y) 叫做函数 y f ( x) 地反函数，记作 子 x ( y) 表现 x 为 y 地函数，函数 x x f ( y) ， 1 风俗上改写成 y f 1 ( x) ． 〔7〕反函数地求法 ①确定反函数地界说域，即原函数地值域；②从原函数式 y f ( x) 中反解出 x f 1 ( y) ； ③将 x f 1 ( y) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数地界说域． 〔 8〕反函数地性子 ①原函数 y f (x) 与反函数 y f 1 ( x) 舆图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f ( x) 地界说域、值域分别为其反函数 y f 1 (x) 地值域、界说域． ③假 ' 1 设 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 舆图象上，那P (b, a) 在反函数 y f (x) 舆图象上． ④一样平常地，函数 y f (x) 要有反函数那么它必须为单调函 〖 2.3 〗幂函数 〔 1〕幂函数地界说 一样平常地， 函数 y x 叫做幂函数，此中 x为自变 为常数． 〔 2〕幂函数舆图象 〔 3〕幂函数地性子 ① 图象漫衍：幂函数图象漫衍在第一、二、三象限，第四象限无图象 ． 幂函数为偶函数时，图象漫衍在第 10 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 10 页，共 40 页 一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；为奇函数时，图象漫衍在第一、三象限 ( 图象关于原点对称 )；为非奇非偶 函数时，图象只漫衍在第一象限 ． ②过定点：全部地幂函数在 (0, )都有界说，并且图象都通过点 (1,1)． ③单调性：假如 0 ，那么幂函数舆图象过原点，并且 [0, ) 上为增函数．假如 0 ，那么幂函数 图象在 (0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无穷靠近 x 轴与 y 轴． ④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 q 〔此中 p p, q q q 质， p Z y x p p 与 q 〕，假设 p 为奇数 q 为奇数时， 为奇函数， 假设 p 为奇q 为偶数时， 那那么 么 y x 为偶函数，假设 p为偶数 q为奇数时， y x p 为非奇非偶函数． ⑤图象特性：幂函数 y x , x (0, ) ，当 1 时，假0 x 1 ，其图象在直线 y x 下方，假 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当 1 时，假设 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，假设 1 ， 其图象在直线 y 0 x x下 〖增补知识〗二次函数 〔 1〕二次函数剖析式地三种情势 ①一样平常 式： f ( x) ax 2 bx c( a 0) ②极点式： f ( x) a(x h) 2 k( a 0) ③两根式： f ( x) a( x x1 )( x x2 )( a 0) 〔2〕求二次函数剖析式地要领 ①三个点坐标时，宜用一样平常式． ②抛物线地极点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常利用极点式． ③假设抛物线与 x轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求 f ( x) 更方便． 〔 3〕二次函数图象地性子 ①二次函数 f ( x) ax 2 bx c( a 0) 舆图象为一条抛物线，对称轴方程为 x b 2a , 极点坐标为 2 ( 2 b a , 4ac b 4a ) ． ②当 a 0 时，抛物线开口向上， 函数在 ( , b ] 上递减，在b 2a [ 2a , ) 上递增， 当 x b 2a 时， f4ac b 2 min (x) ；当 4a a 0 时，抛物线开口向下，函数在 ( , b b 2a ] 上递增，在 [ 2a , ) 上 b 2 递减，当 x 2 a 时， f4ac b max ( x) ． 4a 11 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 11 页，共 40 页 ③二次函数 f ( x) ax 2 bx c( a 0) 当 b 2 4ac 0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1 (x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1 x2 | 〔 4〕一元二次方程 | a| ． ax 2 bx c 0(a 0) 根地漫衍 一元二次方程根地漫衍为二次函数中地紧张内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够体系与完备，且办理地要领侧重于二次方程根地鉴别式与根与系数干系定理〔韦达定理〕地运用， 下面联合二次函数图象地性子，体系地来阐发一元二次方程实根地漫衍． 设一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 地两实根为 x1 , x2 ，且 x1 x2 ．令 f (x) ax 2 bx c ，从以下四个方面来阐发此类题目： ①开口偏向： a ②对称轴位置：③鉴别式： ④端点函数值标记． ① k＜x1 ≤x2 y y f ( k) 0 a 0 x b 2a O k O k x1 x2 x x1 x2 x x b f ( k) 0 2a a 0 ② x1 ≤ x2＜ k y y a 0 f (k) 0 x b 2a O x2 O k x1 k x x1 x2 x x b a 0 f ( k) 0 2a ③ x1 ＜ k＜x2 af( k) ＜ 0 y y a 0 f (k) 0 O k x1 x2 x x1 O k x2 x f ( k) 0 a 0 12 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 x b 2 a 第 12 页，共 40 页 ④ k1 ＜ x1≤ x2＜k2 y a 0 f ( k1 ) 0 f ( k) 0 2 x1 x2 k2 x y x b 2a O k 1 O k1 x1 f ( k1 ) 0 a 0 x2 k2 x x b 2a f (k 2 ) 0 ⑤有且仅有一个根 x1〔或 x2 〕满意 k1 ＜ x1〔或 x2〕＜ k2 或 f ( k2)=0 这两种环境为否也切合 f( k1) f ( k2) 0，并同时思量 f( k1 )=0 y f ( k1 ) 0 x1 k1 k2 a 0 y f (k1 ) 0 k2 x2 O x2 x O x1 k 1a 0 x f (k 2 ) 0 f (k 2 ) 0 ⑥ k1 ＜ x1＜ k2≤p1 ＜x2 ＜p2 此结论可直接由⑤推出． 〔 5〕二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] 上地最值 m，令 x0 1 ( p q) ． 2 f ( ) 2a b b 2a q ，那 设 f (x) 在区间 [ p, q] 上地 最大值为 M ，最小值为 〔Ⅰ〕当 a ①假设 0 时〔开口向上〕 f ( p) ②假设 b 2a f (q) p ，那m p b 2a q，那m ③假设 m f (q) O f (p) x O f (q) x ) 2a b f (p) O f ①假设 x ) 2a b b x 0 ，那么 2a 2aMb (p)) f ( f (q) ② b 2a f ( f f ( p) f ( x 0 ，那M (q) f f x(q) 0 O 13 (p) x0 O x x b ) 2a 第 13 页，共 40 页 名师归纳总结——大肚能容，容学习困f难之事，学习有成 f f ( ( Ⅱ ) 当 a 0 时 ( 开口向下 ) ①假b b b 设 2a p ，那M f ( p) ②假 设 p 2a q ，那么 f ( M 2a ) ③假b 设 2 a q ，那 M f (q) b f ( b ) b 2a f ( 2a ) ff ( 2a ) f f (q) (p) (p) O x O x O f f f (q) (q) (p) ①假b 设 2a x0 ，那m f (q) ② b 2a x0 ，那 么 m f ( p) ．f ( b f ( b f 2a ) f 2a ) (p) (q) x0 x0 O x O x f (q) f 第三章 函数地应 (p一、方程地根与函数地零点 ) 1 、函数零点地观点：对付函数 y f ( x)( x D) ，把使 f ( x) 0 创建地实数 x 叫做函数 y f ( x)( x D) 地零点； 2、函数零点地意义： 函数 y f ( x) 地零点就为方程 f ( x) 0 实数根， 亦即函数 y f ( x) 地 图象与 x 轴交点地横坐标；即： 方程 f ( x) 0 有实数根 函数 y f ( x) 舆图象与 x 轴有交点 函数 y f ( x) 有零点． 3、函数零点地求法： 求函数 y f ( x) 地零点： ○ 1 〔代数法〕求方程 f ( x) 0 地实数根； ○ 2 〔多少法〕对付不能用求根公式地方程，可以将它与函数 y f ( x) 舆图象接洽起来，并利 用函数地性子找出零点． 4、二次函数地零点： 二次函数 y ax 2 bx c(a 0) ． １〕△＞０，方程 ax 2 bx c 0 有两不等实根，二次函数舆图象与 函数有两个零点． x 轴有两个交点，二次 ２〕△＝０，方程 ax 2 bx c 0 有两相称实根〔二重根〕 ，二次函数舆图象与 x 轴有一个交 点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３〕△＜０，方程 ax 2 bx c 0 无实根，二次函数舆图象与 x轴无交点，二次函数无零 14 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 14 页，共 40 页x 高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间多少体 1.1 柱、锥、台、球地布局特性 1.2 空间多少体地三视图与直观图 1 三视图： 正视图：从前去后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图地原那么： 长对齐、高对齐、宽相称 3 直观图：斜二测画法 4 斜二测画法田地调： 〔1〕 .平行于坐标轴地线依然平行于坐标轴； 〔2〕 .平行于 y 轴地线长度变半，平行于 x，z 轴地线长度稳固； 〔3〕 .画法要写好； 5 用斜二测画法画出长方体田地调： 〔1〕画轴〔 2〕画底面〔 3〕画侧棱〔 4〕成图 1.3 空间多少体地外表积与体积 〔一 〕空间多少体地外表积 1 棱柱、棱锥地外表积： 各个面面积之与 2 2 圆柱地外表积 S 2 rl 2 r 2 3 圆锥地外表积 S rl r S rl r 2 2 4 圆台地外表积 Rl R 25 球地外表积 S 4 R 〔二〕空间多少体地体积 1 柱体地体积 V S h 2 锥体地体积 V 1 3 Sh 3 台体地体积 V 13〔 SS上 S Sh 4 球体地体积 V 4 ) 3 R 3第二章 直线与平面职位置干系 2.1 空间点、直线、平面之间职位置干系 2.1.1 D 1 平面寄义：平面为无穷延展地 α 2 平面地画法及表现 A B 〔 1〕平面地画法：程度安排地平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 45 0 ，且横边画 成邻边地 2 倍长〔如图〕 〔 2〕平面通常用希腊字母 α 、β 、γ等表现，如平面 α、平面 β 等，也可以用表现平面地平行四边形地个极点大概相对地两个极点地大写字母来表现，如平面四 AC、平面 ABCD 3 三个正义： 等； 〔 1〕正义 1：假如一条直线上地两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 标记表现为 A∈L B∈L => L α A α · A∈α L B∈α 正义 1 作用：判定直线为否在平面内 15 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 15 页，共 40 页 C 〔 2〕正义 2：过不在一条直线上地三点，有且只有一个平面； A B 标记表现为： A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面 α， α · C · 使 A∈ α、 B∈ α、 C∈α ； · 正义 2 作用：确定一个平面地依据； 〔 3〕正义 3：假如两个不重合地平面有一个大众点，那么它们有且只有一条过该点地大众直线； 标记表现为： P∈ α∩ β => α∩β =L，且 P∈L β 正义 3 作用：判定两个平面为否相交地依据 α P 2.1.2 空间中直线与直线之间职位置干系 · L 1 空间地两条直线有如下三种干系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个大众点； 共面直线 平行直线：同一平面内，没有大众点； 异面直线： 差别在任何一个平面内，没有大众点； 2 正义 4：平行于同一条直线地两条直线相互平行； 标记表现为：设 a、 b、 c 为三条直线 a∥ b c∥ b =>a∥ c 夸大：正义 4 实质上为说平行具有通报性，在平面、空间这本性子都实用； 正义 4 作用：判定空间两条直线平行地依据； 3 等角定理：空间中假如两个角地双方分别对应平行，那么这两个角相称或互补 4 留意点： ① a' 与 b' 所成地角地巨细只由 a、 b 地相互位置来确定，与 O 地选择无关，为轻便，点 O 一样平常取在 线中地一条上； 两直 ② 两条异面直线所成地角 θ∈ (0 ， ) ； ③ 当两条异面直线所成地角为直角时，我们就说这两条异面直线相互垂直，记作2 a⊥ b； ④ 两条直线相互垂直，有共面垂直与异面垂直两种情况； 盘算中，通常⑤ 把两条异面直线所成地角转化为两条相交直线所成地角； 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间职位置干系 1、直线与平面有三种位置干系： 〔 1〕直线在平面内 —— 有无数个大众点 〔 2〕直线与平面相交 —— 有且只有一个大众点 〔 3〕直线在平面平行 —— 没有大众点 指出：直线与平面相交或平行地环境统称为直线在平面外，可用 a α 来表现 a α a ∩ α=A a ∥α 2.2. 直线、平面平行地判定及其性子 2.2.1 直线与平面平行地判定 1、直线与平面平行地判定定理：平面外一条直线与此平面本地一条直线平行，那么该直线与此平面平行； 简记为：线线平行，那么线面平行； 标记表现： 16 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 16 页，共 40 页 a α b β a∥b => a ∥ α 2.2.2 平面与平面平行地判定 1、两个平面平行地判定定理：一个平面本地两条交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平 行； 标记表现： a b β β β∥ α a∩ b = P a∥ α b∥ α 2、判定两平面平行地要领有三种： 〔 1〕用界说； 〔 2〕判定定理； 〔 3〕垂直于同一条直线地两个平面平行； 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行地性子 1、定理：一条直线与一个平面平行，那么过这条直线地任一平面与此平面地交线与该直线平行； 简记为：线面平行那么线线平行； 标记表现： a∥ α a β a ∥b α ∩β = b 作用：利用该定理可办理直线间地平行题目； 2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交，那么它们地交线平行； 标记表现： α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直地判定及其性子 a ∥b 2.3.1 直线与平面垂直地判定 1、界说 假如直线 L 与平面 α本地恣意一条直线都垂直，我们就说直 线 L 与平面 α相互垂直，记作 L⊥α ，直 线 L 叫做平面 α地垂线， 平面 α 叫做直线 L 地垂面； 如图，直线与平面垂直时 , 它们唯一大众点 P 叫做垂足； L p α 2、判定定理： 一条直线与一个平面本地两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂 直； 17 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 17 页，共 40 页 留意点： a) 定理中地\"两条相交直线〞这一条件不可无视； b) 定理表达了\"直线与平面垂直〞与\"直线与直线垂直〞相互转化地数学头脑； 2.3.2 平面与平面垂直地判定 1、二面角地观点：表现从空间不停线出发地两个半平面所构成舆图形 A 梭 l B α 2、二面角地记法：二面角 α-l- β或 α-AB- β 3、两个平面相互垂直地判定定理： 一个平面过另一个平面地垂线，那么这两个平面垂直； β 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直地性子 1、定理：垂直于同一个平面地两条直线平行； 2 性子定理： 两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线地直线与另一个平面垂 直； 本章知识布局框图 平面〔正义 1、正义 2、正义 3、正义 4〕 空间直线、平面职位置干系 直线与平面职位置干系 平面与平面职位置干系 第三章 直线与方程 3.1 直线地倾斜角与斜率 3.1 倾斜角与斜率 1、直线地倾斜角地观点：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上偏向之间所成 地角 α 叫做直线 l 地倾斜角 . 特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重适时 , 划定 α= 0 °. 2、 倾斜角 α 地取值范畴： 3、直线地斜率 : 一条直线地倾斜角 α ( α≠ 90° ) 地正切值叫做这条直线地斜率 , 斜率常用小写字母 k 表现 , 也就为 k = tan α ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重适时 , α =0° , k = tan0 ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90 ° , k 不存在 . 由此可知 , 一条直线 l 地倾斜角 α 肯定存在 , 但为斜率 k 不肯定存在 . ° =0; α ＜180 °. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90 °. 0 °≤ 18 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 18 页，共 40 页 4、 直线地斜率公式 : 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠ x2, 用两点地坐标来表现直线 P1P2 地斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线地平行与垂直 1、两条直线都有斜率并且不重合，假如它们平行，那么它们地斜率相称；反之，假如它们地斜率相称，那 么它们平行，即 留意 : 上面 地等价为在两条直线不重合且斜率存在地条件下 2 2 才创建地， P1P2 x2 x2 y2 y1 缺少这个条件，结论并不创建．即假如 k1=k2, 那 么肯定有 L1∥ L2 2、两条直线都有斜率，假如它们相互垂直，那么它们地斜率互为负倒数；反之，假如它们地斜率互为负倒 数，那么它们相互垂直，即 3.2.1 直线地点斜式方程 1、 直线地 点斜式 方程：直线 l 颠末点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k y y0 k(x x0 ) 2、、直线地 斜截式 方程：直线 l 地斜率为 k ，且与 y 轴地交点为 (0,b) y kx b 3.2.2 直线地两点式方程 1 、 直 线 地 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点 P1 (x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 其 中 ( x1 x2 , y1 y2 ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直线地截距式方程：直线 l 与 x 轴地交点为 A (a,0) ，与 y 轴地交点为 B (0,b) ，此中 a 0, b 0 3.2.3 直线地一样平常式 方程 1、直线地一样平常式方程：关于 x, y 地二元一Ax By C 0〔 A， B 差别时为 0〕 次方程 3.3 直线地交点坐标与间隔公式 3.3.1 两直线地交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L 1 ： 3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解 ： 解 方 程 组 3x y4 2 2x y2 2 得 x=-2 ， y=2 以是 L1 与 L2 地交点坐标为 M〔-2 ，2〕 3.3.2 两点间间隔 两点间地间隔公式 3.3.3 点到直线地间隔公式 19 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 19 页，共0 40 页 1．点到直线间隔公式： 点 P( x 0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 地间隔为： d Ax0 By0 C A 2 B 2 2、 两平行线间地间隔公式： 两条平行线直线 l1 与 l 2 地一样平常式方l1 ： Ax By C1 0 ， l 2 ： Ax By C 0，那l 1 与 l 2 地间隔为 d C1 C2 2 A 2 B 2 第四章 圆与方程 4.1.1 圆地尺度方程 1、圆地尺度方程： (x a) 2 ( y b) 2 r 2 圆心为 A(a,b), 半径为 r 地圆地方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 地干系地判定要领： 〔 1〕 (xa) 2 ( y2 2 ，点在圆外 〔2〕 (x2 2 0 0 b) > r 0 a) ( y0 b) = r 2 ，点在圆上 〔 3〕 (x a) 2 ( y2 2 0 0 b) < r ，点在圆内 4.1.2 圆地一样平常方程 1、圆地一样平常方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0 2、圆地一样平常方程地特点： (1) ①x2 与 y2 地系数雷同，不即是 0． ②没有 xy 如许地二次项． (2) 圆地一样平常方程中有三个特定地D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆地方程就确定了． 系数 (3) 、与圆地尺度方程相比较，它为一种特别地二元二次方程，代数特性显着，圆地尺度方程那么指 出了圆心坐标与半径巨细，多少特性较显着； 4.2.1 圆与圆职位置干系 1、用点到直线地间隔来判定直线与圆职位置干系． 设直线 l ：ax by c 0 ，圆 C ：x 2 y 2 Dx Ey F 0 ，圆地半径为 r ，圆心 ( D 2 , E 2 ) 到直线地间隔为 d ，那么鉴别直线与圆职位置干系地依据有以下几 〔 1〕当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；〔 2〕当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； 〔 3〕当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交； 4.2.2 圆与圆职位置干系 20 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 20 页，共 40 页 两圆职位置干系． 设两圆地连心线长为 〔 1〕当 l l ，那么鉴别圆与圆职位置干系地依据有以下几 点： r1 r 2 时，圆 C1 与圆 C2 相离；〔2〕当 l r1 r 2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； 〔 3〕当 | r1 r 2 | l r1 r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交； r2 |时，圆 C1 与圆 C2 内含； 〔 4〕当 l | r 1r2 | 时，圆 C1 与圆 C 2 内切；〔 5〕当 l | r1 4.2.3 直线与圆地方程地应用 1、利用平面直角坐标系办理直线与圆职位置干系； 2、历程与要领 用坐标法办理多少题目田地调： 第一步：创建适本地平面直角坐标系，用坐标与方程表现题目中地多少元素，将平面多少题目转化为 代数题目； 第二步：通过代数运算，办理代数题目； 第三步：将代数运算效果\"翻译〞成多少结论． R M O P 4.3.1 空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定地有序实数组 (x, y, z) ， x 、 y 、 z 分别为 P、Q、R 在 x 、 y 、 x Q M' y z轴上地坐 2、有序实数组 (x, y, z) ，对应着空间直角坐标系中地一点 ( x, y, z) 来表现，该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系 3、空间中恣意点 M 地坐标都可以用有序实数组 中地坐标， 记 M ( x, y, z) ， x 叫做点 M 地横坐标， y 叫做点 M 地纵坐标， z 叫 做点 M 地竖坐标； z 4.3.2 空间两点间地间隔公式 1、空间中恣意一点 Px1 , y1, z1 ) 到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间地间隔公式 1 ( 2 2 2 O M1 N1 x P2 P1 P1 P2 ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 ) M M2 H N2 y N 21 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 21 页，共 40 页 高中数学 必修 3 知识点 第一章 算法开端 1.1.1 算法地观点 1、算法观点： 在数学上，当代意义上地\"算法〞通常为指可以用盘算机来办理地某一类题目为步伐或步调，这些步伐或 步调必须为明白与有用地，并且可以或许在有限步之内完成 2. 算法地特点 : (1) 有限性：一个算法田地调序列为有限地，必须在有限操纵之后制止，不能为无穷地 . . . (2) 确定性：算法中地每一步应该为确定地并且能有用地实行且得到确定地效果，而不应当为含糊其词 (3) 次序性与精确性： 算法从初始步调开始， 分为假设干明白田地 调， 每一个步调只能有一个确定地后继步调， . 前一步为后一步地条件，只有实行完前一步才气举行下一步，并且每一步都正确无误，才气完成题目 (4) 不唯一性：求解某一个题目地解法不肯定为唯一地，对付一个题目可以有差别地算法 . (5) 广泛性：许多详细地题目，都可以计划公道地算法去办理，如默算、盘算器盘算都要颠末有限、事先设 计好田地调加以办理 . 1.1.2 步伐框图 1、步伐框图基础观点： 〔一〕步伐构图地观点：步伐框图又称流程图，为一种用划定舆图形、指向线及笔墨阐明来正确、直观地 表现算法舆图形； 一个步伐框图包罗以下几局部：表现相应操纵田地伐框；带箭头地流程线；步伐框外须要笔墨阐明； 〔二〕构成步伐框舆图形标记及其作用 步伐框 名称 功效 表现一个算法地起始与竣事， 为任何流程图不可少 起止框 地； 表现一个算法输入与输出地信息， 可用在算法中任 输入、输出框 何必要输入、输出职位置； 赋值、盘算，算法中处置惩罚数据必要地算式、公式等 分别写在差别地用以处置惩罚数据地处置惩罚框内； 判定某一条件为否创建， 创建时在出口处标明 \"为〞 处置惩罚框 判定框 22 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 22 页，共 40 页 或\" Y 〞；不创建时标明\"否〞或\" 学习这局部知识地时间，要把握各个图形地外形、作用及利用规那么，画步伐框图地规那么如 下： 1 、利用尺度舆图形标记； 2 、框图一样平常按从上到下、从左到右地偏向 画； 标记只有一个进入点与一个退出点； N 〞； 3 、除判定框外，大多数流程图 4 、判定框分两大类， 一类判 判定框具有凌驾一个退出点地唯一标记； 断框 \"为〞 与\"否〞 两分支地判定， 并且有且仅有两个效果； 另一类为多分支判定， 有几种差别地效果； 5、 在图形标记内形貌地语言要非常简洁清晰； 〔 三〕、算法地三种基础逻辑布局：次序布局、条件布局、循环布局； 1 、次序布局：次序布局为最简朴地算法布局，语句与语句之间，框与框之间为按从上到下地次序举行地， 它为由假设干个依次实行地处置惩罚步调构成地，它为任何一个算法都离不开地一种基础算法布局； 次序布局在步伐框图中地表达就为用流程线将步伐框自上而 下地毗连起来，按次序实行算法步调；如在表示图中， A 框与 B A 框为依次实行地，只有在实行完 A 框指定地操纵后，才气接着执 行 B 框所指定地操纵； B 2、条件布局： 条件布局为指在算法中通过对条件地判定 凭据条件为否创建而选择差别流向地算法布局； 条件 P 为否创建而选择实行 A 框或 B 框；无论 P 条件为否创建，只能实行 A 框或 B 框之一，不大概同 时实行 A 框与 B 框，也不大概 A 框、 B 框都不实行；一个判定布局可以有多个判定框； 3 、循环布局： 在一些算法中，常常会出现从某处开始，凭据肯定条件，重复实行某一处置惩罚步调地环境， 这就为循环布局，重复实行地处置惩罚步调为循环体，显然，循环布局中肯定包罗条件布局；循环布局又称重 复布局，循环布局可细分为两类： 〔 1 〕、一类为当型循环布局，如下左图所示，它地功效为当给定地条件 P 创建时，实行 A 框， A 框实行完 毕后，再判定条件 P 为否创建，假如仍旧创建，再实行 A 框，云云重复实行 A 框，直到某一次条件 P 不成 立为止，此时不再实行 A 框，脱离循环布局； 〔 2 〕、另一类为直到型循环布局，如下右图所示，它地功效为先实行，然后判定给定地条件 P 为否创建， 假如 P 仍旧不创建，那么继承实A 框，直到某一次给定地条件 P 创建为止，此时不再实行 A 框，脱离循环 行 布局； A A P 创建 23 P 不创建 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 创建 不创建第 23 页，共 40 页 当型循环布局 直到型循环布局 留意： 1 循环布局要在某个条件下停止循环，这就必要条件布局来判定；因此，循环布局中肯定包罗 条件布局，但不答应\"死循环〞 ；2 在循环布局中都有一个计数变量与累加变量；计数变量用于记载循环次 数，累加变量用于输出效果；计数变量与累加变量一样平常为同步实行地，累加一次，计数一次； 1.2.1 输入、输出语句与赋值语句 1 、输入语句 〔 1〕输入语句地一样平常格式 图形盘算器 格式 INPUT\"提示内容〞；变量 INPUT \"提示内容〞，变量 〔 2〕输入语句地作用为实现算法地输入信息功效； 指步伐在运行时其值为可以变革地量； 〔 3〕\"提示内容〞提示用户输入什么样地信息，变量为 〔4〕输入语句要求输入地值只能为详细地常数，不能为函数、变量 〞离隔，假设输入多个变量，变量与变量之间用逗号 〞隔 或表达式；〔 5〕提示内容与变量之间用分号\"； \"， 开； 2、输出语句 〔 1〕输出语句地一样平常格式 图形盘算器 格式 PRINT\"提示内容〞；表达式 〔 2〕输出语句地作用为实现算法地输出效果功效； Disp \"提示内容〞，变量 〔 3〕\"提示内容〞提示用户输入什么样地信息，表达式 为指步伐要输出地数据； 〔 4〕输出语句可以输出常量、变量或表达式地值以及字符； 3、赋值语句 〔 1〕赋值语句地一样平常格式 图形盘算器 变量＝表达式 〔 2〕赋值语句地作用为将表达式所代表地值赋给变量； 格式 表达式 变量 〔3〕赋值语句中地\"＝〞称作赋值号，与数学中地 等号地意义为差别地； 赋值号地左右双方不能对调， 它将赋值号右边地表达式地值赋给赋值号左边地变量； 〔 4〕赋值语句左边只能为变量名字，而不为表达式，右边表达式可以为一个数据、常量或算式； 一个变量可以频频赋值； 留意： ①赋值号左边只能为变量名字，而不能为表达式；如： \" A=B 〞\" B=A 〞地寄义运行效果为差别地； 解方程等〕④赋值号\" 1． 2．2 条件语句 1、条件语句地一样平常格式有两种： 〔1〕IF — THEN —ELSE 语句；〔 2〕IF —THEN 语句； 2、IF — THEN —ELSE 语句 IF— THEN —ELSE 语句地一样平常格式为图 1，对应田地伐框图为图 2； 24 2=X 为错误地；②赋值号左右不能对调；如 〔5〕对付 ③不能利用赋值语句举行代数式地演算； 〔如化简、 因式剖析、 = 〞与数学中地等号意义差别； 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 24 页，共 40 页 IF 条件 THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF 图 1 图 2 否 满意条件？ 为 语句 1 语句 2 阐发：在 IF— THEN —ELSE 语句中，\"条件〞表现判定地条件， \"语句 1〞表现满意条件时实行地操纵内容； \"语句 2〞表现不满意条件时实行地操纵内容； IF 后地条件举行判定，假如条件切合，那么实行 语句 2； 3、 IF — THEN 语句 IF— THEN 语句地一样平常格式为图 3，对应田地伐框图为图 4； END IF 表现条件语句地竣事；盘算机在实行时，起首对 ELSE 背面地 THEN 背面地语句 1；假设条件不切合，那么 实行 IF 条件 THEN 语句 END IF 〔图 3〕 〔图 4〕 留意：\"条件〞表现判定地条件； \"语句〞表现满意条件时实行地操纵 不满意时，竣事步伐； END IF 表现条件语句地竣事；盘算机在实行时起首对 内容， 条件 IF 后地条件举行判定，假如 为 满意条件？ 语句 否 条件切合就实行 THEN 后边地语句，假设条件不切合那么直接竣事该条件语句，转而实行别的语 句； 1． 2． 3 循环语句 循环布局为由循环语句来实现地；对应于步伐框图中地两种循环布局，一样平常步伐计划语言中也 有当 型〔 WHILE型〕与直到型〔 UNTIL 型〕两种语句布局；WHILE语句与 UNTIL语即 句； 1、 WHILE 语句 〔 1〕WHILE语句地一样平常格式为 对应田地伐框图为 循环体 为 满意条件？ 否 WHILE 循环体 WEND 条件 〔 2〕当盘算机会到 WHILE 语句时，先判定条件地真假，假如条件切合，就实行 WHILE 与 WEND 之间 地循环体；然后再查抄上述条件，假如条件仍切合，再次实行循环体，这个历程重复举行，直到某一次条 件不切合为止；这时，盘算机将不实行循环体，直接跳到 因此，当型循环偶然也称为\"前测试型〞循环； WEND 语句后，接着实行 WEND 之后地语句； 25 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 25 页，共 40 页 2、 UNTIL 语句 〔 1〕UNTIL语句地一样平常对应田地伐框图为 格式为 DO 循环体 循环体 LOOP UNTIL 条件 满意条件？ 否 〔 2〕直到型循环又称为\"后测试型〞循环，从 UNTIL 型循环布局阐发，盘算机实行该语句时，先实行一次为 循环体，然后举行条件地判定，假如条件不满意，继承返回实行循环体，然后再举行条件地判定，这个过 程重复举行，直到某一次条件满意时，不再实行循环体，跳到 LOOPUNTIL 语句后实行其他语句，为先实行 循环体后举行条件判定地循环语句； 阐发： 当型循环与直到型循环地域别： 〔先由门生讨论再归纳〕 〔 1〕 当型循环先判定后实行，直到型循环先实行后判定； 在 WHILE语句中，为当条件满意时实行循环体，UNTIL 语句中，为当条件不满意时实行循环 在 1.3.1 1、辗转相除法；也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大条约数田地调如下：辗转相除法与更相减损术 〔 1〕：用较大地数 m除以较小地n 得到一个商 S0 与一个余数 R0 ；〔2〕：假R0 ＝0，那么 n 为 m，n 地最 数 设 大 条约数；假R0 ≠ 0，那么用除数 n 除以余 R0 得到一个商 S1 与一个余数 R1；〔3〕：假设 R1＝ 0，R1设 m， 数 n 地最大条约数； 假设 R1≠ 0，那么用R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 与一个余数 R2 ； 依次计 算直至 Rn ＝ 0，此时所得到地 Rn 1 即为所求地最大条约数； 2、更相减损术 我国早期也有求最大条约数题目地算法，就为更相减损术；在?九章算术?中有更相减损术求最大条约数 田地调：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之； 翻译为：〔1〕：恣意给出两个正数；判定它们为否都为偶数；假设为，2 约简；假设不为，实行第二〔 2〕： 用 步； 以较大地数减去较小地数，接着把较小地数与所得地差比较，并以大数减小数；继承这个操纵，直到所得 地数相称为止，那么这个数〔等数〕就为所求地最大条约 数； 例 2 用更相减损术求 98 与 63 地最大条约数 . 阐发：〔略〕 3、辗转相除法与更相减损术地域别： 〔 1〕都为求最大条约数地要领，盘算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，盘算次数上辗转 相除法盘算次数相对较少，特别当两个数字巨细区别较大时盘算次数地域别较显着； 26 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 26 页，共 40 页 〔 2〕从效果表达情势来看，辗转相除法表达效果为以相除余数为 0 那么得到，而更相减损术那么以减数与 差相 等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法观点： f(x)=a nx n+a n-1x n-1 + .+a1x+a 0 求值题目 f(x)=a nx n+a n-1x n-1 + .+a1x+a 0=( a nx n-1 +an-1x n-2 + .+a1 )x+a0 =(( a nx n-2 +an-1x n-3 + .+a2 )x+a 1)x+a 0 =......=(...( anx+an-1)x+a n-2)x+...+a 1)x+a0 求多项式地值时，起首盘算最内层括号内依次多项式地值，即 v 1=anx+an-1 然后由内向外逐层盘算一次多项式地值，即 v 2=v1x+an-2 v 3=v2x+an-3 ...... v n=v n-1x+a0 如许，把 n 次多项式地求值题目转化成求 n 个一次多项式地值地题目； 2、两种排序要领 ：直接插入排序与冒泡排序 1、直接插入排序 基础头脑：插入排序地头脑就为读一个，排一个；将第１个数放入数组地第１个元素中，以后读入地数与 已存入数组地数举行比较，确定它在从大到小地分列中应处职位置．将该位置以及以后地元素向后推移一 个位置，将读入地新数填入空出职位置中． 〔由于算法简朴，可以举例阐明〕 2、冒泡排序 基础头脑： 依次比较相邻地两个数 , 把大地放前面 , 小地放背面 . 即起首比较第 1 个数与第 2 个数 , 大数放前 , 小数放后 . 然后比较第 2 个数与第 3 个数 ...... 直到比较末了两个数 . 第一趟竣事 , 最小地肯定沉到末了 . 重 复上历程 , 仍从第 1 个数开始 , 到末了第 2 个数 ...... 由于在排序历程中总为大数往前 , 小数今后 , 相称气泡 上升 , 以是叫冒泡排序 . 1.3.3 进位制 1、观点：进位制 为一种记数方法，用有限地数字在差别职位置表现差别地数值；可利用数字标记地个数称 为基数， 基数为 n，即可称 n 进位制， 简称 n 进制； 如今最常用地为十进制， 通常利用 10 个阿拉伯数字 0-9 举行记数；对付任何一个数，我们可以用差别地进位制来表现；比方：十进数 57，可以用二进制表现为 111001，也可以用八进制表现为 71、用十六进制表现为 39，它们所代表地数值都为一样地； 一样平常地，假设 k 为一个大于一地整数，k 为基数地 k 进制可以表现为： 那么以 an an 1...a1a0( k) (0 an k,0 an 1,..., a1 , a0 k)， 而表现种种进位制数一样平常在数字右下脚加注来 表现 , 如 111001(2) 表现二进制数 ,34 (5) 表现 5 进制数 第二章 统计 27 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 27 页，共 40 页 2.1.1 简朴随机抽样 1．总体与样本 在统计学中 , 把研究东西地全体叫做总体． 把每个研究东西叫做个别． 把总体中个别地总数叫做总体容量． 为了研究总体 地有关性子，一样平常从总体中随机抽取一局， ， ， 部： 研究，我们称它为样本．此中个别地个数称为样本容量． 2．简朴随机抽样，也叫纯随机抽样；就为从总体中不加任何分组、划类、列队等，完全随 机地抽取视察单位；特点为：每个样本单位被抽中地大概性雷同〔概率相称〕 ，样本地每个单位完全独 立，相互间无肯定地关联性与排挤性；简朴随机抽样为别的种种抽样情势地根底；通常只为在总体单位之 间差别程度较小与数量较少时，才接纳这种要领； 3．简朴随机抽样常用地要领： 〔 1〕抽签法；⑵随机数表法；⑶盘算机模仿法；⑷利用统计软件直接抽取； 在简朴随机抽样地样本容量计划中，重要思量： ①总体变异环境； ②答应偏差范畴；③概率包管 程度； 4．抽签法 : 〔 1〕给视察东西群体中地每一个东西编号； 〔 2〕预备抽签地东西，实行抽签 〔 3〕对样本中地每一个个别举行丈量或视察 例：请视察你地点地学校地门生做喜好地体育运动环境； 5．随机数表法： 例：利用随机数表在地点地班级中抽取 10 位同砚到场某项运动； 2.1.2 体系抽样 1．体系抽样〔等距抽样或机器抽样〕 ： 把总体地单位举行排序，再盘算出抽样间隔，然后凭据这一牢固地抽样间隔抽取样本；第一个样本采 用简朴随机抽样地要领抽取； K〔抽样间隔〕 =N 〔总体范围〕 /n〔样本范围〕 条件条件：总体中个别地分列对付研究地变量来说，应为随机地，即不存在某种与研究变量相干地规 那么漫衍；可以在视察答应地条件下，从差别地样本开始抽样，比照频频样本地特点；假如有显着差别，说 明样本在总体中地漫衍承某种循环性纪律，且这种循环与抽样间隔重合； 28 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 28 页，共 40 页 2．体系抽样，即等距抽样为现实中最为常用地抽样要领之一；由于它对抽样框地要求较低，实行也比较简 单；更为紧张地为，假如有某种与视察指标相干地帮助变量可供利用，总体单位按帮助变量地巨细次序排 队地话，利用体系抽样可以大大进步预计精度； 2.1.3 分层抽样 1．分层抽样〔范例抽样〕 ： 先将总体中地全部单位凭据某种特性或标记〔性别、年事等〕分别成假设干范例或条理，然后再在各个 范例或条理中接纳简朴随机抽样或系用抽样地要领抽取一个子样本，末了，将这些子样本合起来构成总体 地样本； 两种要领： 1．先以分层变量将总体分别为假设干层，再凭据各层在总体中地比例从各层中抽取； 2．先以分层变量将总体分别为假设干层，再将各层中地元素按分层地次序整洁分列，末了用体系抽样 地要领抽取样本； 2．分层抽样为把异质性较强地总体分成一个个同质性较强地子总体， 再抽取差别地子总体中地样天职别代 表该子总体，全部地样本进而代表总体； 分层尺度： 〔 1〕以视察所要阐发与研究田重要变量或相干地变量作为分层地尺度； 〔 2〕以包管各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内涵布局地变量作为分层变量； 〔 3〕以那些有显着分层区分地变量作为分层变量； 3．分层地比例题目： 〔 1〕按比例分层抽样：凭据种种范例或条理中地单位数量占总体单位数量地比重来抽取子样本地要领； 〔 2〕不按比例分层抽样：有地条理在总体中地比重太小，其样本量就会非常少，此时接纳该要领，重要 为便于对差别条理地子总体举行专门研究或举行相互比较；假如要用样本资料推断总体时，那么必要先对各 层地数据资料举行加权处置惩罚，调解样本中各层地比例，使数据规复到总体中各层现实地比例布局； 2.2.2 用样本地数字特性预计总体地数字特性 1、本均值： x x1 x2 xn n 2 2 2、．样本尺度差： s s ( x 1 x) 2 (x 2 x) ( x 2 n x) n 3．用样本预计总体时，假如抽样地要领比较公道，那么样本可以反应总体地信息，但从样本得到地信息会 29 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 29 页，共 40 页 有毛病；在随机抽样中，这种毛病为不可防备地； 固然我们用样本数据得到地漫衍、均值与尺度差并不为总体地真正地漫衍、 均值与尺度 差，而只为一个预计，但这种预计为公道地，特别为当样本量很大时，它们确实反应了总体地信 息； 4．〔1〕假如把一组数据中地每一个数据都加上或减去同一个配合地常数，尺度差稳固 〔2〕假如把一组数据中地每一个数据乘以一个配合地常数 k，尺度差变为原来地 k 倍 〔3〕一组数据中地最大值与最小值对尺度差地影响，区间 (x 3s, x 3s) 地应用； \"去掉一个最高分，去掉一个最低分〞中地科学原理 2.3.2 两个变量地线性相干 1、观点 : 〔 1〕回归直线方程 〔 2〕回归系数 2．最小二乘法 3．直线回归方程地应用 〔 1〕形貌两变量之间地依存干系；利用直线回归方程即可定量形貌两个变量间依存地数量干系 〔 2〕利用回归方程举行猜测；把预告因子〔即自变量 x〕代入回归方程对预告量〔即因变量 Y 〕进 行预计，即可得到个别 Y 值地容许区间； 〔 3〕利用回归方程举行统计控制划定 Y 值地变革，通过控制 x 地范畴来实现统计控制地目的；如 已经得到了氛围中 NO 2 地浓度与汽车流量间地回归方程，即可通过控制汽车流量来控制氛围 中 NO 2 地浓度； 4．应用直线回归地本卷须知 〔 1〕做回归阐发要有现实意义； 〔 2〕回归阐发前 ,最好先作出散点图； 〔 3〕回归直线不要外延； 第三章 概 率 3.1.1 — 3.1.2 随机变乱地概率及概率地意义 1、基础观点： 〔 1〕肯定变乱：在条件 S 下，肯定会产生地变乱，叫相对付条件 S 地肯定变乱； 〔 2〕不大概变乱：在条件 S 下，肯定不会产生地变乱，叫相对付条件 S 地不大概变乱； 〔 3〕确定变乱：肯定变乱与不大概变乱统称为相对付条件 S 确实定变乱； 〔 4〕随机变乱：在条件 S 下大概产生也大概不产生地变乱，叫相对付条件 S 地随机变乱； 30 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 30 页，共 40 页 〔 5〕频数与频率：在雷同地条件 S 下重复 n 次试验，视察某一变乱 A 为否出现，称 n 次试验中变乱 A 出 n A 现地次数 nA 为变乱 A 出现地频数；称变乱 A 出现地比例 fn(A)= n 为变乱 A 出现地概率： 对付给定地随机变乱 A ，假如随着试验次数地增长， 变乱 A 产生地频率 fn(A) 稳固在某个常数 上，把这个常数记作 P〔 A 〕，称为变乱 A 地概率； n A 〔 6〕频率与概率地域别与接洽：随机变乱地频率，指此变乱产生地次数 nA 与试验总次数 n 地比值 n ， 它具有肯定地稳固性，总在某个常数四周摆动，且随着试验次数地不停增多，这种摆动幅度 越来越小；我们把这个常数叫做随机变乱地概率，概率从数量上反应了随机变乱产生地大概 性地巨细；频率在大量重复试验地条件下可以近似地作为这个变乱地概率 3.1.3 概率地根天性子 1、基础观点： 〔 1〕变乱地包罗、并变乱、交变乱、相称变乱 〔 2〕假设 A ∩B 为不大概变乱，A∩B= ф，那么称变乱 A 与变乱 B 互斥； 即 〔 3〕假设 A ∩B 为不大概变乱， A ∪B 为肯定变乱，那么称变 A 与变乱 B 互为对立变乱； 乱 〔 4〕当变乱 A 与 B 互斥时，满意加法公式： P(A∪B)= P(A)+ P(B) ；假设变乱 A 与 B 为对立变乱， A∪ B 那么 为肯定变乱，以是 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于为有 P(A)=1 —P(B) 2、概率地根天性子： 1〕肯定变乱概率为 1，不大概变乱概率为 0，因此 0≤ P(A) ≤1； 2〕当变乱 A 与 B 互斥时，满意加法公式： P(A ∪B)= P(A)+ P(B) ； 3〕假设变乱 A 与 B 为对立变乱，A∪B 为肯定变乱，以是 P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于为有 P(A)=1 — 那么 P(B) ； 4〕互斥变乱与对立变乱地域别与接洽，互斥变乱为指变乱 A 与变乱 B 在一次试验中不会同时产生，其 详细包罗三种差别地情况： 〔 1〕变乱 A 产生且变乱 B 不产生；〔 2〕变乱 A 不产生且变乱 B 产生；〔3〕 变乱 A 与变乱 B 同时不产生，而对立变乱为指变乱 A 与变乱 B 有且仅有一个产生， 其包罗两种情况； 〔1〕变乱 A 产生 B 不产生；〔 2〕变乱 B 产生变乱 A 不产生，对立变乱互斥变乱地特别情况； 3.2.1 — 3.2.2 古典概型及随机数地产生 1、〔 1〕古典概型地利用条件：试验效果地有限性与全部效果地等大概性； 〔2〕古典概型地解题步调； ①求出总地基础变乱数； 31 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 31 页，共 40 页 A包罗地基础变乱 数②求失变乱 A 所包罗地基础变乱数，然后利用公式 P〔A 〕 = 总地基础变乱个数 3.3.1 — 3.3.2 多少概型及匀称随机数地产生 1、基础观点： 〔1〕多少概率模子：假如每个变乱产生地概率只与构成该变乱地区地长度〔面积或体积〕成比例，那 么 称如许地概率模子为多少概率模子； 〔2〕多少概型地概率公式： 构成变乱 A地域域长度〔面积或 积〕 P〔 A〕 = 试验地全部效果所构成体 地域域长度〔面积或体 积〕； 〔 2〕 多少概型地特点： 1〕试验中全部大概出现地效果〔基础变乱〕有无穷多个； 2〕每个基础变乱出 现地大概性相称． 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数 正角 : 按逆时针偏向旋转形成地角 1、恣意角 负角 : 按顺时针偏向旋转形成地角 零角: 不作任何旋转形成地角 2、角 地极点与原点重合， 角地始边与 x 轴地非负半轴重合， 终边落在第几象限， 那么 为第几象限角． 称 第一象限角地聚集为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角地聚集为 k 360 90 k 360 180 , k 第三象限角地聚集为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角地聚集为 k 360 270 k 360 360 , k 终边在 x轴上地角地聚集 k 180 , k 终边在 y 轴上地角地聚集为 k 180 90 , k 终边在坐标轴上地角地聚集为 k 90 , k 3、与角 终边雷同地角地聚集为 k 360 , k 4、长度即是半径长地弧所对地圆心角叫做 1弧5、半径为 r 地圆地圆心角 所对弧地长为 l ，那么 地弧度数地绝对值为 l r ． 32 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 32 页，共 40 页 6、弧度制与角度制地换算公式： 2 360 ， 1 180 ， 1 180 57.3 ． S ，那 7、假设扇形地圆心角 为 为弧度制 1 2 r 2 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 r ， C 1 lr 2r l ， S 2 l ． 8 、 设 为 一 个 任 意 大 小 地 角 ， 2 2 地 终 边 上 任 意 一 点 地 坐 标 为 x, y ， 它 与 原 点 地 距 离 为 r r x y 0 ，那 么 sin y r ， cos x r ， tan y x x 0 ． y P T O M A x 9、三角函数在各象限地标记：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线： 11 、 sin 三 2 ， cos 角 函 数 2 ， tan 地 基 2 ． 本 2 角 2 关 系 2 ： ； 1 sin 2 cos tan 1 sin sin 1 cos ,cos 1 sin sin cos tan cos ,cos sin tan ． 12、函数地诱导公式： 1 sin 2k 2 sin 3 sin 4 sin sin sin sin sin ， cos 2k ， cos cos cos cos ， tan ， tan 2k ， tan tan tan ． k ． ， cos ， cos tan ． cos ， tan tan ． 口诀：函数名称稳固，标记看象限． 5 sin 2 cos ， cos 2 sin ． 6 sin 2 cos ， cos 2 sin ． 口诀：正弦与余弦互换，标记看象限． 13 、①舆图象上全部点向左〔右〕平移 个单位长度，得到函数 y sin x 舆图象；再将函数 y sin x y sin 地 舆图象上全部点地横坐标伸长〔收缩〕到原来地 1 倍〔纵坐标稳固〕 ，得到函数 x 舆图象；再将函数 y sin sin x x 舆图象上全部点地纵坐标伸长〔收缩〕到原来 倍〔横坐标稳固〕 ，得到函数 y 舆图象． 33 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 33 页，共 40 页 ②数 y sin x 舆图象上全部点地横坐标伸长〔收缩〕到原来地 1 倍〔纵坐标稳固〕 ，得到函数 y sin x 舆图象；再将函数 y sin x 舆图象上全部点向左〔右〕平移 个单位长度，得到函数 y sin 地 x 舆图象；再将函数 y sin sin 0, x x 舆图象上全部点地纵坐标伸长〔收缩〕到原来 倍〔横坐标稳固〕 ，得到函数 y 舆图象． 14、函数 y sin ；②周期： x 2 0 地性子： f 1 2 ；④相位： ①振幅： ；③频率： x ；⑤初相： ． 函数 y sin 1 2 y max x y min ， ，当 x x1时，取得最小值 y min ， ymin ；当 x x2 时，取得最大值为 ymax ， ． 那 么 1 2 y max 2 x x 2 1 x 1 x 2 15、正弦函数、余弦函数与正切函数舆图象与性子： 性 质 函 数 y sin x y cos x y tan x 图 象 定 义 域 值 域 当 R 1,1 x 2k ， R 1,1 k ； 当 当 x x x k , k 2 R 2 2k k 时， 最 值 时 ymax 1 ymax 1；当 x 2k 既无最大值也无最小值 x 2k 2 时， ymin k 1． 时， ymin 1． k 周 期 性 奇 2 2 奇函数 偶函数 奇函数 34 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 34 页，共 40 页 偶 性 在 2 k ,2 k 2 2 在 2k ,2 k k 上 在 单 调 性 k 2k 上为增函数；在 为增函数；在 k 2k ,2 k k 2 , k 2 , 2k 2 3 2 k 上为减函数． 上为增函数． k 对称中央 对 称 对称轴 x 性 上为减函数． 对 称 中 心 k ,0 k k k k 2 ,0 2 k 对称中央 k 2 ,0 k 对称轴 x k k 平面向量 无对称轴 第二章 16、向量：既有巨细，又有偏向地量． 有向线段地三要素：出发点、偏向、长度． 单位向量：长度即是 数量：只有巨细，没有偏向地量． 零向量：长度为 0 地向量． 1个单位 平行向量〔共线向量〕 ：偏向雷同或相反地非零向量．零向量与任不停量平行． 相称向量：长度相称且偏向雷同地向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法那么地特点：首尾相连． ⑵平行四边形法那么地特点：共出发点． ⑶三角形不等式： a b a b a b ． ⑷运算性子：①互换律： a b b a ； b c ；③ a ②联合律： a b c a 0 0 a a ． a b x1 x2 , y1 y2 ． C ⑸坐标运算：设 a x1, y1 ， b x2 , y2 ，那 么 a 18、向量减法运算： ⑴三角形法那么地特点：共出发点，连尽头，偏向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 b b x1 x2 , y1 y2 ． a x1, y1 ， b x2 , y2 ， ，那么 a ，那 么 设 、 两点地坐标分别为 x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 a ． ． a b C C 19、向量数乘运算： ⑴实数 与向量 a 地积为一个向量地运算叫做向量地数乘，记作 35 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 35 页，共 40 页 ① a a ； ②当 0 时， a 地偏向与 a 地偏向雷同；当 0 时， a 地偏向与 a 地偏向相反；当 0 时， a 0 ． ⑵运算律：① a a ；② a a a ；③ a b a b ． ⑶坐标运算：设 a x, y ，那 么 a x, y x, y ． 20、向量共线定理：向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯逐一个实数 ，使 b a ． 设 a x1, y1 ， b x2 , y2 ，此中 b 0 ，那么当且仅x1 y2 x2 y1 0 时，向量 a 、 b b 0 共 线． 21、平面向量基础定理： 假如 e1 、e2 为同一平面本地两个不共线向量， 那么对付这一平面本地恣意向量 a ，有且只有一对实数 1、 2 ，使 a 1e 1 2 e 2 ．〔不共线地向量 e1 、 e2 作为这一平面内全部向量地一 组基底〕 22 、分点坐标公式：设点 为线段 1 2 上地一点， 1 、 2 地坐标分别为 x1 , y1 ， x2, y2 ，当 x2 y2 1 2 时，点 地坐标为 x1 ．〔当 1 , y1 1 1时，就为中点公 式；〕 23、平面向量地数量积： ⑴ a b a b cos a 0,b 0,0 180 ．零向量与任不停量地数量积为 0 ． ⑵性子： 设 a 与 b 都为非零向量， 那么 a b a b 0 ．②当 a 与 b 同向时， a b a b ；当 a ① 与 b 反向时， a b a b ； a a a 2 a 2 或 a a a ．③ a b a b ． ⑶运算律：① a b b a ；② a b a b a b ；③ a b c a c b c ． ⑷坐标运算：设两个非零向量 a x1 , y1 ， b x2 , y2 ，那 么 a b x1x2 y1 y2 ． 假， 那2 设 a x, y 么 a x 2 y 2 ， 或 a x 2 y 2 ． 设 a x1, y1 ， b x2 , y2 ， 那么 a b x1 x2 y1 y2 0 ． 设 a 、 b 都 为 非 零 向 量 ， a x1 , y1 ， b x2 , y2 ， 为 a 与 b 地 夹 角 ， 那么 c o s a b x1 x2 y1 y2 ． a b x 2 2 1 y 2 1 x 2 2 y 2 36 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 36 页，共 40 页 第三章 三角恒等变更 24、两角与与差地正弦、余弦与正切公式： ⑴ cos ⑶ sin cos cos sin cos tan tan sin sin cos sin ；⑵ cos ；⑷ sin cos cos sin cos sin sin cos sin ； ； ⑸ tan 1 tan tan tan tan 〔 tan tan tan 1 tan tan 〕； ⑹ tan 1 tan tan 〔 tan tan tan 1 tan tan 〕． 25、二倍角地正弦、余弦与正切公式： ⑴ sin 2 ⑵ cos2 2sin cos ． 1 sin 2 2cos 2 cos cos 2 2 2 2 sin 2 cos 2 2 2sin cos (sin cos )2 cos 2 sin cos 2 2 1 1 2sin ,1 cos 2 升幂公式 1 降幂公式 cos 2 1 ， sin 2 1 cos 2 2 2sin 2 ． ⑶ tan2 2 tan 1 tan : 1 1 2 ． 全能公式 : tan tan 2 26、 半角公式 cos α 2 α cos α ; sin 2 2 cos α 1 sin α cos α 1 1 cos α 2 cos α α t an 2 27 、 合 一 变 形 α 2 tan 1 2 sin α ; cos α 2 α 1 tan 1 2 α 2 2 α 2 1 cos α sin α〔后两个不消判定标记，越发好用〕 把 两 个 三 角 函 数 地 与 或 差 化 为 \" 一 个 三 角 函 数 ， 一 个 角 ， 一 次 方 〞 地 y A sin( x ) B 情势； sin cos 2 2 sin ，此中 tan ． 28、三角变更为运算化简地历程中运用较多地变更，进步三角变更本领，要学会创设条件，机动运用三角 公式，把握运算，化简地要领与技能．常用地数学头脑要领本领如下： 〔 1〕角地变更： 在三角化简， 求值， 证实中， 表达式中每每出现较多地相异角， 可凭据角与角之间地与差， 倍半， 互补， 互余地干系， 运用角地变更， 雷同条件与结论中角地差别， 使题目获解， 对角地变形如： ① 2 为 地二倍； 4 为 2 地二倍； o 为 地二倍； 为 地二倍； 2 2 4 ； cos ； ② 15 o 45o 30 o 60 o 45 o 30 2 ；问： sin 12 12 ③ ( ) ；④ 4 ( 2 4 37 ) ； 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 37 页，共 40 页 ⑤ 2 ( ) ( ) ( 4 ) ( ) ；等等 4 〔 2〕函数名称变更：三角变形中，常常必要变函数名称为同名函数；如在三角函数中正余弦为根底，通常 化切为弦，变异名为同名； 〔 3〕常数代换：在三角函数运算，求值，证实中，偶然必要将常数转化为三角函数值，比方常数\" 1〞地 代换变形有： 1 sin 2 cos 2 tan cot sin 90 o tan 45 o 〔 4〕幂地变更：降幂为三角变更时常用要领，对次数较高地三角函数式，一样平常接纳降幂处置惩罚地要领；常用降幂公式有： ； ；降幂并非绝对，偶然必要升幂，如对无理式 1 cos 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； 〔 5〕公式变形：三角公式为变更地依据，应纯熟把握三角公式地顺用，逆用及变形应用； 如： 1 tan ； 1 tan ； 1 tan 1 tan tan tan ； 1 tan tan _ ； tan tan ； 1 tan tan _ ； 2 tan 1 tan 2 ； ； tan20 o tan 40 o 3 tan20o tan 40 o ； sin cos = ； asin b cos = ；〔此中 tan ；〕 1 cos ； 1 cos ； 〔 6〕三角函数式地化简运算通常从： \"角、名、形、幂〞四方面入手； 基础规那么为：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特 别 值与特别角地三角函数互化； 如： sin 50 o (1 3 tan10o ) ； tan cot ； 高中数学 必修 5 知识点 〔一〕解三角形： 1、正弦定理： 在 C 中， a 、b 、c 分别为角 、 、C 地对边，，那么 a b c sin sin sin C 2R ( R 为 C 地外接圆地半径 ) 2、正弦定理地变形公式：① a 2 Rsin ， b 2Rsin ， c 2 Rsin C ； 38 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 38 页，共 40 页 ② sin a 2 R ， sin b 1 C 2 R 2 ， sin C 1 2 2 c ；③ a : b : c sin 2 R ab sin C 1 2 ac sin ． : sin : sin C ； 3、三角形面积公式： S bc sin 2 4、余弦定理：在 C 中，有 a b c 2 2bccos ，推论： cos b 2 c a 2bc 2 2 〔二〕数列： 1. 数列地有关观点： 〔1〕 数列：凭据肯定序次分列地一列数；数列为有序地；数列为界说在天然数 集{1,2,3, 〔2〕 ,n } 上地函数； 这个公式即为该数列地 N* 或它地有限子 通项公式： 数列地第 n 项 an与 n 之间地函数干系用一个公式来表 现， 2 通项公式；如 : an 2n 1； 递推公式：数列 可以用一个公式来表现，这个公式即为该数列地递推公式； 如 : 〔3〕 {a n} 地第 1 项〔或前几项〕 ，且任一项 an 与他地前一项 an- 1〔或前几项〕 a1 1, a2 2, an an 1 an 2 ( n 2)； 〔2〕图象法：用〔 n, an〕伶仃点表现； 〔 4〕递推法：用递推公式表现； 2．数列地表现要领： 〔 1〕 〔 3〕 3．数列地分类： 枚举法：如 1， 3， 5，7，9， 剖析法：用通项公式表现； 按项数 有穷数列 无穷数列 按单调性 常数列 : a n 递增数列 递减数列 摆动数列 S1 , ( n Sn 1) : a n : an : a n 2 2n n 2 n 1, a n 1 2 n 4．数列 {a n} 及前 n 项与之间地干系 : ( 1) 2 n Sn a1 a2 a3 an a n S n 1 , ( n 2) 等比数列 5．等差数列与等比数列比照小结： 等差数列 一、界说 an an 1 d( n 2) 1． an a n a n 1 q ( n 2) a1 n 1 d 1． an a1 q n 1 二、公式 an am n m d , n m n a1 an 2 an n n 1 2 d amq n m ,( n m) 1 q q n 2． S n na 1 2． Sn na 1 q a 1 1 1 a1 1 an q q q 1 1． a, b, c成等 三、性子 2．假m 设 差 为 a 与 c地等差中称 b 2b a c ， * 1． a,b, c成等b 2 ac ， * 比 称 b 为 a 与 c 地等比中项 〕， 2．假m 设 n p q〔 m 、n 、p 、q n p q〔 m 、n 、p 、q 〕， am an ap aq 那 3． Sn ， S2n Sn ， S3 n S2n 成等差数列 〔三〕不等式 1、 a am an ap aq 那 3． Sn ， S2 n Sn ， S3n S2n 成等比数列 a b ． a c ； ③ a b a c b c ； b 0 a b ； a b 0 ① a a b ； a b 0 2、不等式地性子： b b a ； ② a b,b c 39 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 39 页，共 40 页 ④ a b,c 0 ac bc ， a b,c 0 ac bc ；⑤ a b, c d a c b d ； ⑥ a b 0, c d 0 ac bd ； ⑦ a b 0 an bn n , n 1 ； ⑧ a b 0 n a n b n , n 1 ． 小结：代数式地巨细比较或证实通常用作差比较法：作差、化积〔商〕 、判定、结论； 在字母比较地选择或填空题中，常接纳特值法验证； 3、一元二次不等式解法： 〔 1〕化成尺度式： ax 2 bx c 0,( a 0) ；〔 2〕求出对应地一元二次方程地根； 〔 3〕画出对应地二次函数舆图象； 〔4〕凭据不等号偏向取出相应地解集； 线性计划题目： 1．相识线性束缚条件、目的函数、可行域、可行解、最优解 2．线性计划题目：求线性目的函数在线性束缚条件下地最大值或最小值题目． 3．解线性计划现实题目田地调： 〔 1〕将数据列成表格； 〔 2〕列出束缚条件与目的函数； 〔 3〕凭据求最值要领：①画：画可行域；②移：移 与目的函数同等地平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； 〔4〕验证； 两类重要地目的函数地多少意义 : ① z ax by ----- 直线地截距；② z (x a) 2 ( y b) 2 ----- 两点地间隔或圆地半径； 、均值定理： 假设 0 ， b 0 ，那a b 2 ab ，即 a b ． 2 4a 2 ab ab a b 2 a 0,b 0 ； a b 称为正数 、 2 a b 地算术均匀数， ab 称为正数 a 、 b 地多少均匀数． 5、均值定理地应用：设 x 、 y 都为正数，那么 ⑴假设 x y s 〔与为定值〕，那么x y 时，积 xy 取得最大值 s 2． 4 ⑵假xy p 〔积为定值〕，那么x y 时，与 x y 取得最小值 设2 p ． 留意：在应用地时间，必须留意 \"一正二定三等〞三个条件同时创建； 40 名师归纳总结——大肚能容，容学习困难之事，学习有成 第 40 页，共 40 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容