2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷 A
考试科目： 614数学分析 适用专业： 应用数学 满分150分 考试时间： 2011年 1月16日上午8：30——11：30 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效；
请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。
一、 计算题 （共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）
（1） 求第二型曲面积分 òò x 3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy ，其中 S 是单位球面
S
x 2 + y 2 + z 2 = 1 ，方向取外侧。
（2） 设函数 f (x ) 具有二阶连续导数，且 lim
x ® 0
f ( x )
= 0 , f ' ' ( 0 ) = 4 , x
) ù é f ( x
求 lim ê 1 + 。 ú x ® 0 x û ë
¶ 2 w （3） 设 w = f ( x + y , x - y , x ) ，其中 f 有二阶连续偏导数，求 。
¶ x ¶ y （4） 在区间 ( 0 , 2 p ) 内将函数 f ( x ) = （5） 求函数 f ( x ) =
1
x
p - x
2
展开成傅里叶级数。
1
的n阶导数。 2
x - 3 x + 2
二、（共 1题，共计12 分）
设函数 f (x ) 在区间 [ 0 , 1 ] 上可导，且 f (1 ) = 2 f ( 0 ) ，求证：存在 x Î ( 0 , 1 ) ，使得
(x + 1 ) f ' ( x ) = f ( x ) 。
三、（共 1 题，共计12 分）
设函数 f (x ) 在 ( -¥ , + ¥ ) 内二次可导， lim x ® 0
f ( x )
= 1 ，且 f \" ( x ) > 0 ，则 x
f ( x ) ³ x , \" x Î ( -¥ , + ¥ ) 。
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四、（共 1 题，共计12分）
设函数 f ( x ), g ( x ) 在[ 0 , 1 ] 上连续且单调减少，证明：
ò
1
0
f ( x ) g ( x ) dx ³ ò f ( x ) dx ò g ( x ) dx 。
0
0
1 1
五、（共 1 题，共计 14 分） 1 （1）证明级数 å ln(cos ) 收敛。
n n =1
（2）设函数 f (x ) 在区间 (- 1 , 1 ) 内具有直到三阶的连续导数，且
¥
1f ' ( x )
f ( 0 ) = 0 , lim = 0 ，则级数 å n f ( ) 绝对收敛。
x ® 0 x n n =2
¥
六、（共 1 题，共计12 分）
¶ 2 u ¶ 2 u
将直角坐标系下Laplace方程 2 + 2 = 0 化为极坐标下的形式。
¶ x ¶ y
七、（共 1 题，共计 12 分） 讨论含参量反常积分 ò 收敛性，其中 e > 0 。
八、（共 1 题，共计 12 分）
1 1
证明函数 f ( x ) = ( 1 + ) cos 在 [1 , + ¥ ) 上一致连续。
1 + x x 九、（共 1 题，共计 12 分）
cos nx
证明：函数 f ( x ) = å 2 在 ( 0 , 2 p ) 内有连续的导函数。
n + 1 n = 1
¥
+ ¥ 0
x e -a sin x dx 关于a 分别在 [e , + ¥ ) 和 ( 0 , + ¥ ) 上的一致
2
十、（共 1 题，共计 12 分）
设 f (x ) 在 [ a , b ] 上连续，且存在非负整数m，使得
ò
b
a
x n f ( x ) dx = 0 ( n = 0 , 1 , L , m ) ，
证明： f (x ) 在 ( a , b ) 内至少有 m + 1 个零点。
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