选修4-4公式

坐标系与参数方程 知识点

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

xx:yy(0)(0)（2)极坐标

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM｜叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记作

M(,).

的作用下，点P（x,y)对应到点P(x,y)，称

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数。 特别地,当点M在极点时，它的极坐标为（0， ）（∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。

为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念

(1）极坐标系

如果规定0,02,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。

如图所示

，在平面内取一个定点O，叫做极

点，自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度)及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系。

3。极坐标和直角坐标的互化

(1）互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:

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(2）互化公式:设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(,)（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

直角坐标点M (x,y) (,) 圆心为(r,)2，半径为r的圆 过极点，倾斜角为的直线 过点2rsin(0) （1）(R)或(R) （2)(0)和(0) 极坐标2x2y2互化公式 xcosysin tany(x0)x(a,0),与极轴垂直的直线 过点cosa(2 在一般情况下，由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角。

)2 (a,)2，与极轴平行的直线 sina(0) 4.常见曲线的极坐标方程

曲线 圆心在极点，半径为r的圆 圆心为 图形 极坐标方程

注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即

r(02) 2rcos(2(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标，这与

点的直角坐标的唯一性明显不同。所以对于曲线上的点的极坐

(r,0)，半径为r的圆 2 )标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.

M(,),44可以表示为例如对于极坐标方程点

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

5(,2)或(,2)或(-,)(,)444444等多种形式,其中,只有44方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数,如果选用的

的极坐标满足方程。

参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

二、参数方程

1。参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐

xf(t)x,yt标都是某个变数的函数yg(t)①，并且对于t的每一个允

3．圆的参数

如图所示,设圆O的半径为r,点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,设M(x,y)，则

xrcos(为参数)yrsin。

许值，由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。

圆心为(a,b),半径为r的圆的普通方程是

(xa)2(yb)2r2,

2。参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。

(2）如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如

xf(t)，把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系

xarcos(为参数)ybrsin它的参数方程为:。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

xacosx2y2(为参数)21(ab0),2ybsinab其参数方程为,其中参数

xf(t)yg(t),那么yg(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通

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称为离心角;焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

xbcosy2x2(为参数),21(ab0),2yasinab其参数方程为其中参数

6．抛物线的参数方程

2y以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线2px(p0)的参

仍为离心角,通常规定参数的范围为∈［0,2）。

注:椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等.但当应地也有

00x2pt2(t为参数).数方程为y2pt

7．直线的参数方程

经过点M0(x0,y0)，倾斜角为

yy0tan(xx0),2时，相

()2的直线l的普通方程是

2，在其他象限内类似。

而过M0(x0,y0)，倾斜角为的直线l的参数方

xx0tcos程为yy0tsin(t为参数)。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为

x2y221(a0,b0),2ab其参数方程为

注：直线参数方程中参数的几何意义:过定点M0(x0,y0)，倾

xx0tcos斜角为的直线l的参数方程为yy0tsin(t为参数)，其中t表

xasec(为参数)ybtan，其中

示直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段

M0M的数量，当点M在M0上方时，t＞0；当点M在M0下方时，

t＜0;当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以

[0,2)且2,3.2

y2x221(a0,b0),2y焦点在轴上的双曲线的标准方程是abxbcot(为参数，其中(0,2)e且.其参数方程为yacsc

M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，

其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。

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以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。