求解微分方程小结

——张成伟 PB08207215

微积分总是那么让人琢磨不透，用了几个月才把极限搞懂了一点。接着又是定积分和不定积分的大量运算，现在又是微分方程的令人头晕目眩。不过，经过一段时间的学习，仔细的总结一下，不难发现，其实求解微分方程基本上是一个程序化的过程，不太需要特殊的思维技巧和各种繁琐的运算。

求导是一个“熵增”的过程，而求积分则是一个不折不扣的“熵减”过程，求解微分方程更是一个难上加难的过程。由于微分方程的特殊性质和我们除了他们的有限能力。我们只能求解其中很简单，有规律可循的一小部分：一阶微分方程，可降解的二阶微分方程，二阶线性微分方程和二阶常系数线性微分方程 ，以及一些可用特殊代换（如欧拉代换）的其他微分方程：对于更加繁杂的，我们只能望洋兴叹，无能为力了。下面我们就来简单梳理一下求解微分方程的方法与过程。

首先，求解微分方程有一定的理论基础。课本的5.1节的三个定理得出了一阶和二阶线性方程解的存在性，唯一性和连续依赖性。再由叠加原理，我们知道如果y1(x) 和y2(x)是线性齐次方程的解，则

c1y1(x)+c2 y2(x)都是方程的解。非齐次方程的解y等于其对应齐次方

程的通解加上其非齐次方程的特解，即y=yp+yh。

有了以上理论基础，我们就对求解一阶线性微分方程和可降解的二阶线性微分方程得心应手了。

接着，我们又在5.3节中通过定理5.3.2，5.3.3和5.3.4知道了二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解的存在性，有叠加原理可求出齐次方程的通解。求解二阶线性齐次方程有迎刃而解。对于非齐次方程，我们只需再求其一个特解与其齐次方程通解结合即可得其非齐次通解。

以下是求解微分方程的程序化过程：

一：判断方程的性质。判断它是以上我们能求的方程中的哪一种。 二：“对症下药”：

1.如方程为最简单的一阶线性微分方程，我们可以通过分离

变量求解。

形如y’=(x)/(x)可直接分离变量；

形如y’=（x/y）可通过变化y=ux转化为分离变量型方程 ;

形如y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))( a1 b1 c1 a2,b2,c2都是常数，c1 c2 不同时为0，a1 b1 a2,b2,不同时为0)

1) a1b2不等于a2b1可求方程组 a1k+b1h=c1 有唯一解 a2k+b2h=c2

于是有y’=f((a1(x+k)+ b1(y+h))( a2(x+k)+ b2(b+h)))

用变量代换u=x+k,v=y+h即可化为齐次方程。

2）a1b2= a2b1 ，如果a1不等于0，则可取=（a2 /a1）=（b2 /b1） ，于是有y’=f((a1x+b1y+c1)/((a2x+b2y)+c2)) 量代换z= a1x+b1y即可化为齐次方程。

/

再用变

2．对于一般的一阶线性微分方程y’+P (x)y=Q(x)

它的齐次方程 y’+P (x)y=0 我们可用分离变量求解。 非齐次方程，我们可以通过等号两边同时乘以一个积分因子

e

P(x)dx容易求出其通解

y= e

-P(x)dxQ(x)

e

P(x)dx

另外，我们还可以通过“常数变易法”求解，但笔者认为阿上述方法更简单一些 对于形如y’+P

(x)y=Q(x)y的Bernoulli方程，我们

n

可以通过适当变换（除以y）化为以上可以求解的方程形

式。

n

3．若方程为可降阶的二阶微分方程

1） 不含未知函数的二阶方程f(x,y’,y’’)=0我们只要令

p=y’,就有p’=y’’,即可化为f(x,p,p’)=0,即可求解。 2） 对于不含自变量的方程

f(y,y’,y’’)=0 我们也

可通过变换 p=y’ 降为一阶方程，但此时要注意y’’=pp’ (此时p是关于y的方程)，于是防城就化为 f(y,p,pp’)=0,先把y当成自变量求出p，

再用y’代替p的一阶微分方程。

4．若方程为二阶线性微分方程

1） 对于齐次方程，我们可以求出两个线性无关解，然

后线性组合即得通解。

我们可以通过已知或观察得出一到两个特解，如果只观察出一个。我们可以通过设另一线性无关解

y2(x)=zy1(x), 代入方程即可求出另一特解 y2(x)= y1(x)（y1(x)）

-2

e

-p(x)dxdx

2） 于非齐次的二阶线性微分方程

我们已经求出其次方程的通解 yh=c1y1(x)+c2y2(x), 只需再求出非其次方程的一个特解即可。考虑用“常数变易法”

设yp= c1’(x)y1(x)+c2’(x) y2(x) 代入方程 令c1’(x)y1(x)+c2’(x) y2(x)=0

可得

c1’(x)y1’(x) +c2’(x) y2’(x)=f(x)

由两方程联立可求出c1’(x)和c2’(x)，进而求出c1(x)

和c2(x)的一对解即可。然后y= yp+yh即得通解

5．二阶常系数线性微分方程

1） 对于齐次方程y”+py’+qy=0,只需求其特征方程

+p+q=0的根

2

i若特征方程有两个不等实根，1 不等于则有

2

ex1

和

e

x2

为齐次方程两解，易证它们线性无

关，于是通解为y=c1

ex+c2 e

1

x2

ii 若特征方程有两个相等实根，1=-(1/2)p, 一个特

解为y1(x)=

e-(1/2)p,易求另一特解y2(x)=xe-(1/2)p

e-(1/2)p(c1+c2x).

1 =+i, 2 =-i(不等于0)。

所以方程通解y=

iii. 若有共轭复根

方程通解为y=

e(c1cosx+c2sinx)。

x

2） 对于非齐次方程y”+py’+qy=f(x)

我们已经会求其齐次方程的通解，只需再求该非齐次方程的一个特解即可。我们可用“常数变易法”求解，该法上面已经说明，在此不再赘述。

对于某些特殊形式的f(x)可有一些特殊的解法（待定系数法），书中介绍详细，我也不再赘述。

另外：对于形如xy”+pxy’+qy=f(x)的欧拉方程。用

2

变量代换x=e(x>0)或x=e(x<0)可以把上述方程化为常系数线性方程，即可由上述方法求解方程的解。

三．代入验证方程的解。（完）

由以上过程，我们可以发现，求解微分方程其实并不是那么让人望而生畏，它们是有规律可循的。

不过。我们也不要因此而过于兴奋地说：“我们会解微分方程了！”其实，我们会解的只是无边无际的微分方程海洋中的一滴水而已，还有广阔的空间等待我们去探索。

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