初二年级数学经典难题

2012年初二数学经典难题

1

一、解答题（共10小题，满分100分） ．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

2

．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F．

3

．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．

4

．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB．

5

．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

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6 7

．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． ．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形

OPCQ周长的最小值．

8

．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

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．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（1）求k1、k2的值． （2）直接写出

时x的取值范围；

（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

1

0．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线（1）求k的值； （2）若双曲线

交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

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2012年初二数学经典难题

参考答案与试题解析

一

、解答题（共10小题，满分100分）

0

1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15．求证：△PBC是正三角形．

证明如下。

首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 A D 在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ， 连接PQ， 则 P ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，

∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB， 显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，

PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。 C B

2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．

F

E 证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.

又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) N C D 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.

A B M

3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．

证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N， 在梯形MEFN中，WE平行NF 因为P为EF中点，PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线，

D 所以PQ＝（ME＋NF）/2 G 又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO

C 所以角OCB=角NBF E 而角C0B＝角Rt＝角BNF

P F CB=BF

所以△OCB全等于△NBF A B Q △MEA全等于△OAC（同理） 所以EM＝AO，0B＝NF 所以PQ=AB/2.

4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．

过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE

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因为DP//AE，AD//PE

所以，四边形AEPD为平行四边形 所以，∠PDA=∠AEP 已知，∠PDA=∠PBA 所以，∠PBA=∠AEP

所以，A、E、B、P四点共圆 所以，∠PAB=∠PEB

因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD 而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC 所以，PE//BC，且PE=BC

即，四边形EBCP也是平行四边形 所以，∠PEB=∠PCB 所以，∠PAB=∠PCB

A P B C D 5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长． 解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 D A 所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90° P 即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a

所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° C B 所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ

则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2

所以AB＝[√(5＋2√2)]a

6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。 解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。

vvt 2x8x5v解之得：x

8t5v经检验得：x是原方程解。

8t由题意得：

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∴小口径水管速度为

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，

5v5v，大口径水管速度为。 8t2tQ为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

yy

MBQABOQAOxMxCPP图图11解：（1）设正比例函数解析式为ykx，将点M（2，1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x 22同样可得，反比例函数解析式为y=（2）当点Q在直线DO上运动时， 设点Q的坐标为Q(m，m)， 于是S△OBQ=而S△OAP=所以有，2 x121OB?BQ2111创mm=m2， 2241(-1)?(2)=1， 212m=1，解得m2 4所以点Q的坐标为Q1(2，1)和Q2(-2，-1) （3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n，)， 由勾股定理可得OQ=n+所以当(n-222n422=(n-)+4， n2n222)=0即n-=0时，OQ2有最小值4， nn2又因为OQ为正值，所以OQ与OQ同时取得最小值， 所以OQ有最小值2．

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由勾股定理得OP＝5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是

8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. 解：（1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）.

A D ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC.

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD. P 1 ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， H 2 ∵ PB=PE，

B C E ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC，

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD. ）

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. （2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵ AP=x，AC=2， A P D

22(2x)1x. 2222 BF=FE=1-FC=1-(1x. x)=221222∴ S△PBE=BF·PF=x(1x. x)x2222212即 yx2x (0＜x＜2). 22121221② yx2x(x).

222241∵ a＜0，

2∴ PC=2- x，PF=FC=∴ 当x

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B F E C

12时，y最大值.

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（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. ∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

A G △AGP和△PFC都是等腰直角三角形. 2 3 ∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

P 又∵ PB=PE，

1 ∴ BF=FE， ∴ GP=FE，

B F E ∴ △EFP≌△PGD （SAS）.

∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°.

∴ PE⊥PD. （2）①∵ AP=x，

D

C 22x，PF=1-x.

221222∴ S△PBE=BF·PF=x(1x. x)x2222212即 yx2x (0＜x＜2).

22121221② yx2x(x).

222241∵ a＜0，

2 ∴ BF=PG=∴ 当x 9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数 y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值． （2）直接写出 k1x+b-k2x＞0时x的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由． ⑴ 由题意知k2＝1×6＝6． ∴ 反比例函数的解析式为y＝又B(a，3) 在y＝12时，y最大值. 426． x6的图象上，∴ a＝2．∴ B (2，3)． x∵ 直线y＝k1x＋b 过A (1，6)，B (2，3)两点， kb6k3∴1．∴1．

2kb3b91⑵ x的取值范围为1＜x＜2． ⑶ 当S梯形OBCD＝12时，PC＝PE．

设点P的坐标为(m，n)，∵ BC∥OD，CE⊥OD，BO＝CD，B(2，3)， ∴ C(m，3)，CE＝3，BC＝m－2，OD＝m＋2．

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∴ S梯形OBCD＝（BC＋OD）×CE÷2，即12＝（m－2＋m＋2）×3÷2． ∴ m＝4．又mn＝6，∴ n＝1.5．即PE＝∴ PC＝PE． 10、如图12，已知直线y（1）求k的值； （2）若双曲线y1CE． 21kx与双曲线y(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4． 2xk(k0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积； xk(k0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Qx（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .

∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点A是直线  （k>0）的交点 , yyx与双曲线∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，

∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON . S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 . S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2， 过点 C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F， ∵ 点C在双曲线y128x8上，当y = 8时，x = 1 . x8上 , x∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C、A都在双曲线y∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S梯形CEFA . ∵ S梯形CEFA =

1×（2+8）×3 = 15 , 2

∴ S△COA = 15 .

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（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,

∴ OP=OQ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ是平行四边形 . ∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 . 设点P的横坐标为m（m > 0且m4）, 得P ( m, ) .

过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 . 若0＜m＜4，如图12-3，

∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 . ∴

14148m18(2)(4m)6. 2m解得m= 2，m= - 8(舍去) .

∴ P（2，4）. 若 m＞ 4，如图12-4， ∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 . ∴18(2)(m4)6， 2m解得m = 8，m = - 2 (舍去) . ∴ P（8，1）. ∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.

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